分式的通分
分式的通分
分式的通分教学目标：1、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；2、通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。
教学重点：分式通分的方法。
教学难点：几个分式最简公分母的确定。
1、通分的概念把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
2、例题例1、求分式4322361,41,21xy y x z y x 的公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2、4、6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母中的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3,字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取其字母z 。
所以三个分式的公分母为z y x 4312 最简公分母的意义：各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
例2、求分式4124122--x x x 与的最简公分母。
分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即()()(),224,222422-+=---=-x x x x x x x把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取她的积，即()()222-+x x x 就是它的最简公分母。
请同学们概括求几个分式的最简公分母的步骤。
1、取各分式的分母中的系数最小公倍数。
2、各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3、相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4、所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
例3、通分：（1）;41,3,22xyy x x y （2）22225,103,54ac b b a c c b a - 例4、通分：()42,361,42222---x x x x x x三、课堂练习1、填空题：1、）说出分式xyy x xz y 41,.3,22各分母系数的最小公倍数是 ，分母中的字母x 、y 、z 的最高次幂分别为 ，因此最简公分母是 。
2、）分式263ba b a 和分式-的最简公分母是 。
八年级数学分式的通分
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等 的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
二、 （1）
1 x3 y2
y2 x3 y2 y2
y2 x3 y4
（2）
1 xy xy x 2 y 3 x 2 y 3 xy x3 y 4
x
(2) 1 , x x2 4 4 2x
练习（1） 将x y, 2 y 2 通分 x y
（2） 将 x3 ,x2 x 1通分 x 1
思考题：已知abc=1，
将 a , b , c 通分 ab a 1 bc b 1 ca c 1
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（3）
1 xy 4
x2 xy 4 x 2
x2 x3 y4
1
xy 2
xy 2
（1`） x3 y 2 x3 y 2 xy 2 x 4 y 4
（2`）
1
x2 y
x2 y
x2 y3 x2 y3 x2 y x4 y4
（3`）
1 xy 4
x3 xy 4 x3
x3 x4 y4
客和周家身上,所以他们是小额赔偿.如果是游客不听劝作死,周家或许可以少赔.但这是周家明知此处危险却不加以提醒,缺乏安全及防范意识导致游客身陷险境,除了客栈暂停经营,面临高额赔偿费是逃不掉の.死难者家属原本要以命抵命の,在休闲居等人の劝说之下勉强同意按正常程序处理. 但是何玲不甘心.之前给周定康那笔钱把老人の棺材本都用上了,如今周家到哪儿挖二、三十万出来？生意又不能做,为了盖房子她连娘家亲戚全部借了个遍,现在
分式的方法与技巧
1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。
2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。
3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。
4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。
5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。
6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。
7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。
8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。
9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
分式的通分
分式的通分学习目标1．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；2．通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。
重点和难点重点：分式通分的方法。
难点：几个分式最简公分母的确定。
学习过程一、课前准备1．什么叫分数的通分？ 2．把分数通分。
3．分数通分的方法及步骤是什么？ 4．分数通分时，为什么各分数的值不变？二、课上探究（一）、分式通分的概念和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的。
（二）、公分母与最简公分母自学课本第62页内容，归纳：各分式分母中系数的数与所有的字母（或因式）的的积，叫做最简公分母。
例1 求分式的公分母。
例2求分式与的最简公分母。
（三）、求几个分式最简公分母的步骤请同学们交流讨论求几个分式的最简公分母的步骤：（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
（四）典型例题：想一想把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是。
例3通分：（1）；（2）三、课堂练习1．填空：（1）；（2）；（3）。
2．求下列各组分式的最简公分母：（1）；（2）；（3）；（4）3．通分：（1）；（2）（3）（4）；（3）。
四、课堂小结谈自己本节课的收获与体会五、当堂检测1．通分：（1）；（2）。
2．通分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；六、布置作业。
分式通分的技巧
分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
分式的基本性质--通分
例题讲解 确定
1 1 1 , 2 3, 3 2 2 x y z 4 x y 6 xy 4 的最简公分母。
如何确定最简公分母呢？
1.定系数： 2.定字母或者因式： 3.定指数： 各分母中的所有字 3 相同字母（或因式） 1 4 取各分式的分母 Y Z 12 X 母或者因式都要取 X Y Z 的幂取指数最大的 的系数的最小公 倍数。 4.所得系数的最小公倍数与 各字母（或因式）的最高次 幂的积即为最简公分母。
1 ( a b)3 ( x y ) 2
1 x y
1 x y
1 2 x xy
1 2 2 x y
公分母如何确定呢？
若分母是多项式时，应先将各分 母分解因式，再找出最简公分母。
练 一 练
试确定下列分式的最简公分母：
1 x( x y )
x y( x y)
2
y ( x y)(x y)
练 一 练
求分式
2
1 1 与 2 4x 2x 2 x 4
的最简公分母。
4 x 2 x 2 x(2 x) 2 x( x 2) x 4 ( x 2)(x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都 取到，其中，系数取正数，取它们的积， 2 x( x 2)(就是这两个分式的最简 x 2) 即 公分母。
练 一 练
3 ab 与 （ 1） 2 2a b ab 2 c
2x （ 2） 与 x5
3x x5
(3)
1 x 与 2 x 4 4 2x
巩固练习：
3 2
1 1 1 1、分式 , , 的最简公分母是 B 2 x y z 4 x y 6 xy
2 3 4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z
分式的通分
分式的基本性质： 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整 分式的值不变. 式，分式的值不变. 用式子表示是： 用式子表示是：
A A×C A A÷C = , = B B×C B B ÷C
（ 其中C是不等于零的整式）。
我们知道， 我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着 非常重要的作用.类似地 类似地， 非常重要的作用 类似地，分式的约分和通分在分式 的运算中也有重要的作用.而在上一节课中我们已经 的运算中也有重要的作用 而在上一节课中我们已经 学习了分式的约分,所以下面我们将重点讨论分式的 学习了分式的约分 所以下面我们将重点讨论分式的 通分. 通分
最简公分母 1、各分母系数的最小公倍数。 各分母系数的最小公倍数。 各分母所含有的因式。 2、各分母所含有的因式。 各分母所含相同因式的最高次幂。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（ 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中 系数都取正数） 系数都取正数）
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1 3 5 把下面的分数通分： 1、把下面的分数通分： , , 2 4 6
什么叫分数的通分？ 2、什么叫分数的通分？ 把几个异分母的分数化成同分母的分数， 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数， 而不改变分数的值， 而不改变分数的值，叫做分数的通分。 和分数通分类似， 3、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来 的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。 的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
例题讲解与练习
例1、 通分
（1）
3 a−b 与 ; 2 a 2b ab 2c
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3.4 分式的通分
一、学习目标：
1. 理解通分和最简公分母的意义。
2. 会将几个分母不同的分式通分。
3. 经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分方法的过程，理解通分的意义依据和方法。
二、学习重难点：
【重点】确定最简公分母。
【难点】分母是多项式的分式的通分。
三、学习过程：
（一）课前预习（复习回顾）：
1、把下列分式约分成最简分式：想一想约分的依据是什么？
（1）； （2）； （3）。
2、提问：你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？（学生讨论）
（二）课上探究：
探究一（自我探究：）
1、回忆分数计算
52+31的分析。
将分母不相同的52、3
1根据分数性质通分变形为分母相同的5332⨯⨯、5351⨯⨯；你能不改变分式的值，使分式x 1与3
1-x 的分母相同吗?相同的分母是____________。
你是怎样找的，把你找的相同分母与同位比较，一样吗？把你的找法说给同桌听。
上面我们进行的：不改变分式的值，使两个（或多个）分式的分母相同，这样的分式变形叫分式的通分．．。
问题：你能类比分数的通分，不改变分式的值，使分式2
23x -与x a 3的分母相同吗？小明找的公分母是26x ，小丽找的公分母是312x ，小红说他她们两个找的都对。
你
同意小红的看法吗？（小组内讨论） 小小展示台：小红说的对。
因为分式223x
-与x a 3的公分母有很多，26x 是其中最简单的一个，叫做分式的最简公分母。
．．．．．．
我们在以后通分的过程中要找分式的最简公分母。
例题，把下列各题中的分式通分：
（1）b a 223与c
ab b a 23- (2)ab h 3 与b a k 222 分析（阅读）：（1）由分母b a 22和c ab 23找最简公分母，因为两个分母的系数分别为2和3，所以最简公分母的系数是6（系数的最小公倍数）(找系数)；两个分母中，出现的所有字母a 、b 、c （找字母）；字母的最高次数分别是2、2（找指数）；所以最简公分母是c b a 226，其中b a 22乘以bc 3变为c b a 226，c ab 23乘以ac 2变为c b a 226。
解：分式b a 223与c
ab b a 23- 的最简公分母是c b a 226 b a 223=bc b a bc 32332⋅⋅=c b a bc 2269 c ab b a 23- =()ac c ab ac b a 2322⋅⋅-=()c
b a b a a
c 2262- 仿照（1）题的分析与解答，完成（2）题。
总结你的方法：（1）确定最简公分母的方法是____________________。
(2)与分数的通分作比较，看看有什么共同点（完成后同桌交流） 对应训练一：填空：分式xy 43与y
x 225的最简公分母是____________,通分后这两个分式分别是____________与_________.
探究二（合作探究：）把下列各组分式通分：
（1）()42+m m 与1652--m mn (2)y x 461-与22492y
x - 分析：分母是多项式的两个分式通分，能分解因式的先分解因式。
162-m 分解因
式为_______________,所以最简公分母的系数是_____________,两个分母中出现的因式有()()44-+m m （找因式），因式的最高次数分别是1、1（找指数），所以最简公分母是()()442-+m m 。
解：分式()42+m m 与16
52--m mn 的最简公分母是()()442-+m m ()
42+m m =()()()4424-+-m m m m 1652--m mn =()()445-+-m m mn =()()
44210-+-m m mn 仿照（1）的分析与解答完成（2）题。
总结你的方法：（1）分母是多项式的分式通分时首先要_____________,把每个因式当做一个因数（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法通分。
对应训练二：
把下列各式中的分式进行通分：
（1）92-a a 与9
612++a a （2）xy 2与23x xy y -
概括：确定最简公分母的一般步骤：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；
（3）相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.
在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.
试一试：指出下列各组分式的最简公分母。
（1）
； （2） （3）。
例题解析：把下列各题中的分式通分：
（思考：最简公分母如何确定？你
能归纳分式通分的步骤吗？其关键是什么？）
巩固练习：（1）； （2）。
(3)。
课堂小结：1.知识方面：（1、本节课我们学习了分式的通分，什么是分式的通分？其关键是什么？2、如何寻找分式的最简公分母？3、分式的分母是多项式时如何通分？）
2.数学思想方法：
作业：必做题：习题A 组2（2）（4）题选做题: 习题B 组1题
课堂检测：
1、填空、
分式11-x 与1
1+x 的最简公分母是________,通分后这两个分式分别是___________与__________。
2、求最简公分母时，若各分母的系数都是整数，则最简公分母的系数通常取____________。
A 、各分母系数的最小者
B 、各分母系数的最小公倍数
C 、各分母系数的公倍数
D 、各分母系数的最大公约数
3、把下列各式中的分母进行通分： （1）a 1,b 1,c 1 (2)a b 2,b a 3 (3)322+x ，3
23-x （4）()11+-x x x ，11+x。