《等比数列的前n项和》ppt课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和课件.ppt
a 1(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
判断下列各式是否正确
× 51445442…444453 n
1(11n 11
)
0
( 2) n
124816…(2)n1 1(12n ) 1(2)
×
× 1222 23 …2n 1(12n ) n+1 12
1.841019 1000多年才能生产这么多小麦， 国王无论如何是不能实现发明
者的要求的。
运用：
练习1：
已知a n 是a1 3,q 2的等比数列，求Ｓ４及Ｓ６
解：由S n
a 1(1 q 1q
n
)
有：
S
4
3(124 12
)
45;
S
6
3(126 12
)
189
升华：
对于公式S n
a 1(1 q 1 q
n
)
变 形
S
n
a1 1 q
a1 1 q
q
n
可看成是以正整数n
为自变量的函数S
。
n
我们可以把a1,q称为等比数列a n 的关键量。
运用：
例2：求和 1 x x 2 x 3 x n1.
解:由已知条件得 a1 =1,q =x
Sn na1.
反思：
等比数列前n项和的推导利用了 错位相减法。如何理解这一方法？
用错位相减法求数列的前n项和的实 质是把等式两边同乘以一个数q，得一新 等式，错位相减求出 S n q S n ，这样可 以消去大量的“中间项”（或是让中间 项容易求和），从而求S n出 。
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
等比数列的前n项和-课件
1 y
1 y2
…
1 yn
x 1 xn
1 x
1 y
1
1 yn
1 1
x xn1 yn 1 1 x yn1 yn
y
13
例题解析
O第ffic一e组年件之为w5o万rd2吨007，
一 万年吨例增（3加保某留10制到%糖，个厂那位今么）年 从. 制今糖年起5万，吨几，年如内果可平以均使每总年产的5量5（第产+达51二量×+到1年比1030%为上0%）=
1073(万元) >465(万元)
不会数学很可怕！！！
思考1： ①式两边为什么要乘以2 ？
探究新知
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等比数列an 的首项为a1，公比为q, 如何求前n项和Sn呢？
Sn a1 a2 a3 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 1 2 3 30S30 1, 22, 2222, 2233,, 229
465 (万元)
=?以1为首项，2为公比的 等比数列的前30项之和
第一天有１万， 以后每天比前 一天多１万元， 连续一个月(30
天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为
Office组件之word2007
等比数列的前n项和
复习引入
1. 等比数列的定义： an1 q(n N , q 0) an an q(n 2, n N , q 0) an1
2. 等比数列通项公式：
an a1 qn1(a1,q 0)
an am qnm(am,q 0)
Office组件之word2007
高中数学《等比数列的前n项和》课件
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数学 ·必修5
(2)由题意知{an}的公比 q≠1，
由 S3＝72，S6＝623知aa111111－－－－qqqq36＝＝7262，3，①②
②÷①，得 q6－9q3＋8＝0，
∴q3＝8 或 q3＝1(舍去)，∴q＝2，
代入①得 a1＝12，
∴an＝12×2n－1＝2n－2.
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn＝ a111－－qqn来求．( × )
(2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，知 Sn，an，a1 可以求 公比 q.( √ )
(3)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n－1＝11×－1－－22n.( × )
(4)若等比数列{an}共 100 项，且公比 q≠±1，则该数列 的偶数项之和 S＝a211－－qq50.( × )
6
课前自主预习
课堂互动探究
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2．做一做
(1)等比数列12，－14，18，－116，…的前
7
43
项和为__1_2_8__．
(2)(教材改编 P56 例 1(2))等比数列{an}的各项都是正数，
若 a1＝81，a5＝16，则它的前 5 项和是___2_1_1___．
2．等比数列的前 n 项和的性质 (1)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n 成等比数列(当 q＝－1，n 为偶数时，上述性质不成立)． (2)若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋ qnSm(m，n∈N*)． (3)在等比数列{an}中，公比为 q，若项数为 2n，用 S 奇、
12
《等比数列的前n项和》课件
2、等比数列 {an} 中，a3 = 7 ，前3项和 S3 = 21 ，公比 、 项和 1 C、1或 − 1 D、−1或 − 1 q的值为 q的值为（） A、1 的值为（） A、 B、 B、− C、1或 D、 2 2 2 3、数列 1，x, x2 ,..., xn−1,... 的前 项和是（ ） 的前n项和是 项和是（ 、 4、等比数列的公比为2，且前四项之和 S4 = 1 ，则前 、等比数列的公比为 ， 8项之和 S = 项之和 。 答案： 、 答案：1、B
等比数列
q ≠1
a1(1− q n ) a1(q n −1) Sn = = 应 q −1 1− q
a1− an q S n = 1−q
错 位 相 减 法
等 比 数列 前n项 和
用 数 列 求 和
q=1
Sn = na 1
作业： 作业：
P129 1、2、3、4 、 、 、
设等比数列{an }的前n项和为Sn， 补充： 补充：
19
导学引思
若把 1+ 2+ 22 + 23 +...+ 263 中的 63改为 结果如何？ 改为n结果如何？ 改为 结果如何 若等比数列首项为a1，公比为 ， 若等比数列首项为 ，公比为q，前n项的和如 项的和如 何？
问题解决
Sn + 1 = 2n + 1 −1 若把63改成 改成n， 若把 改成 ，可以通过同样的方法得到
例2：求和 ：
1+ a + a +⋯+ a
2
n −1
评注：使用等比数列的前 项和公式要注意公 评注：使用等比数列的前n项和公式要注意公 情况的区别， 比q=1和 q≠1 情况的区别，而在解方程的过程 和 一般采用两式相除的方法。 中，一般采用两式相除的方法。
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1
29
C.21 10 2 1 12
1
3
210
a 1 a1 8
D.2-
1
1 2
211
【解析】设数列{an}的公比为 q,则 q = 4 = ,∴q= , ∴数列{an}的前 10 项和为
2
1-( )
=2- 9 .
2
1
等比数列的前 4 项和为 1,前 8 项和为 17,则这个等比数 列的公比 q 等于( C ). A.2 B.-2 C.2 或-2 D.2 或 1
1)=
4n -1 n (n -1) 4n -1 n (n -1) 4- 1
+
2
=
3
+
2
.
对变量的分类讨论
Sn 是无穷等比数列{an}的前 n 项和,且公比 q≠1,已知 1 是2 S2 和3 S3 的等差中项,6 是 2S2 和 3S3 的等比中项. (1)求 S2 和 S3; (2)求此数列{an}的前 n 项和公式.
=
=264-1,而
264-1这个数很大,超过了1.84×1019,所以国王根本实
.. 导. 学 固思
问题3
a1-a1qn
na1
.. 导. 学 固思
问题4
.. 导. 学 固思
1
在等比数列{an}(n∈N+)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10
8
1
项和为( B ). A.21 24
B.2-
1
1
1
【解析】(1)根据已知条件
2
S2 + S3 = 2,
3
1
2S2 × 3S3 = 36,
.. 导. 学 固思
整理得 3S2 + 2S3 = 12, 3S2 × 2S3 = 36,
S2 = 2, 解得 3S2=2S3=6,即 S3 = 3. a1 (1 + q) = 2, 1 (2)∵q≠1,则 可解得 q=,a1=4, 2 2 a1 (1 + q + q ) = 3, ∴Sn=
.. 导. 学 固思
问题1
等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn= na1 ; 当q≠1时,Sn= =
.
问题2
我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦 子数看成是一个数列{an},它是一个a1=1,q=2,n=64的
等比数列,问题转化为求数列{an}的前64项的和,可求
得Sn= 现不了这个诺言.
2
a 1 ( 1-q 3 ) 1- q
=3a1q ,
3 2
2
因为 a1≠0,所以 1-q =3q (1-q), 即 1+q+q =3q ,解得 q=- .
2
2
1
综上所述,公比 q 的值为 1 或- .
2
1
.. 导. 学 固思
考查分组求和法 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且
a1+a2=2(a +a )=8(a +a ). (1)求{an}的通项公式;(2)设 bn=a2 n +log2an,求数列{bn}的 前 n 项和 Tn.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1q , 由已知得 a1+a2=2( + )= 由
1 1 2(a 1 +a 2 ) a1 a2 a1a2 1 1 8(a 3 +a 4 ) 8q 2 (a 1 +a 2 ) a1+a2=8( + )= = , a3 a4 a3a4 a3a4
2 n-1
1
1
1
1
1
2
3
4
,∴a1a2=2,
∴a3a4=8q , a2 q = 2, a1 = 1, n-1 又∵a1>0,q>0,∴ 1 解得 ∴a n =2 . 3 q = 2, a2 1 q = 8,
.. 导. 学 固思
(2)由(1)知 bn=a2 n +log2an=4 +(n-1), 2 n-1 ∴Tn=(1+4+4 +…+4 )+(0+1+2+3+…+n n-1
1 2 2 63 2
3
7
∴
,②
n-1 n-2
由②÷①得 1+q =9,∴q=2, 代入①得 a1= ,∴an=a1q =2 .
1 2 1 4 1 8
求数列 1+ ,2+ ,3+ ,…的前 n 项和 Sn.
【解析】由题意可知,该数列的通项公式为 an=n+ n ,
1 2 1 4 1 2 1 2 1 1 1 2 4 8
n+1 n n-1 2
q=2 或-3(舍去),又 a2=1,所以 a1= ,S4=
2
1
1 ( 1- 24 ) 2
1- 2
= .
2
15
4
求等比数列 1,2a,4a ,8a ,…的前 n 项和 Sn.
【解析】∵公比为 q=2a,当 q=1,即 a= 时,Sn=n;
2 1
2
3
当 q≠1,即 a≠ 时,则 Sn=
2
1
1-(2a ) 1-2a
n
.
n,a = , ∴Sn=
1-(2a ) 1-2a
n
1 2
,a ≠ .
2
1
.. 导. 学 固思
考查等比数列的前 n项和公式
设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数 列的公比 q.
【解析】当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; 当 q≠1 时,
第7课时 等比数列 的前n项和
.. 导. 学 固思
1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导ห้องสมุดไป่ตู้法.
2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问
题. 3.会求等比数列的部分项之和.
.. 导. 学 固思
印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨•班•
达依尔,并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下,请 您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个 小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一 小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍,直到把每一小 格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子 赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多,就爽 快地答应了.国王能实现他的诺言吗?
4[1-(- ) ] 8 8 2 1+
1 2 1 n
= - (- ) .
3 3 2
1
n
在等比数列{an}中,已知 S3= ,S6= ,求 an.
2 2
7
63
【解析】∵S6≠2S3,∴q≠1,
.. 导. 学 固思
a 1 ( 1- q 3 ) 1- q a 1 ( 1- q 6 ) 1- q
= ,① =
S 8 -S 4 a 5 +a 6 +a 7 +a 8 4 【解析】 = =q ,所以 S4 a 1 +a 2 +a 3 +a 4
q=±2.
.. 导. 学 固思
3
等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an} 的前 4 项和 S4= .
【解析】由 an+2+an+1=6an,得 q +q =6q ,即 q +q-6=0,解得