立体几何中添加辅助线的策略
立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。
一、添加垂线策略。
因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。
例1.在三棱锥ABC
O-中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB 边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。
图1
解：如图1，由题意可设a
OA=，则3
ABC
O
a
6
1
V
,a2
CA
BC
AB=
=
=
=
-
，O点在底面的射影D为底面ABC
?的中心，a
3
3
S
3
1
V
OD
ABC
ABC
O=
=
?
-。又a
6
3
MC
3
1
DM=
=，OM与平面
ABC所成角的正切值是2
a
6
6
a
3
3
tan=
=
θ，所以二面角大小是2
arctan。
点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODM
Rt?，ODC
Rt?，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。
二、添加平行线策略。
其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。
例2.如图2，在正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，
4
B
A
F
D
E
B1
1
1
1
1
=
=，则
1
BE与DF所成角的余弦值是（）
A.
17
15
B.
2
1
C.
17
8
D.
2
3
图2
解析：取4
B A G A 111=
，易得四边形ADFG 是平行四边形，则AG AG //E E 1EA GE 1E BE 1∠1BE 如图3，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（ ）
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. 4
2π
图3
解析：添加辅助线OE 、OF ，连结EF ，构成OEF ?，关键是求EOF ∠。为了使EF 与已知条件更好地联系起来，过E 作AO EG ⊥，垂足为G ，连结FG ，构造G EF ?，在图3中，2
EGF ,FG 224sin 1EG π=∠==π?=。 3EOF ,OF OE 1FG EG EF 22π=
∠===+=∴ ∴点E 、F 在该球面上的球面距离为3
13π=?π，故选B 。 点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。
四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。
例4. 如图4，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、11C A 的中点，则EF 的长是（ ）。
图4 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
解析：如图4所示，取AC 的中点G ，连结EG 、FG ，则易得1EG ,2FG ==，故5EF =，选C 。
点评：本题充分体现了中位线的重要性。
五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。
例5. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. π3
B. π4
C. π33
D. 6π
解析：把这个正四面体BCD A -补成正方体，如图5，正四面体BCD A -可看成是由正方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体BCD A -的棱长为2，所以正方体棱长为1，正方体的体对角线长为球的直径3R 2=，
所以球的表面积π=?π=?π=34
34R 4S 2，选A 。
图5
点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系易于理解。