立体几何中添加辅助线的策略
2020年高考数学-解立体几何添加辅助线的技巧
2020年高考数学-解立体几何添加辅助线的技巧-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN解立体几何添加辅助线的技巧。
在学习立体几何时，空间中平行、垂直的证明，距离、角的计算，点、线、面位置关系的判断大多都需要做出辅助线，有些同学一涉及辅助线问题就懵圈，不知如何下手。
解决异面直线夹角、线面角、二面角、面面垂直的问题时，通常需要结合定义法求解，可是题目往往不会那么好心的为我们给出满足定义的所有条件，此时就需要添加辅助线，使已知条件满足某个定义，即把定义中缺少的线、面、体补全，所以理解并熟知立体几何当中的定义、概念很重要．总结一下就是：按照定义条件作辅助线凑条件．1定义法作辅助线求异面直线所成的角2定义法作辅助线求线面角3定义法作辅助线求二面角上述各例都是利用定义法作平行线和垂线，凑足条件后利用定义找到相应的角，结合解三角形得到相应的答案．二定理法添加辅助线—证明平形&垂直问题证明空间中的平行和垂直问题利用定义法一般较为麻烦，通常采用判定定理和性质定理。
来证明，利用定理作出辅助线，构造定理使用的条件．故定理法作辅助线即找满足定理的条件，核心为作平行线和垂线．1添加平行线的策略把不在一起的线集中到一个图形中，构造三角形、梯形的中位线，平行四边形、矩形、菱形的对边等，通过图形性质就可得到所需的平行关系．2添加垂线的策略立体几何中的许多定理是与垂线有关的，如三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定理，就需要作辅助线把没有的垂线补全．尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系和使用三垂线定理或其逆定理．作垂线方法：等腰三角形或正三角形取底边中点，连接顶点和中点；连接正方形、菱形的对角线；直立方体，可连接上下面中心；构造勾股定理等构造垂直关系．三、割补法添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图，作直观图时，可以画出正方体(或长方体)，在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．利用辅助线或辅助面，通过“割”或“补”把一些线面关系放到一些特殊的几何体中思考，或把原几何体分割成几个特殊的常见的简单几何体，使各种线、面关系易于理解．四、中心对称问题中的对称连线法当遇到对称几何体或几何面的问题时，如球、正三棱锥、立方体、圆、正三角形、矩形、平行四边形等，根据题意可以把对称几何体或几何面的中心几何面的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来，然后利用几何体或面的性质求解问题．例如平行四边形连对角线；圆的问题向圆心连线；球的问题向球心连线等，使问题简单易解．总结立体几何作辅助线问题，看到求角想定义，看到求证想定理，看到结论想性质．定义、定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础。
高中数学立体几何解题如何添加辅助线
立体几何解题如何添加辅助线王佩其有人说，解立体几何题“得辅助线者得天下”。
此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。
那么，辅助线该如何添加呢？这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。
”然后结合口诀分析几个例子，供同学们参考。
例1 如图1，在二面角β--αl 中，,l D C ,B A ∈α∈、、ABCD 是矩形，,PA ,P α⊥β∈且AD PA =，M 、N 依次是AB 、PC 的中点。
证明：MN 是异面直线AB 和PC 的公垂线。
分析：要证明此题，必须添加适当的辅助线。
根据题设条件中的N 点是PC 的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。
证明：选取PD 的中点Q ，连接QN 、QA ，则QN 是△PDC 的中位线，且.DC 21QN = 因为ABCD 是矩形，M 是AB 的中点，所以AM ∥DC ，且DC 21AM =，所以AM //QN ，所以四边形AMNQ 为平行四边形，所以AQ ∥MN 。
由⎩⎨⎧⊥α⊥AD AB PA 易证AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AQ ，所以AB ⊥MN ，所以AQ ⊥PD 。
又CD ⊥AQ ，所以AQ ⊥平面PCD ，即AQ ⊥平面β，所以AQ ⊥PC ，故而，MN ⊥PC ，所以MN 是异面直线AB 和PC 的公垂线。
例2 如图2，在三棱锥A －BCD 中，若∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝60°，AC ＝AD ，求证：AB ⊥CD 。
分析：题设条件中出现了“AC ＝AD ”，即△ACD 为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加辅助线。
证明：取DC 中点E ，连接AE 、BE 。
则AE ⊥CD 易证△BAC ≌△BAD ，所以BC ＝BD ，所以BE ⊥CD ，所以CD ⊥平面BAE ，所以CD ⊥AB 。
高二数学最新教案-立体几何作辅助线(面)的几点要求 精
立体几何作辅助线（面）的几点要求立体几何空间想象能力要求高，它的主要特点是借助于图形进行抽象思维，图形成了思维的载体.在立体几何教学中要十分重视提高学生的画图、识图和添辅助线（面）的能力，进而提高学生的空间想象和逻辑思维能力.1.画直观图、添辅助线（画），要注意准确性这里讲的“准确性”指的是要比较直观地、准确地反映点、线、面的位置关系.例1.已知三棱锥P —ABC 的底面是边长为a 的正三角形，三棱锥的高为a 23,且PB =PC =2a .求：(1)A 到平面PBC 的距离；(2)P A 与平面ABC 所成角的大小.图1～3都是例1的直观示意图，PO 皆表示P 到平面ABC 的距离，即棱锥的高PO ，AG 表示A 到平面PBC 的距离.这里的问题是，图1～3都符合题意吗？分析题中条件，只有P A 的值不确定.用运动观点视△PBC 绕BC 旋转，PO 是定值，P 在平面ABC 内的射影O 有可能在BC 边的两侧.图1和图3中，最多只有一种可能是对的.如图1、图2、图3中，在Rt △POD 中，图1 图2.3)41(222a PO BC PC OD =--=图1中，OD =,233AD a a =>图1不合题意. 如图2，图3，∵V P -ABC =V A -PBC ，∴AG =.1015a PD PO AD =⋅ 易证：∠P AO 是平面ABC 与直线P A 所成的角.在图3中，由AO =OD —AD =423π=∠PAO 得，在图2中，由AO =AD +OD =.31arctan 323=∠PAO a 得 图3通过例1的讨论，既淘汰常规思维的示意图1，又防止图2、图3的遗漏.展现过程，充分发挥图形这个载体，提高分析问题的能力.例2.如图4，三棱锥A —BCD ，侧棱AD ⊥侧面ABC ，侧面ABD ⊥底面BCD ，且AB =m ，AC =n ，AD =p .求：二面角A —BC —D 的大小.由于思维定势的影响，常会有这样的思路，∵DA ⊥侧面ABC ，作辅助线，得∠AED 是二面角A —BC —D 的平面角，再求它的大小.（如图4）然而，求∠AED 的大小，十分困难.上面添的辅助线不准确，实质上，二面角A —BC —D 的平面角是∠ABD . 图4简证：∵平面ABD ⊥平面BCD ，如图5，平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⊥⊥⇒⊥BC BC DA ABC DA BC AF BCD AF ABD ⇒∠ABD 是二面角 A —BC —D 的平面角.本题二面角A —BC —D 的平面角已隐含在图形中.寻找（或构造）二面角的平面角的过程，实质是应用线、面的性质的过程.在Rt △ABD 中 ,∠ABD =arctanAB AD =arctan .mp 图5例3.如图6，在平面β内有△ABC ，在平面β外有点S ，斜线SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，且SA ，SB 分别与平面β所成的角相等.(1)求证：AC =BC ；(2)又设点S 与平面β的距离是4厘米，AC ⊥BC 且AB =6厘米，求点S 与直线AB 的距离.如图7、图8，S 在平面β内的射影为O . 图6图7 图8解本题的关键是图7、图8中，哪一个直观图符合题意呢？在△ABC 中，∠ACB 可能是锐角、直角、钝角.∵SO ⊥底面ABC ，SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，∴OA ⊥AC ，OB ⊥BC .可得图7辅助线添法是准确的.2.追求添置辅助线的合理法九年义务教育数学大纲明确提出：“要进一步培养运算能力”“能够根据题目条件寻求合理简捷的运算途径”.立体几何中辅助线添置得合理，则有助于问题的解决和运算的简捷.例4.斜四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1每一个侧面都是有一个锐角为60°，边长为a 的菱形，底面有一锐角为45°.求：图9 .2245sin :2.1111a a a S V D C B A ABCD =︒⋅⋅=-底分析 现在问题是该从上底面A 1B 1C 1D 1中哪一个顶点向下底面作棱柱的高，使计算高时合理简捷.可以分析得到，侧面上有一条侧棱（例CC 1）相邻两侧面底角都是60°，一条侧棱（例AA 1）相邻两侧面底角都是120°.另两条侧棱（例BB 1或DD 1）相邻两侧面底角一个是60°，另一个是120°.（图10为棱柱侧面展开图）.又根据高中数学教材中基本图形（图11），空间一点（C ）到角的两边OA 、OB 距离相等（或∠COB =∠COA ），则这点（C ）在平面（BOA ）的射影H 在角（∠AOB ）的平分线上.图10 图11显然从C 1向底面作垂线是最佳选择（图9）C 1的垂足刚刚落在AC 上（即菱形ABCD 中∠ACB 的角平分线上），无论∠ACB 等于45°还是135°，不难求出棱柱的高.例5.已知四面体ABCD ，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥DC ，AB =4，BD =3，BC =6.求：二面角B —AC —D 的大小.思路1：首先在平面ABC 中，作BE ⊥AC 交AC 于E ，如图12，在△ADC中，作EF ⊥AC ，交DC 还是AD 于F ？图13、图14中哪一个符合题意呢？这需要计算、推理、判别.思路2：易推得平面ABD ⊥平面ADC . 图12首先在平面BAD 中，作BF ⊥AD 交于F.图13 图14如图15，根据三垂线定理的逆定理易得∠BEF 是二面角B —AC —D 的平面角，在Rt △ABD 、Rt △BDC 中，易求BF 、BE 的大小，∠BEF =.arcsin BEBF 显然思路2是比较合理的.寻求合理性必须要有扎实的基础知识和基本技能.3.添辅助线要寻求视野的广阔性 图15充分利用图形这个载体,引导学生多种灵活地添辅助线,有利于对学生的发散思维的培养.例6.已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AC =CB =A 1A =2，AB =2.D 1为A 1B 1的中点，F 1为A 1C 1的中点.求异面直线AF 1与D 1B 所成角的大小.分析：关键找点作两异面直线的平行线，以利计算出角的大小.如图16，E 为BC 中点，易证F 1EBD 1为平行四边形，.2arccos 11221211CF AF AE CF AF E AF ⋅⋅-+=∠ 我们开阔视野，还有其他种种添线方法. 图16方法2：（图17）伸展棱柱侧面A 1ACC 1，AQ =A 1F 1，∠QA 1D 是异面直线所成的角. 方法3：（图18）过B 1B 作矩形B 1BHH 1∥平面A 1ACC 1，且与矩形A 1ACC 1全等，K 为B 1H 1中点，∠D 1BK 等于所求角的大小.图17 图18方法4：(图19)AM ∥D 1B ，求∠MAF 1.方法5：（图20）以AC 、CB 为边作 ，N 为AI 中点⇒D 1NA ，求∠ND 1B . 方法6：（图21）E 为C 1B 1中点⇒ADE 1，D 为AB 中点⇒ 1，求∠A 1DE 1.图19 图20 图21以上一些方法实质上异曲同工，但它能使学生开阔视野，更清楚地把握点、线、面的位置关系.从而培养学生多种思维解数学问题的能力.。
高中数学立体几何解题如何添加辅助线
立体几何解题如何添加辅助线有人说，解立体几何题“得辅助线者得天下”。
此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。
那么，辅助线该如何添加呢？这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。
”然后结合口诀分析几个例子，供同学们参考。
例1 如图1，在二面角β--αl 中，,l D C ,B A ∈α∈、、ABCD 是矩形，,PA ,P α⊥β∈且AD PA =，M 、N 依次是AB 、PC 的中点。
证明：MN 是异面直线AB 和PC 的公垂线。
分析：要证明此题，必须添加适当的辅助线。
根据题设条件中的N 点是PC 的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。
证明：选取PD 的中点Q ，连接QN 、QA ，则QN 是△PDC 的中位线，且.DC 21QN = 因为ABCD 是矩形，M 是AB 的中点，所以AM ∥DC ，且DC 21AM =，所以AM //QN ，所以四边形AMNQ 为平行四边形，所以AQ ∥MN 。
由⎩⎨⎧⊥α⊥AD AB PA 易证AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AQ ，所以AB ⊥MN ，所以AQ ⊥PD 。
又CD ⊥AQ ，所以AQ ⊥平面PCD ，即AQ ⊥平面β，所以AQ ⊥PC ，故而，MN ⊥PC ，所以MN 是异面直线AB 和PC 的公垂线。
例2 如图2，在三棱锥A －BCD 中，若∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAB ＝60°，AC ＝AD ，求证：AB ⊥CD 。
分析：题设条件中出现了“AC ＝AD ”，即△ACD 为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加辅助线。
证明：取DC 中点E ，连接AE 、BE 。
则AE ⊥CD 易证△BAC ≌△BAD ，所以BC ＝BD ，所以BE ⊥CD ，所以CD ⊥平面BAE ，所以CD ⊥AB 。
中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)
专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。
学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。
所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
高中立体几何辅助线技巧
高中立体几何辅助线技巧高中立体几何辅助线技巧立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的三维图形。
在高中数学学习过程中，立体几何是一个非常重要的部分，而辅助线技巧则是解决立体几何问题的关键。
本文将为大家介绍一些高中立体几何辅助线技巧。
一、平行四边形法平行四边形法是解决平面内两直线或两平面之间的夹角问题时经常使用的方法。
具体步骤如下：1. 画出两个相交直线或平面。
2. 在其中一个直线或平面上任选一点，连一条与另一个直线或平面相交于该点的直线。
3. 在另一个直线或平面上找到与上述直线相交于同一点的另一条直线。
4. 连接这两条相交于同一点的直线所构成的平行四边形对角线。
5. 平行四边形对角线所在的直线就是原来两个相交直线或平面之间夹角所在的位置。
二、垂足法垂足法主要用于求解空间内点到某个面或某条直线距离最短的问题。
具体步骤如下：1. 画出一个点和一个面或一条直线。
2. 连接该点到面或直线上的垂线。
3. 在垂线上找到垂足点。
4. 连接该点和垂足点，这条连线就是点到面或直线的最短距离。
三、平面几何基本定理法平面几何基本定理法主要用于解决空间内平行关系和相交关系的问题。
具体步骤如下：1. 画出两个平行或相交的直线或平面。
2. 根据平面几何基本定理，选择适当的辅助线，将图形分割成几个简单的部分。
3. 利用简单部分之间的关系，求出所需结果。
四、向量法向量法主要用于解决空间内向量运算相关问题。
具体步骤如下：1. 画出所需向量及其所在位置。
2. 根据向量运算公式，选择适当的辅助向量，并进行计算得到所需结果。
五、截距法截距法主要用于求解空间内某个图形与坐标轴之间的交点坐标。
具体步骤如下：1. 画出所需图形及其所在位置。
2. 根据图形与坐标轴的交点坐标关系，选择适当的辅助线，并进行计算得到所需结果。
综上所述，以上五种高中立体几何辅助线技巧在解决立体几何问题时非常实用。
在学习过程中，我们应该灵活运用这些技巧，提高解决问题的效率和准确性。
立体几何中添加辅助线的策略
立体几何中添加辅助线的策略立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。
下面加以说明。
一、添加垂线策略。
因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。
尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。
例1. 在三棱锥ABC O -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA=OB=OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。
图1解：如图1，由题意可设a OA =，则3ABC O a 61V ,a 2CA BC AB ====-，O 点在底面的射影D 为底面ABC ∆的中心，a 33S 31V OD ABC ABCO ==∆-。
又a 63MC 31DM ==，OM 与平面ABC 所成角的正切值是2a 66a 33tan ==θ，所以二面角大小是2arctan 。
点评：本题添加面ABC 的垂线OD ，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODM Rt ∆，ODC Rt ∆，另一方面也构造出了OM 与平面ABC 所成的角。
二、添加平行线策略。
其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。
例2. 如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中，4B A F D E B 11111==，则1BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）A. 1715B. 21C. 178D. 23图2解析：取4B A G A 111=，易得四边形ADFG 是平行四边形，则AG//DF ，再作AG //E E 1，四边形EA GE 1也是平行四边形，E BE 1∠就是1BE 与DF 所成角，由余弦定理，算出结果，选A 。
几何题添加辅助线的标准
几何题添加辅助线的标准在解几何题时，添加辅助线是常用的方法之一，用于连接已知条件和未知条件，以便更容易找到解题思路和求解方法。
下面介绍几种常见的添加辅助线的方法。
1. 定义法定义法是指根据题目所给的条件和结论，结合几何图形的性质和定义，直接在图形上画出满足条件的辅助线。
这种方法比较简单，但需要熟练掌握几何图形的性质和定义。
例如，在解直角三角形时，可以根据直角三角形的定义，直接在图形上画出直角三角形的高、中线和角平分线等辅助线。
2. 构造法构造法是指根据题目所给的条件和结论，构造一个满足条件的新的几何图形，并在该图形上画出需要的辅助线。
这种方法比较灵活，但需要充分了解各种几何图形的性质和特点。
例如，在解圆的问题时，可以通过构造一个直径、半径或圆心角等辅助线，将已知条件和未知条件连接起来。
3. 归纳法归纳法是指通过对一些特殊情况的观察和分析，总结归纳出一般规律，并在此基础上画出需要的辅助线。
这种方法比较抽象，但可以帮助我们发现新的规律和解题方法。
例如，在解多边形的问题时，可以通过归纳总结出多边形的内角和公式，并在此基础上画出需要的辅助线。
4. 反证法反证法是指先假设题目中的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明结论的正确性。
这种方法比较间接，但可以帮助我们找到解题的突破口。
例如，在解平行线的问题时，可以通过反证法证明一条直线和另外两条平行线相交时所得到的同位角相等。
具体做法是先假设同位角不相等，然后推导出矛盾的结论，从而证明同位角相等。
5. 转化法添加辅助线的目的是为了将复杂的问题转化为简单的问题进行处理。
转化法是指通过添加辅助线将题目中的复杂图形转化为简单图形，以便更容易求解。
这种方法比较灵活，需要熟练掌握各种几何图形的性质和特点。
例如，在解四边形的问题时，可以通过添加辅助线将四边形转化为三角形、平行四边形或矩形等简单图形进行处理。
又如，在解圆的问题时，可以通过添加辅助线将圆转化为三角形、矩形或椭圆等简单图形进行处理。
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立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。
下面加以说明。
一、添加垂线策略。
因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。
尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。
例1.在三棱锥ABC
O-中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB 边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。
图1
解：如图1，由题意可设a
OA=，则3
ABC
O
a
6
1
V
,a2
CA
BC
AB=
=
=
=
-
，O点在底面的射影D为底面ABC
∆的中心，a
3
3
S
3
1
V
OD
ABC
ABC
O=
=
∆
-。
又a
6
3
MC
3
1
DM=
=，OM与平面
ABC所成角的正切值是2
a
6
6
a
3
3
tan=
=
θ，所以二面角大小是2
arctan。
点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODM
Rt∆，ODC
Rt∆，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。
二、添加平行线策略。
其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。
例2.如图2，在正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，
4
B
A
F
D
E
B1
1
1
1
1
=
=，则
1
BE与DF所成角的余弦值是（）
A.
17
15
B.
2
1
C.
17
8
D.
2
3
图2
解析：取4
B A G A 111=
，易得四边形ADFG 是平行四边形，则AG AG //E E 1EA GE 1E BE 1∠1BE 如图3，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（ ）
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. 4
2π
图3
解析：添加辅助线OE 、OF ，连结EF ，构成OEF ∆，关键是求EOF ∠。
为了使EF 与已知条件更好地联系起来，过E 作AO EG ⊥，垂足为G ，连结FG ，构造G EF ∆，在图3中，2
EGF ,FG 224sin 1EG π=∠==π⨯=。
3EOF ,OF OE 1FG EG EF 22π=
∠===+=∴ ∴点E 、F 在该球面上的球面距离为3
13π=⨯π，故选B 。
点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。
四、名线策略。
即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。
尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。
尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。
例4. 如图4，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、11C A 的中点，则EF 的长是（ ）。
图4 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
解析：如图4所示，取AC 的中点G ，连结EG 、FG ，则易得1EG ,2FG ==，故5EF =，选C 。
点评：本题充分体现了中位线的重要性。
五、割补策略。
分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。
例5. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. π3
B. π4
C. π33
D. 6π
解析：把这个正四面体BCD A -补成正方体，如图5，正四面体BCD A -可看成是由正方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。
因为四面体BCD A -的棱长为2，所以正方体棱长为1，正方体的体对角线长为球的直径3R 2=，
所以球的表面积π=⋅π=⋅π=34
34R 4S 2，选A 。
图5
点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系易于理解。