2018年高中数学 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲集合 (含答案)
0， 1， 2， 3} D． {1，
19． （2016 年全国 III）设集合 S x | ( x 2)( x 3) 0 , T x | x 0 ，则 S I T= A．[2，3] C．[3,+ ） B． （ ，2] U [3,+ ） D． （0，2] U [3,+ ）
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲
一、选择题 1．(2018 北京)已知集合 A {x || x | 2} ， B {2, 0,1, 2} ，则 A B A．{0，1} B．{–1，0，1}
2
集合
C．{–2，0，1，2}
D．{–1，0，1，2}
2．(2018 全国卷Ⅰ)已知集合 A {x x x 2 0} ，则 ðR A A． {x 1 x 2} C． {x | x 1} {x | x 2} B． {x 1 ≤ x ≤ 2} D． {x | x ≤ 1} {x | x ≥ 2}
16．(2016 年天津）已知集合 A {1, 2,3, 4}, B { y | y 3x 2，x A}, A． {1} B． {4} C． {1,3}
2
D． {1,4}
17．(2016 年全国 I)设集合 A {x | x 4 x 3 0} , B {x | 2 x 3 0} ,则 A B = A． ( 3, )
23． （2015 福建）若集合 A i , i , i , i A． 1 B． 1
2
3
4
， B 1, 1 ，则 A B 等于 （ i 是虚数单位） D．
C． 1, 1
24．（2015 重庆）已知集合 A 1, 2,3 ， B 2,3 ，则 A．A＝B B． A∩B C． A Ü B D． B Ü A
12． （2017 浙江）已知集合 P {x | 1 x 1} ， Q {x | 0 x 2} ，那么 P Q = A． ( 1, 2) B． (0,1) C． ( 1, 0) D． (1, 2)
13．（2017 北京）若集合 A {x | 2 x 1} ， B {x | x 1 或 x 3} ，则 A B = A． {x | 2 x 1} C． {x | 1 x 1} B． {x | 2 x 3} D． {x |1 x 3}
x
7． （2017 新课标Ⅰ）已知集合 A {x | x 1} ， B {x | 3 1} ，则 A． A B {x | x 0} C． A B {x | x 1} B． A B R D． A B
2
8． （2017 新课标Ⅱ）设集合 A {1, 2, 4} ， B {x | x 4 x m 0} ，若 A B {1} ， 则B A． {1, 3} B． {1, 0} C． {1,3}
3．(2018 全国卷Ⅲ)已知集合 A {x | x 1 ≥ 0} ， B {0,1, 2} ，则 A B A． {0} B． {1} C． {1, 2} D． {0,1, 2}
4．(2018 天津)设全集为 R，集合 A {x 0 x 2} ， B {x x ≥ 1} ，则 A I (ðR B ) A． {x 0 x ≤1} B． {x 0 x 1} C． {x 1 ≤ x 2} D． {x 0 x 2}
25． （2015 湖南）设 A, B 是两个集合，则“ A B A ”是“ A B ”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
26． （2015 广东）若集合 M x x 4 x 1 0 ， N x x 4 x 1 0 ， 则M N A． 1, 4 B． 1, 4
42．(2014 辽宁)已知全集 U R , A {x | x 0}, B {x | x 1} ，则集合 CU ( A B ) A． {x | x 0} B． {x | x 1}
40． （2014 陕西）已知集合 M {x | x 0}, N {x | x 1, x R} ，则 M N A． [0,1] B． [0,1) C． (0,1]
2
D． (0,1)
41．(2014 江西)设全集为 R ,集合 A {x | x 9 0}, B {x | 1 x 5} ,则 A (C R B ) A． ( 3, 0) B． ( 3, 1) C． ( 3, 1] D． ( 3,3)
5．(2018 浙江)已知全集 U {1, 2,3, 4,5} ， A {1,3} ，则 ðU A= A． B．{1，3} C．{2，4，5}
2 2
D．{1，2，3，4，5}
6．(2018 全国卷Ⅱ)已知集合 A {( x, y ) | x y ≤3 ， x Z ，y Z} ，则 A 中元素的个数 为 A． 9 B．8 C． 5 D．4
14． （2016 年北京）已知集合 A {x || x | 2} ， B {1, 0,1, 2,3} ，则 A B A. {0,1} B. {0,1, 2} C. {1, 0,1} D. {1, 0,1, 2}
15． （2016 年山东）设集合 A { y | y 2 x , x R}, B {x | x 2 1 0}, 则 A B = A． ( 1,1) B． (0,1) C． (1, ) D． (0, ) 则 A B =
3 2
B． (3, )
3 2
C． (1, )
3 2
D． ( ,3)
3 2
18．(2016 年全国 II)已知集合 A {1, 2,3} , B {x | ( x 1)( x 2) 0, x Z} ,则 A B A． {1}
2} B． {1，
1， 2， 3} C． {0，
2 2
D． {1,5}
9． （2017 新课标Ⅲ）已知集合 A {( x, y ) | x y 1} ， B {( x, y ) | y x} ，则 A B 中
元素的个数为 A．3 B．2 C． 1 D． 0
10． （2017 山东）设函数 y
A B =
4 x 2 的定义域 A ，函数 y ln(1 x ) 的定义域为 B ，则
33． （2014 山东）设集合 A {x x 1 2}, B { y y 2 x , x [0,2]}, 则 A B A． [0,2] B．(1,3) C． [1,3)
2
D． (1,4)
34． （2014 山东）设集合 A {x | x 2 x 0}, B {x |1 x 4} ，则 A B A． (0, 2] B． (1, 2) C． [1, 2) D． (1, 4)
35． （2014 广东）已知集合 M {1, 0,1} ， N {0,1, 2} ，则 M N A． {0,1} B． {1, 0, 2} C． {1, 0,1, 2} D． {1, 0,1}
36． （2014 福建）若集合 P x 2 x 4 , Q x x 3, 则 P Q 等于 A． x 3 x 4
22．(2015 四川)设集合 A = {x | ( x 1)( x 2) 0} ,集合 B {x |1 x 3} ,则 A B = A． {x | 1 x 3} C． {x |1 x 2} B． {x | 1 x 1} D． {x | 2 x 3}
31． （2014 新课标）设集合 M = {0,1, 2} ， N = x | x 2 3x 2≤0 ，则 M N = A． ｛1｝ B． ｛2｝ C． ｛0，1｝ D． ｛1，2｝
2
32． （2014 新课标）已知集合 A={ 2,0,2}，B={ x | x x 2 0 }，则 A B A． B． 2 C． 0 D． 2
20．(2015 新课标 2)已知集合 A {2, 1, 0,1, 2} , B {x | ( x 1)( x 2) 0} ，则 A B = A． {1, 0} B． {0,1} C． {1, 0,1}
2
D． {0,1, 2}
21． （2015 浙江）已知集合 P {x x 2 x ≥ 0}, Q {x 1 x ≤ 2} ，则 (ðR P) Q A． [0,1) B． (0, 2] C． (1, 2) D． [1, 2]
B 1,3, 4, 6, 7 ，则集合 A ðU B
A． 2,5 B． 3, 6 C． 2,5, 6 D． 2,3,5, 6,8
29． （2015 湖北）已知集合 A {( x, y ) x 2 y 2 1, x, y Z} ， B {( x, y ) | x |≤ 2 , | y |≤ 2,
B． x 3 x 4
C． x 2 x 3
D． x 2 x 3
2
37． （2014 浙江）设全集 U x N | x 2，集合 A x N | x 5 ，则 CU A A． B． {2} C． {5}
2
D． {2,5}
38． （2014 北京）已知集合 A {x | x 2 x 0}, B {0,1, 2} ，则 A B
A． (1, 2)
B． (1, 2]
C． ( 2,1)
D． [ 2,1)
11． （2017 天津）设集合 A {1, 2, 6} ， B {2, 4} ， C {x R | 1 ≤ x ≤ 5} ， 则 ( A B) C A． {2} B． {1, 2, 4} C． {1, 2, 4, 6} D． {x R | 1 ≤ x ≤ 5}
集合与常用逻辑用语 第1课时 集合的含义(高中数学)
D.]
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学 2019 年入学的全体
学生
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．用“book”中的字母构成的
C [由集合中元素的互异性可
集合中元素个数为( )
知，该集合中共有“b”“o”“k”
A．1
B．2
三个元素．]
C．3
D．4
8
3．用“∈”或“∉”填空： 12________N；－3________Z； 2________Q；0________N*； 5 ________R.
19
集合中元素的特性及应用 [探究问题] 1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？ 提示：a≠b. 2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？ 提示：a＝1或b＝1.
20
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． [思路点拨] A中含有元素：1和a2 ―a∈―→A a＝1或a2＝a 求―a―的→值 检验集合中元素的互异性
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围) 时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的 意识．
25
当堂达标 固双基
26
1．思考辨析 (1)接近于 0 的数可以组成集 合．( ) (2)分别由元素 0,1,2 和 2,0,1 组成 的两个集合是相等的．( ) (3)一个集合中可以找到两个相 同的元素．( )
30
4
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？ 提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确 的标准． (2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2018年高考数学第一章集合与常用逻辑用语专题1集合考场高招大全
专题1 集合考点1 集合间的基本关系考场高招1 两法搞定集合间的基本关系 1.解读高招 方法 解 读典例指引 列举法利用列举法,根据题中的限定条件把集合的元素表示出来,比较集合中元素的异同,从而找出集合间的关系典例导引1(1)集合元素 特征法 首先确定集合中的元素是什么,弄清集合中元素的特征,然后利用集合中元素的特征判断集合间的关系典例导引1(2)温馨 提醒 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么2.典例指引(1)(2017河北唐山模拟)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={y|y=x 2-1,x ∈A },则A ∩B 中元素的个数是( ) A.2B.3C.4D.5(2)(2016河北石家庄质检)设集合M={-1,1},N={x|x 2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N ⊆MB.N ∩M=∅C.M ⊆ND.M ∪N=R【答案】 (1)B (2)C3.亲临考场1.(2013课标Ⅰ,理1)已知集合A={x|x 2-2x>0}, ,则( )A .A∩B=∅B .A ∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B【答案】 B ∵x (x-2)>0,∴x<0或x>2. ∴集合A 与B 可用图象表示为: 由图象可以看出A ∪B=R ,故选B .B={x|- 5<x< 5}2.(2012课标,理1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x-y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10【答案】 D3.(2017河北冀州模拟)已知集合A={x|x 2-7x<0,x ∈N *},则中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 D【解析】由A={x|x 2-7x<0,x ∈N *}={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,6},可得B 中元素的个数为4. 4.(2017湖南长沙模拟)若集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={y|y=x 2,x ∈R },则( ) A.A ⫋B B.B ⫋A C.A=B D.A ∩B=∅【答案】 A【解析】∵2x>0,∴A={y|y>0}.∵x 2≥0,∴B={y|y ≥0}.∴A ⫋B.故选A . 考场高招2 利用两集合的关系求参数的值或取值范围 1.解读高招 步骤 解 读1.化简 化简集合,明确集合中元素的性质2.转化 将两集合的关系转化为元素的关系,进而转化为参数满足的关系3.求解 合理利用数轴、Venn 图帮助分析,对参数进行分类讨论4.验证 解题时注意区间端点的取舍2.典例指引(1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3(2)设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R}.若A∩B=∅ ,则实数a 的取值范围是( )B= y 6y ∈N *,y ∈AA.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}【答案】(1)B(2)C3.亲临考场(1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.(3)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．(4)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.(5)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 【答案】 －32(6)设不等式4－x x －2>0的解集为集合A ，关于x 的不等式x 2＋(2a －3)x ＋a 2－3a ＋2<0的解集为集合B .若A ⊇B ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－2，－1]【解析】由题意知A ＝{x |(4－x )·(x －2)>0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x ＋a －2)(x ＋a －1)<0}＝{x |1－a <x <2－a }．若A ⊇B ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥2，2－a ≤4，可得－2≤a ≤－1.考点2 集合的基本运算考场高招3 三法(定义法、数轴法、Venn 图法)解决集合的基本运算 1.解读高招方法 解读适合题型典例指引1定义 法交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．集合中元素具体、有限典例指引例3（1） 方法一2数轴 法①化简集合;②将集合在数轴上表示出来;③进行集合运算求范围,重叠区域为集合的交集,合并区域代表集合的并集。
2018版高考数学(理)第一轮总复习教师用书：第一章集合与常用逻辑用语含答案
第一章错误!集合与常用逻辑用语第一节集合本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念;2。
集合间的基本关系；3。
集合的基本运算.突破点(一）集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念（1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.（3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数）或已知元素个数求参数［例1](1))A．1 B．3C．5 D．9（2）若集合A＝｛x∈R|ax2－3x＋2＝0｝中只有一个元素，则a＝(）A.错误!B。
错误!C．0 D．0或错误!［解析］(1）∵A＝｛0，1，2},∴B＝｛x－y｜x∈A，y∈A｝＝｛0,－1，－2，1，2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时,Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝错误!。
故a＝0或错误!.［答案］（1)C（2）D［方法技巧]求元素(个数）的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝｛z|z＝x＊y,x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算"．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*"，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想）,从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数．元素与集合的关系［例2](1)设集合A＝｛2,3,4｝，B＝{2,4，6｝，若x∈A，且x∉B，则x＝()A．2 B．3 C．4 D．6（2)(2017·成都诊断)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m},若3∈A，则m的值为________．［解析］（1）因为x∈A，且x∉B，故x＝3.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书理
第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书理苏教版1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【知识拓展】1.若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1. 2.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3.A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( × ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1.(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B ＝__________. 答案 {－1，1，5}解析 ∵A ＝{－1，5}，B ＝{－1，1}， ∴A ∪B ＝{－1，1，5}.2.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B ＝__________. 答案 {x |3≤x ≤5}3.(教材改编)设全集U ＝R ，A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≥m }.若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，则m ＝________. 答案 1解析 ∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，∴B ＝∁U A ，故m ＝1.4.(2016·天津改编)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 答案 {1，4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10；即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2016·南京模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)8 (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1，2，6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3，4，8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6，7，11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8个元素.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·盐城模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________. ①－1∉A②－11∈A ③3k 2－1∈A (k ∈Z )④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________. (2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为____________.(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案 (1){7，9} (2){x |－2≤x ＜1}解析 (1)U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例 4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是____________.(2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________. 答案 (1)(－1，＋∞) (2)4解析 (1)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)由题意可得{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x >5}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为__________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________.答案 (1)a ≤2或a >3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为________. 答案 45解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A B 中元素的个数为45.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4 a ＋1 2－4 a 2－1 >0，－2 a ＋1 ＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4 a ＋1 2－4 a 2－1 >0，－2 a ＋1 ＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}. 答案 (1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，则A ∪B ＝________. 答案 {0，－1，1}解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{0，－1，1}.2.(2017·扬州月考)已知集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝__________. 答案 {1}解析 因为A ＝{x |0<x <2}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1}.3.(2016·盐城模拟)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________. 答案 8解析因为A∩B＝{1，3，5}，所以C＝{1，3，5}，故集合C的子集的个数为23＝8.4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.答案{1}解析因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为__________.答案[0，＋∞)解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.6.(2016·无锡模拟)已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁U A)＝______________.答案{x|2<x≤3}解析∵A＝{x<－1或x>3}，∴∁U A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，∴B∩(∁U A)＝{x|2<x≤3}.7.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是__________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.8.(2015·浙江改编)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝__________.答案{x|1<x<2}解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}.9.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.答案 4解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1，2}. 由题意知B ＝{1，2，3，4}.∴满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________. 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.12.(2016·南通模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·江苏无锡新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________.答案 3解析按P*Q的定义，P*Q中元素为2，－2，0，共3个.*14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案 6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.*15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.11。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第一章
第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______， _______. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2．常用数集的符号(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________．(2)集合与集合之间的关系：⊆A ，B≠12n 有________个．4．两个集合A 与B 之间的运算5.(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n-1 2n-24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②③U④⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)-card(A∩B)card(U)-card(A)-card(B)＋card(A∩B)(2016·北京)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( ) A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解：易知A∩B＝(2，3)．故选C.(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( ) A．B．(0，1]C．解：因为M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，所以M∪N＝．故选A.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2-1＜0}，则A∪B＝( ) A．(-1，1) B．(0，1)C．(-1，＋∞) D．(0，＋∞)解：易知A＝(0，＋∞)，B＝{x|-1＜x＜1}，所以A∪B＝(-1，＋∞)．故选C.设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为________．解：当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，所以x≠2；若x ＝-2，则A＝{1，4，-4}，B＝{1，4}，满足题意．当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，所以x＝0或-2.故填0或-2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4.故填(4，＋∞)．类型一 集合的概念(1)若集合A ＝{-1，1}，B ＝{0，2}，则集合M ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：当x ＝-1，y ＝0时，z ＝-1；当x ＝-1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为-1，1，3，所以所求集合M ＝{-1，1，3}，共有3个元素．故选C .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝-32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝-32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝-32.故填-32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0，a ∈R }，如果1∈S ，那么a 的值为( )A ．-3B ．-1C ．1D ．3解：因为1∈S ，所以3＋a ＝0，a ＝-3.故选A .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝-1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝-1，所以a2 017＋b2 017＝-1.故填-1.类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2-3x -10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2-3x -10≤0}，得A ＝{x |-2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝，有m ＋1＞2m -1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1≥-2，2m -1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6＝-2，2m -1＝5，解得m ∈，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1＞m -6，m -6≤-2，2m -1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |-2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝，求实数m 的取值范围． 解：(1)①当m ＋1>2m -1，即m <2时，B ＝，满足B ⊆A . ②当m ＋1≤2m -1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥-2，2m -1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{-2，-1，0，1，2，3，4，5}， 所以A 的非空真子集个数为28-2＝254. (3)因为x ∈R ，且A ∩B ＝，所以当B ＝时，即m ＋1＞2m -1，得m ＜2，满足条件；当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，2m -1＜-2， 解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(-∞，2)∪(4，＋∞)．类型三 集合的运算(1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}解：易知A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：因为U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}．又因为B ＝{1，2}，所以{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x -m )(x -2)<0}，且A ∩B ＝(-1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |-5<x <1}，由A ∩B ＝(-1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝-1，n ＝1.故填-1，1.【点拨】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1，N ＝{x |-1≤x ≤3}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，-1)C ．D ．(1，3)解：因为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1＝{x |x >1}，则∁R M ＝{x |x ≤1}，且N ＝{x |-1≤x ≤3}，所以N∩(∁R M)＝．故选C.(2)(2015·唐山模拟)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )A．{0，1，2} B．{0，1，3}C．{0，2，3} D．{1，2，3}解：因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1.所以M＝{2，1}，N＝{3，1}，M∪N＝{1，2，3}．故选D.(3)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝，则m的值是________．解：A＝{-2，-1}．由(∁U A)∩B＝，得B⊆A.x2＋(m＋1)x＋m＝(x＋m)(x＋1)，所以当m＝1时，B＝{-1}，合要求，当m≠-1时，B＝{-1，-m}，故只能有m＝2.所以m＝1或2.故填1或2.类型四Venn图及其应用设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M-(M-P)等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠时，由图知，M-P为图中的阴影部分，则M-(M-P)显然是M∩P.当M∩P＝时，M-(M-P)＝M-M＝{x|x∈M，且x∉M}＝＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M-P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{-1，0，4}，集合B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}＝{x|-1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，该集合为{-1，4}．故填{-1，4}．类型五 和集合有关的创新试题在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为，即＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈；②-3∈；③Z ＝∪∪∪∪；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈”．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为2 017＝403×5＋2，所以2 017∈，结论①正确；-3＝-1×5＋2，所以-3∈，-3∉，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z ＝∪∪∪∪，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”，则a ＝5n ＋k ，b ＝5m ＋k ，a -b ＝5(n -m )＋0∈，反之，若a -b ∈，则a ，b 被5除有相同的余数，故a ，b 属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C .【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“○×”为：(a ，b ) ○× (c ，d )＝(ac -bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b ) ⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1，2) ○× (p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(0，-4) B ．(0，2) C ．(4，0)D ．(2，0)解：因为(1，2) ○× (p ，q )＝(p -2q ，2p ＋q )＝(5，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p -2q ＝5，2p ＋q ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝-2，所以(1，2) ⊕(p ，q )＝(1＋p ，2＋q )＝(2，0)．故选D .1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2-x ＋2a -1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a -9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集， 即⎩⎪⎨⎪⎧1-4a ＜0，1-4（2a -1）≤0，a ＞4a -9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{-2，-1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C . 2．设集合M ＝{-1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}解：因为N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{-1，0，1}， 所以M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．C ．(1，2)D ．解：由题意得∁R P ＝(0，2)，所以(∁R P )∩Q ＝(1，2)．故选C .4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|1x ＜1，B ＝{x ∈R |2x ＜1}，则( ) A ．A ⊇BB ．A ＝BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝解：易知A ＝{x |x ＞1或x ＜0}，B ＝{x |x ＜0}，所以B ⊆A .故选A .5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}，B ＝{x ∈Z |-1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}＝{x ∈N |7x -x 2-6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a -b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{-4，-2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(-4)＋(-2)＝-6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1-n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．设集合A ＝{-1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解：由题意得a ＋2＝3，则a ＝1.此时A ＝{-1，1，3}，B ＝{3，5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．故填1.8．(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x -2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________. 解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q -1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n -1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2-7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝-4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3， 当a ＝-4时，B ＝{x |-2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |-2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝.①当B ＝，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠，即a ＜0时，B ＝{x |--a ＜x ＜-a }，要使B ⊆∁R A ，只须-a ≤12，解得-14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥-14. 11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2-3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)A 是空集，即方程ax 2-3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝（-3）2-8a ＜0， 所以a ＞98， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，A 中只有一个元素23； 当a ≠0时，Δ＝0，得a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43， 所以当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43. (3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＝0或a ≥98.已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1＝0，a ∈R ，x∈R }．若A ∪B ＝A ，试求实数a 的取值范围．解：由题意得A ＝{0，-4}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，又A 的子集为，{0}，{-4}，{0，-4}．①若B ＝，则Δ<0，即4(a ＋1)2-4(a 2-1)<0，解得a <-1；②若B ＝{0}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝0， 解得a ＝-1； ③若B ＝{-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝16，2（a ＋1）＝8， 此时a 不存在； ④若B ＝{0，-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝4， 解得a ＝1， 综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，-1]∪{1}．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
专题一 第一讲 集合与常用逻辑用语
一、选择题1．设集合M ＝{m ∈Z|m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由已知得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}． 答案：B2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，且m ＝ta ＋b ，n ＝a －kb (t 、k ∈R)，则m ⊥n 的充要条件是( )A ．t ＋k ＝1B ．t －k ＝1C ．t ·k ＝1D ．t －k ＝0解析：∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝0，|a |＝|b |＝5，∴m ⊥n ⇔m ·n ＝0⇔(ta ＋b )(a －kb )＝0⇔ta 2－kta ·b ＋a ·b －kb 2＝0⇔5t －5k ＝0，即t －k ＝0.答案：D3．(2011·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．答案：C4．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( )A ．綈p 是假命题B ．綈q 是真命题C ．p ∨q 是真命题D ．綈p ∧綈q 是真命题 解析：先分别判断两命题的真假，由于9x 2－6x ＋1＝(3x －1)2≥0，故命题p 假；又sin x＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，故命题q 为真，因此p ∨q 为真命题． 答案：C二、填空题5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析：由题意知a 2＋4>3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意，∴a ＝1.答案：16．命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是__________． 解析：“有正实根”的否定是“无正实根”．故命题“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根”．答案：存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根7．给出下列三个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)解析：①显然正确；由y ＝x 与y ＝sin x 的图像可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.∴f ′(x )>g ′(x )，③正确．答案：①③三、解答题8．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解：原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0.∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．9．若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R}，集合B ＝{1,2}，且A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：由A ∪B ＝B 得A ⊆B .(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52，此时A ＝{2，12}，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)．10．设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数， ∴0<a －32<1.∴32<a <52. ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.∵“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，∴p 、q 为一真一假．若p 真q 假，得32<a <2， 若p 假q 真，得52≤a ≤4， 综上可知：a 的取值范围是(32，2)∪[52，4]．。
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、
3.设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是 ( )
A.[0,1] B.[-1,2] C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 答案 D 因为A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以 A∪B=[-1,2],所以∁R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).
跟踪集训
1.(2016河北石家庄模拟)已知集合A={-2,-1,2,3},B={x|-1<x<3},则A∩B=( A.(-2,3) B.(-1,3) C.{2} D.{-1,2,3} 答案 C 由交集定义可得A∩B={2},选项C正确. )
答案 C 由题意知A=[0,1],B=(-∞,1),所以A∩B=[0,1).
答案 A
若a<0,b<0,则一定有a+b<0,故选A.
答案 ①② 解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误.
若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 2.判断充分、必要条件时应关注三点 (1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出
B;“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A.
(2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时, 可以通过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:¬ p是¬ q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;¬ p是¬ q 的充要条件⇔p是q的充要条件.
跟踪集训
3.命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 . 答案 ∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1 解析 “∃”改为“∀”,“x0”改为“x”,否定结论,即ln x≠x-1,故该命题的否定为 ∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1.
高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文
第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________． 答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数 若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数 【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件． 答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。
高考专题复习—集合与常用逻辑用语 第一讲+第二讲(解析版)
高考专题复习—集合与常用逻辑用语（解析版）➱第一讲集合◎基础巩固1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N ＋Z Q R(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③韦恩图.2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B(或B⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B 或B A集合相等集合A ，B 中的元素相同或集合A ，B 互为子集A ＝B3.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示数学语言{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }运算性质A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A；A ∪B ＝B ∪A .A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A；A ∩B ＝B ∩A .A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A.1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N＋⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：D[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B[由题意可得：A∩B＝{2,4}，故选B.]3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁U A)∪B＝()A．{3,4,5}B．{2,3,5}C．{5}D．{3}解析：B[因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁U A＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,3,5}．] 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(－∞，1]5．(教材改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝___________________.答案：{2,4}◎考点探究考点一集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A[∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1；所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝()A.92B.98C ．0D ．0或98解析：D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2019＝________.解析：由M ＝N ＝1，2n ＝m ＝m ，2n ＝1，＝0，＝12，＝2.∴(m －n )2019＝－1或0.答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(师生共研)[典例](1)已知集合A ＝{x |ax ＝1},B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是()A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析](1)由题意，得B ＝{－1,1}，因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．＋1≥－2m －1≤7＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.[答案](1)D (2){m |m ≤4}[互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________.解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A |x >1a因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A |x <1a因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练](1)若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素，即方程ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根．当a ＝0时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4.故a ＝4.答案：4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )．由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(文科)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝()A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A[根据集合交集中元素的特征，可以求得A ∩B ＝{0,2}，故选A.]2．(文科)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则()A ．A ∩B |x B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B |xD ．A ∪B ＝R解析：A[由3－2x ＞0得x ＜32，所以A ∩B ＝{x |x ＜2}|x |x ，故选A.][命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(文科)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{x |2＜x ＜5}，则A ∩(∁R B )等于()A ．{2,3,4,5}B ．{1,2,5,6}C ．{3,4}D ．{1,6}解析：B[因为∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥5}，A ＝{1,2,3,4,5,6}；所以A ∩(∁R B )＝{1,2,5,6}．][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝()A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：C[由题意知x ＝1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，代入解得m ＝3，所以x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，从而B ＝{1,3}．]5．已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________.解析：∁R B ＝{x |x ＜1，或x ＞2}，要使A ∪(∁R B )＝R ，则a ≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个[解析]C[由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4}D．{x|2≤x≤4}解析：B[A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．]◎课时作业[基础训练组]1．已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝()A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x ＜3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：C[集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C[因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝()A.0B ．(－∞，0)∪12，＋∞D ．(－∞，0]∪12，＋∞解析：D[A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}A ∩B所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪12，＋7．已知A ＝[1，＋∞)，B ∈R |12a ≤x ≤2a －A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．[1，＋∞) B.12，1 C.23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：A[因为A ∩B ≠∅a －1≥1，a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]8．函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝()A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D[使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0>0＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B[当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ，12，－3个元素．]15．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.答案：1或－1816．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人，同时会打乒乓球和排球的学生有y人，同时会打排球和篮球的学生有z人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人，会打乒乓球或排球的学生有16人，会打篮球或打排球有22人，∴x＋y＋z＝24＋16＋22－40＝22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22.答案：22➱第二讲命题、充分条件与必要条件◎基础巩固1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：A[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：D[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题.故选D.]3．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝14．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为_________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤05．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________.解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④◎考点探究考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1．命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：C[根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q.∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：C[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.]3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1．设p∶0＜x＜1，q∶2x≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[q∶2x≥1，解得x≥0.又p∶0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p∶f′(x0)＝0，q∶x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：C[函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．]3．已知向量a＝(－2，m)，b m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：B[∵a＝(－2，m)，b m∈R，∴a＋2b＝(4,2m)若a⊥(2a＋2b)，则－8＋2m2＝0，解得m＝±2，故“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A，B⇒A与非A⇒非B，A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．4．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围．解析：由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______.解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10} {x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．◎课时作业[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D[写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]2．设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1，因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.4．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D[由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]5．若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C[由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B[若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案：充要11．若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p |12≤x ≤由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．非p 对应的集合A |x ＞1或x q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是0，12.答案：0，12[能力提升组]13祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是()A.－2，－12B.12，2C ．[－1,2]，12∪[2，＋∞)解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a －3)＝－a 2＋a ＋6≥0，1)＝－a 2＋a ＋2≥0，2＜a ＜31≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.[a ，a ＋1]．≤12，＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0，12。