人教版数学五年级下册商不变的规律
人教版数学五年级下册商不变的规律
《商的变化规律》教学设计内丘县平安小学和爱良教材分析：1.《商的变化规律》在小学数学中占有很重要的地位，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法、分数、比的基本性质等知识的基础，教材中利用学生已有的计算技能，通过计算比较，提出问题引导学生思考发现商的变化规律。
2. 这部分内容不但可以巩固所学的计算知识，同时培养了学生初步的抽象、概括能力以及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好的学习习惯。
学情分析：根据学生的年龄特征，创设有效的问题情境，引导学生自主观察、比较相关算式的内在联系，探究、发现、验证并运用规律，既让学生掌握了商不变性质，又让学生积极、主动地参与到知识的形成过程中去，培养学生教学目标：1、理解和掌握商不变的规律。
2、通过观察、分析、交流、合作总结商不变的规律。
3、利用商的变化规律进行简便计算。
教学重点和难点：1、发现规律，掌握规律。
2、利用商的变化规律进行简便计算。
教学过程：一、情境激趣，揭示新课1、师：同学们，你们喜欢孙悟空吗？你们知道孙悟空有一项特别厉害的本领是什么呢？（生：七十二变）不管孙悟空怎么变，它还是谁？（生：孙悟空）安排孙悟空分桃子的故事：8个桃子分2天吃完，16个桃子分4天吃完，32个桃子分8天吃完，64个桃子分16天吃完。
（将数字板书在黑板上）2、提问：孙悟空运用了什么知识教育了猪八戒？今天我们一起来研究一下。
3、师揭示新课：数学知识也有这些变与不变的现象，今天我们就一起来探讨这些变化规律。
二、出示学习目标。
三、出示自学指导。
认真阅读教科书93页内容。
1、独立完成93页上面的两组题。
观察每组题中什么数变了，什么数没有变。
有什么规律2、完成93页上面的表格，思考课本提出的问题3、自学完成后，把你的发现与同桌交流一下，5分钟后检测，比谁自学效果好。
四、探究体验，建构新知（一）探究商随除数（或被除数）变化而变化的规律。
1、组织小组讨论：在刚才两组算式中，藏着很有价值的数学知识，仔细观察，你发现了什么？每一小组可选择自己感兴趣的一组算式进行研究。
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
单击此处添加项标题
数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
商不变的规律优秀课件
42÷3=14 84÷6= 14 420÷30= 14
250÷50=5 420÷20=21
50÷10= 5 840÷40= 21
25÷5= 5
42÷2=
21
赶紧去救人吧！
80÷20= 4
320÷80= 4
630÷30=21
400÷50=8
480÷60= 8
960÷30= 37270÷70=11900÷30=30
=16
你能用这个方法计 算下面各题吗？
150÷25 =(150 ×4 )÷(25 ×4) =600 ÷100 =6
小芳
（8 ÷ 2）÷（2 ÷ 2）＝ 4
（8×0）÷（2×0）＝4
小刚
（8÷0）÷（2÷0）＝4
小红
被除数和除数同时乘或除以一个相 同的数（0除外），商不变
Hale Waihona Puke 先说说被除数和除数分别是怎样变化的，再直接填出商。
3 10 2 3
3 10 2 3
5
5
5
5
第一关 第二关 第三关 第四关
1、根据每组第1题的商，直接说出下面两题的商。
赶紧去救人吧！
第一关 第二关 第三关 第四关
第一关 第二关 第三关 第四关
谢谢大家！
第一关 第二关 第三关 第四关
下面是新民乡3所小学购买计算器的数量和所付的钱数：
他们购买的计算器价格相同吗？
下面是淘气计算“400÷25”的过 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？
400÷25 =（400 × 4）÷（25 × 4） =1600 ÷100
60÷20=3 ↓
6÷2= 3
720÷80= 9 ↓
72÷8= 9
350÷50= 7 ↓
小学数学商不变的规律三条
小学数学商不变的规律三条
商不变的规律三条
1、被除数和除数同时乘上或除以不为0的相同的数，商不变。
2、被除数不变，除数扩大多少倍，商缩小同样的倍数。
除数缩小多少倍，商扩大同样的倍数。
3、除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大同样的倍数，被除数缩小多少倍，商缩小同样的倍数。
有余数除法口诀
整数除法有余数，密切注意被除数。
如果末尾带有0，不够商1要商0。
末尾是0应落下，余数才能不出错。
相除划掉几个0，算出商数照样行。
划不划0商不变，余数却要作改变。
被除数划儿个0，余数便补儿个0。
再查商乘除数积，积加余数算出和。
如和等于被除数，说明除法全正确。
除法计算题
1、0.125÷5=
2、0.24÷0.2=
3、0.4÷0.01=
4、0.57÷19=
5、0.7÷0.01=
以上就是一些商不变的规律的相关信息，希望对大家有所帮助。
《商不变的规律》ppt
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
《商不变的规律》ppt课件
15×2＝30 15×8＝120 15×16＝ 240 一个因数不变，另一个因数扩大若干倍， 积就扩大若干倍。
80÷20= 4 720÷80= 9 350÷50= 7
8÷2= 4
72÷8=9
35÷5=7
商不变的规律
探索新知
先按要求算一算、填一填，再比较算出的结果。
被除数
除数
除法算式
学以致用
1.根据每组第1题的商，直接写出下面两题的商。
42÷3=14 84÷6= 14 420÷30=14
250÷50=5 420÷20=12 50÷10=5 840÷40=12 25÷5= 5 42÷2= 12
被除数、除数同时除以一个相同的数 （0除外），商不变。
学以致用
2.口算下面各题，并说说是怎样算的。
5
100÷4
20÷4
25÷5
5
被除数
除数
除法算式
商
90
30
90÷30
3
90×2
30×2
180÷60
3
90÷3
30÷3
30÷10
3
被除数和除数同时乘或除以一个相同 的数（0除外），商不变。
乘0或除以0，都会出现 除数是0，这样的算式 没有意义。
同时乘或除以一个数， 这个数为什么不包括0？
典题精讲
6
答：他们购买的计算器价格相同。
课堂小结
大家想一想， 今天学习了什 么内容？
商不变的规律是 什么？
1.今天学习了商不变的规律。
2. 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（ 0除外），商不变。
80÷20= 4 8÷2
140÷70= 2 14÷7
积和商“变与不变”规律及练习
积和商“变与不变”规律及练习积和商的“变与不变”规律积的变化规律：1.一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
例如：如果a×b=c，则(a×3)×b=c×3，举例：a×b=12，如果(a×3)，则积就是12×3=36.2.一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
积不变规律：1.一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
例如：如果a×b=c，则（a×5）×（b÷5）=c。
商的变化规律：1.被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
例如：如果a÷b=c，则a÷（b×3）=c÷3，举例：a÷b=12，如果(b×3)，则商就是12÷3=4.2.除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
例如：如果a÷b=c，则(a×3)÷b=c×3，举例：a÷b=12，如果(a×3)，则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
练题：1.根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝(93.6)，0.78×12＝(9.36)，7.8×(93.6)＝(734.88)2.根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝(2.3)，4140÷1.8＝(2300)，0.414÷0.18＝(2.3)，41.4÷18＝(2.3)3.根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。
商不变规律ppt
商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。
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猴子分桃 为什么小猴子笑了？ 给小猴子的桃越来越多 为什么猴王也笑了?
8÷4=2 80÷40=2 800÷400=2 8000÷4000=2
人教版数学四年级上册87页
商的变化规律
平安小学 和爱良
一、质疑问难 积的变化规律是什么？
二、探究新知
（1） 16
2
160 ÷8= 20
320
40
（2）
2
100
200 ÷ 20 = 10
40
5
除数不变，被除数乘几，商 也乘几。
除数不变，被除数除以几， Fra bibliotek也除以几。被除数不变，除数乘几，商 反而除以几。
⑴、一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，
除数也要乘15. （ √ ）
五、知识升华
下面的说法对吗？对的在（ ）里画“√”
⑴、一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，
除数也要乘15. （ √ ）
⑵、两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4， 商就变成32. （ ）
五、知识升华
下面的说法对吗？对的在（ ）里画“√”
四、能力提升
根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。
72÷9= 8 720÷9= 80 7200÷9= 800
3600÷3 = 1200 3600÷30 = 120 3600÷300 = 12
80÷4=20 800÷40 =20 8000÷400 = 20
五、知识升华
下面的说法对吗？对的在（ ）里画“√”
（3）6÷3= 2 60÷30= 2 600÷300= 2 6000÷3000= 2
三、归纳梳理
这节课咱们学了什么？
商的变化规律 （1）除数不变，被除数乘几，商也乘几。
除数不变，被除数除以几，商也除以几。
（2）被除数不变，除数乘几，商反而除以几。 被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（3）被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。 被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
40
5
三、归纳梳理
这节课咱们学了什么？
商的变化规律 （1）除数不变，被除数乘几，商也乘几。
除数不变，被除数除以几，商也除以几。
（2）被除数不变，除数乘几，商反而除以几。 被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（1） 16
2
160 ÷8= 20
320
40
（2）
2
100
200 ÷ 20 = 10
40
5
⑴、一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，
除数也要乘15. （ √ ）
⑵、两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4， 商就变成32. （ ） ⑶、一个除法算式的被除数、除数都除以3以后， 商是20，那么原来的商是60.（ ）
猴子分桃
花果山风景秀丽，气候宜人，那儿住着一群猴子。有 一天，猴王让小猴分桃子。猴王说：“给你8个桃子，平 均分给2只小猴子。”小猴子一听，连连摇头，“不行， 太少了！太少了！”“那就给你80个桃子，平均分给20只 猴子。”小猴子喊道：“还少，还少。”“还少呀？那就 给你800个桃子，平均分给200只猴子吧。” 小猴子得寸进尺，试探地说：“大王开恩， 再多给点行不行呀？”猴王一拍桌子，显 出慷慨的样子：“那好吧，给你8000个桃 子平均分给2000只小猴子，这下你该满 意了吧。”小猴子笑了，猴王也笑了。
三、归纳梳理
这节课咱们学了什么？
商的变化规律
（1） 16
2
160 ÷8= 20
320
40
三、归纳梳理
这节课咱们学了什么？
商的变化规律 （1）除数不变，被除数乘几，商也乘几。
除数不变，被除数除以几，商也除以几。
（1） 16
2
160 ÷8= 20
320
40
（2）
2
100
200 ÷ 20 = 10
被除数不变，除数除以几， 商反而乘几。
二、探究新知
（3）计算并观察下面的题。
从
6÷3= 2
从
上 往
60÷30= 2
下 往
下 观
600÷300= 2
上 观
察
6000÷3000= 2
察
你发现了什么规律？
从上往下观察：
从下往上观察：
被除数和除数都乘一 个相同的数，商不变。
被除数和除数都除以一 个相同的数，商不变。