常微分方程预备知识
从t1到t 2时刻，中温度变化所需要的热 量 Q3 c (u（x，y，z，t1 ) u ( x，y，z，t1 ))dv
u c dtdv 其中c为比热， 为体密度。 t2 t
t1
由热量守恒定律 Q1 Q2 Q3
u 即为 （ （ku） F） dvdt c dvdt t t1 t1
0
则有两条不同的实特征线，此时称方程是双曲型方程；
0
则有两条相同的实特征线，此时称方程是抛物型方程 0 则无的实特征线，此时称方程是椭圆型方程
2 2u 2 弦振动方程 2 a 2 u a 0 2 t x 2 u u 2 一维热传导方程 t a x 2 0
dui ui 3 ui x j ui 3 ui 其中ai uj dt t j 1 x j t t j 1 x j
p p 因为 xi xi
ui 3 ui 1 p ui fi t i 1 xi xi
s s j 1 3
3
p i j dv pdv x j j 1
在整个 上外力为 Ｆ dv。
流体加速度为 a，在上惯性力 ma 为 adv。
由牛顿第二定律得
adv Fdv pdv
a F p 0
4:热传导问题
u( x, y, z, t ) : 物体在( x, y, z)处t时刻的温度。
Fourier 定律：在时间dt内，流过ds的热量dQ与物体的 u 温度沿曲面ds的法线方向的方向导数 成正比，即 n u dQ k ( x，y，z ) dsdt n
其中k ( x，y，z ) 0是物体在点 ( x，y，z )处的热传导 系数。“ ”热流向量与温度梯度 gradu 的正向相反。
u u k (0，t ) g1 (t )，k ( L，t ) g 2 (t ) x x 0
已知端点的位移与所受垂直于弦线外力的作用，即
u k （ 0，t） u（ 0，t） g（ 1 t）， x u k （L，t） u（ 0，t） g（ 2 t） x
x dx
s
x
u 2 1 ( ) dx x
u 假设振动很小：即 u和 都很小，因此可省略 x 高阶项，得到：
x dx
s
x
u 2 1 ( ) dx x x
即有（x，x dx）振动过程中长度与时 间无关， 因此，各点的张力大小 与时间无关，由第二定 律
由于、t1、t 2的任意性，于是有 u （ku） F c t
t2 t2
u 2 如果k为常数，则 a u f t K F 2 其中a ，f c c
初始问题： u |t 0 ( x，y、z) u | ( x，y，z，t )
u 或者传入的热量为已知 ， | ( x，y，z，t ) n
5:理想流体的流动问题
考虑一理想流体，速度 为u，ui为u在xi 方向的分量， 流体密度为，它们都是（ x1，x2，x3，t）的函数。
在流体中，任取一个闭 曲面S区域为，在时刻t， 到t dt内，通过曲面 S上一小块ds的流量dQ1为
un dtds，此处n表示外法线方向， un为u在n的分量。
第二节：二阶线性方程的分类 一般地，n 个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为
i , j 1
n
n 2u u aij ( x1 , x2 ,, xn ) bi ( x1 , x2 ,, xn ) cu f xi x j i 1 xi
当系数是常数时，称为常系数线性偏微分方程。 否则称为变系数的。 当
波动方程（二阶双曲方 程）的初值问题：
2 2u 2 u 2 a 2 t x u ( x,0) f ( x) u ( x,0) t g ( x)
t 0, x x x
其解可由达朗贝尔（ D' Alem bert ）公式给出： f ( x at) f ( x at) x at 1 u ( x, t ) g ( )d x at 2a 2
其解析解可以表示为
u( x, t )
1 ( x) exp[ ] ( )d 4at 4at
2
初始条件 已知在开始时刻物体的温度的分布情况，即
u |t 0 ( x，y、z)
已知边界上的温度分布状况，u | （x，y，z，t） 已知通过边界的热量，即
u | （x，y，z，t） n
2u 2u 2 u 2 T（ 2 2 ) F（x，y，t） t y x
3:位势方程 如果外力不随时间变化 ，即F F（x，y），
则薄膜处于一种平衡稳 定状态，此时u（x，y） 不随时间变化，故 utt 0，于是方程取形式：
2u 2u u 2 2 F ( x, y)或者u 0 x y 称为poisson方程,也即膜振动的调和方程,也即 Laplace方程,称为位势方程.
由牛顿第二定律： 2u u u xy 2 T（ | y y | y ）x t y y u u T（ | x x | x ）y F（x，y，t）xy x x
2u 2u T（ 2 ( , y, t ) 2 ( x, , t ))xy F（x，y，t）xy y x
定义 称一阶常微分方程为二阶线性偏微分方程的 特征方程。称特征方程的积分曲线为二阶线性偏微 分方程的特征曲线。 解特征方程的积分曲线，可以化为
dy dx
2 a12 a 12 a11a 22
a11
2 a 特征方程的解取决于它的判别式 12 a11 a22
2 dy a12 a12 a11 a 22 dx a11
初始条件 已知在弦上各点的初始速度和位移。即
u ( x， 0) u ( x， 0) ( x)， ( x) t
已知弦两端点的位移变化。 u(0，t ) g1 (t )，u( L，t ) g 2 (t ) 当两端固定时，
u(0，t ) u( L，t ) 0
已知弦的端点所受的垂直于弦线外力的作用，即
其中 0表示流入， 0表示流出。 0表示绝热。 已知物体通过边界与外界进行热交换，即
u | u （x，y，z，t） n
其中 表示外界介质的温度， 表示热交换系数。
u 2u a 2 t x u ( x,0) ( x) u (0, t ) g1 (t ) u (l , t ) g 2 (t )
在S内，在时刻t到t dt内，流体密度变化 所需要的流量 Q2 （ |t dt |t ） dv
t dt
t
dt dv t
dt dv t
由质量守恒定律 Q1 Q2
( u1 ) ( u2 ) ( u3 ) 即 ( )dv 0 t x1 x2 x3
x
因此T（x x） T（x）（与x无关），记为 T
2u u u x 2 T ( |( x x,t ) |( x ,t ) ) F ( , t )x t x x
2u 2u x 2 (T 2 F ( , t ))x t x
2u 2u 即 2 T 2 F ( x, t ) t x
在G内任取一闭曲面 ，它所包围的区域记为 ，从t1
u k（x，y，z） dsdt n t1
t2
到t2时刻内，由于热传导流 入此闭曲面的热量为
t2
Guass公式 （ ku） dxdydzdt
t1
设物体G内有热源，其强度为F（x，y，z，t）。 Q2 Fdvdt
第三类边界条件: u [ u ]x 0 g1 (t ) x u [ u ]x l g 2 (t ) x
t 0,0 x l 0 xl t 0 t 0
这是第一类边界条件， 同样可以提第二类（ 0, 0）
3.2 双曲方程 双曲方程可以提初值问题也可以提初边值问题
由的任意性，有 3 ( ui ) 0 t i 1 xi
理想流体，平衡或运动 时的内力为法向压力， 设单位面积上的压力为 P，闭曲面S， S， ds为有向曲面，方向为 n，对于任何一时刻 t， S上所受的压力：
p ds p cos(n, x j )i j ds
Q1 dt un ds dt [ u1 cos(n, x1 ) u2 cos(n, x2 ) u3 cos(n, x3 )]ds
s s
( u1 ) ( u2 ) ( u3 ) Gauss公式 un ds dt （ ） dv x1 x2 x3 s
波动方程的初边值问题 为：
2 2u u 2 2 a 2 t x u ( x,0) f ( x) u ( x,0) g ( x) t u (0, t ) (t ) u (l , t ) (t )
f 0 方程称为齐次方程。否则为非齐次的
一般讨论变量 n 2
2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f xy x y x y 2u
通过适当的坐标变换，可以得到如下一阶常微分方程
a11(dy) 2 2a12dxdy a22 (dx) 2 0
令
T
a , f ( x, t )
2
1
F ( x, t )
边值条件：两端固定， 则u(0，t ) u( L，t ) 0
u ( x， 0) 初始条件： u ( x， 0) ( x)， ( x) t
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
常微分方程期末复习提纲
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解
dy P(x) y Q(x) dx
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
X x Y y ,
则方程化为
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 ,
0
得解 yx
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关 系式称为微分方程.
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程.
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称 为偏微分方程.
二、微分方程的阶
定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶数称为微分方程的阶数.
方程两边同乘以 1 , 得
( y)
1 dy f (x)dx 0,
( y)
1
( f (x)) 0 ( y)
y
x
是恰当方程.
对一阶线性方程:
dy (P(x) y Q(x))dx 0, 不是恰当方程.
方程两边同乘以e P(x)dx , 得
e
P(
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
大二常微分方程知识点
大二常微分方程知识点常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它研究的是指导自然界中各种现象变化规律的方程。
在大二学习阶段，我们需要掌握一些常微分方程的基本知识点，接下来将逐一介绍。
1. 常微分方程的定义及基本概念常微分方程是指包含一个未知函数及其导数的方程，并且仅涉及一个自变量。
常微分方程的解是未知函数的函数表达式，它满足方程本身以及初值条件。
常微分方程一般可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指在给定某一时刻的初值条件下，求解方程的解；而边值问题是在给定一定边界条件下，求解方程的解。
2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数为一的常微分方程。
它可以分为可分离变量的一阶常微分方程、线性一阶常微分方程和齐次线性一阶常微分方程等。
可分离变量的一阶常微分方程可以通过对方程两边进行变量分离，然后进行积分求解。
线性一阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
齐次线性一阶常微分方程则可以转化为线性一阶常微分方程，并且其特征方程只有一个解。
3. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数大于一的常微分方程。
它可以分为常系数线性高阶常微分方程和非齐次线性高阶常微分方程等。
常系数线性高阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
非齐次线性高阶常微分方程则可以转化为常系数线性高阶常微分方程，并且其特征方程有多个解。
4. 常微分方程的解法技巧在解常微分方程时，我们可以借助一些常见的解法技巧，如变量分离法、齐次方程法、常数变易法、欧拉方程等。
变量分离法是指通过将方程中的变量分离，然后进行积分求解。
齐次方程法适用于齐次的高阶常微分方程，在此方法中，我们需要进行代换，将齐次方程转化为一阶常微分方程。
常数变易法适用于非齐次的高阶常微分方程，我们通过猜测特解的形式，并代入方程，再确定常数的值。
欧拉方程是针对常系数线性高阶常微分方程的解法，其中特解形式为 e^rx。
常微分方程初步
常微分方程初步常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是单变量函数的导数与自变量的关系。
在实际生活和科学研究中，很多问题都可以用常微分方程来描述和解决。
本文将介绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程和二阶常微分方程的求解方法。
一、基本概念1.1 导数导数是函数在某个点处的变化率，它表示的是函数曲线在这个点的斜率。
如果在某点处的导数存在，则该点为函数的可导点。
设函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(△x→0) (f(x0+△x) - f(x0))/△x如果导数存在，则称函数在该点可导；反之，则称函数在该点不可导。
1.2 常微分方程常微分方程是一个未知函数在其自变量上的导数的关系式，其中该未知函数是自变量的函数。
通俗地讲，就是描述未知函数在自变量上的变化的一种数学方程。
常微分方程通常用y表示未知函数，x表示自变量。
一般形式为：F(x, y, y', y'', …, yⁿ）= 0其中，y'、y''、…、yⁿ分别表示y对于x的一阶、二阶、…、n 阶导数。
1.3 初值问题初值问题是求解常微分方程的一种方法，其本质是通过确定函数在某一个特定点的值，从而确定未知常数的值。
一个初值问题包括一阶常微分方程和一个初始点，形式为：y' = f(x, y), y(x0) = y0其中，f(x, y)为已知函数，通常称为方程的右端，y0和x0分别是给定的初值。
二、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x, y)这是一个仅含未知函数y及其一阶导数y'的方程。
2.1 可分离变量方程如果该一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中，g(x)和h(y)都是已知函数，那么称其为可分离变量方程。
对上式两边同时积分，得到：∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx + C0其中C0为常数。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
常微分方程的大致知识点
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常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
5令 6781方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y ？
当
f 当f 当f 1当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像
23。
常微分方程补充教程教材
第一章 一般理论1.1 预备知识一 .Banach 空间设X 是实数域或复数域F 上的线性空间，若X 上的实值函数⋅满足下列条件：（1） 对任何X x ∈，0≥x ，并且0=x 的充要条件是0=x ； （2） x x αα=，X x F ∈∈∀,α； （3） y x y x +≤+，X y x ∈∀,，则称⋅为X 上的范数，而称),(⋅X 为赋范线性空间.通常我们略去⋅，而把X 简称为赋范线性空间.设X 是赋范线性空间，对任何X y x ∈,，令y x y x d -=),(，则d 是X 上的距离函数.因此，我们自然地把X 看成是度量空间. 完备的赋范线性空间称为Banach 空间.例如 n 维向量空间nR ,对()12,,,nn x x x x R =∈,定义范数x =,由⋅导出的距离称为Euclid 距离,且称n R 为n 维Euclid 空间,它是一个Banach 空间.又如连续函数空间[,]C a b ,对()[,]x t C a b ∈,定义范数max ()a t bx x t ≤≤=,则[,]C a b 是一个Banach 空间,但[,]C a b 按范数122(())bax x t dt =⎰是一个不完备的赋范线性空间.二 . 紧集与相对紧集设X 为度量空间, A 是X 中的子集.A 为相对紧集(或列紧集) 的充要条件是A 中任一点列必有收敛子列. A 为闭集)(A A =的充要条件是A 中任何收敛点列必收敛于A 中的点.A 为紧集的充要条件是A 为相对紧闭集(或自列紧集).在n R 中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1. 若f 是紧集A X ⊂上的连续映射,则f 在A 上必有界,而且可以达到上、下确界.2. 紧集上的连续映射必是一致连续的.3. 度量空间X 上的连续映射必然把列紧集映为列紧集. 三. Ascoli-Arzela 定理考虑定义在[,]αβ上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在0M >,使对任何f F ∈,都有[]βα,,)(∈≤t M t f ,则称函数族F 在[,]αβ上是一致有界的.如果对任给的0ε>,存在0δ>,使对任何F f ∈和12,[,]t t αβ∀∈,只要12t t δ-<,就有12()()f t f t ε-<,则称函数族F 在[,]αβ上是等度连续的.这里一致有界是指F 中所有f 在[,]αβ上有一个共同的界M ,等度连续是指0ε∀>，∃一个共同的δ,不仅对每个f 在t ∈[,]αβ上一致(即每个f 在[,]αβ上一致连续),并且对F 中所有f 一致.Ascoli-Arzela 定理 设F =(){}f t 是定义在[,]αβ上的一致有界且等度连续的实值( m 维)向量函数族,则从F 中必可选取一个在[,]αβ上一致收敛的子序列(){}n f t .四 . 不动点原理设T 为度量空间X 到它自身的一个映射,如果存在数α,10<<α，使对一切,x y X ∈都有),(),(y x d Ty Tx d α≤，则称T 为X 上的压缩映射.压缩映射从几何上看就是x 和y 经T 映射后,它们的像的距离缩短了(不超过(),d x y 的α倍,α1<).压缩映射原理 完备的度量空间X 中的压缩映射T 必有唯一的不动点(就是说,方程x Tx =有且只有一个解).定理中X 的完备性条件不能去掉.例如X (]0,1=,(),d x y =x y -,T 是如下的映射x Tx 21=,x ∈(]0,1. 显然T 是X 到X 的压缩映射,但x Tx =在(]0,1中无解,即在X 中不存在T 的不动点.条件),(Ty Tx d ≤α(),d x y ,α<01< 不能减弱为 ),(Ty Tx d <(),d x y (),,x y X x y ∈≠. 例如X =[0,+∞),X 为完备的度量空间, T 定义为=Tx x +11x+, x ∈[)0,+∞. 当[),0,,x y ∈+∞x y ≠时=),(Ty Tx d ()()11111111x y x y x y x y ⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪++++⎝⎭<(),d x y ， 但T 在[)0,+∞中没有不动点.应用上常取X 中的一个闭子空间(子空间M X ⊂是完备空间的充要条件是M 是X 的闭子空间).Schauder 不动点定理 设X 是Banach 空间,A X ⊂是凸闭集, T 是A A→的连续映射,并且()T A 是相对紧集,则T 在A 中至少有一个不动点.1.2解的局部存在和唯一性定理一 . 皮卡(Picard)定理 考虑初值问题(或Cauchy 问题) ()I (),,dxf t x dt=ξτ=)(x , 即方程()E(),dxf t x dt= 满足初始条件)()(J x ∈=τξτ的解的问题,其中t ∈R ，(),,,n x f R f t x ∈是定义在区域1n G R +⊂上的n 维实值向量函数,R J ⊂为某一区间.历史上Cauchy 在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy 问题).1876年,Lipschity 减弱了Cauchy 定理的条件.1893年,Picard 用逐次逼近法在Lipschity 条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard) 若函数(),f t x 在空间1n R +中某区域R : t a τ-≤,x b ξ-≤上连续,并且关于x 满足Lipschity 条件,即0L ∃>,使当(),t x ,R x x ∈),(时有x x L x t f x t f -≤-),(),(，则初值问题（I ）在区间h t ≤-τ上存在唯一解)(t ϕ，其中),min(Mb a h =，),(max ),(x t f M Rx t ∈=.证明思路 先证明解的存在性（转化——逼近——取极限） 转化 证明初值问题（I ）等价于积分方程)(I ds s x s f x t))(,(⎰+=τξ.这里等价的含义是指)(t x ϕ=是初值问题（I ）的解当且仅当它是积分方程)(I 的连续解.逼近 构造逐次逼近序列 ξϕ=)(0t ，),2,1,0())(,()(1 =+=⎰+k ds s s f t tk k τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ在J ：h t ≤-τ上有定义，连续且满足b t k ≤-ξϕ)(.取极限ds s s f t tk k k k ))(,(lim )(lim 1⎰∞→+∞→+=τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ及{}))(,(t t f k ϕ在J 上皆一致收敛.于是记)(lim )(t t k k ϕϕ∞→=，则)(t ϕ在J 上连续，并且可通过积分号取极限，从而有ds s s f t t))(,()(⎰+=τϕξϕ，即)(t x ϕ=是积分方程)(I 的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1 .定理2.1的证明 仅考虑+J ：h t +≤≤ττ的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用][+J C 表示定义在+J 上一切连续的n 维向量函数所构成的集合.对][+∈∀J C ϕ，定义它的范数为etJ t t βϕϕ-∈+=)(m ax ，其中L >β为某一常数.容易证明][+J C 按距离2121),(ϕϕϕϕ-=d 成为完备的度量空间.用D 表示][+J C 满足条件b t ≤-ξϕ)()(+∈J t 的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出D 是闭子空间，从而是完备的度量空间. 令⎰+=tds s s f t T τϕξϕ))(,())((，+∈J t ，则T 是D 到D 中的映射. 事实上，任取D ∈ϕ有b Mh ds s s f t T t≤≤=-⎰|))(,(||))((|τϕξϕ，即当D ∈ϕ时，D T ∈ϕ. 又对D ∈∀21,ϕϕ有|))](,())(,([||))(())((|2121⎰-=-tds s s f s s f t T t T τϕϕϕϕds e e s s L s s tββτϕϕ⋅-≤-⎰|)()(|21ds e e t t L ts tJt ⎰-∈-≤+τββϕϕ}|)()({|max 21t e Lβϕϕβ21-≤.从而推出21ϕϕT T -21ϕϕβ-≤L，10<<βL.所以T 是D 中的压缩映射，故存在唯一的D ∈ϕ，使ϕϕ=T ，即⎰+=tds s s f t τϕξϕ))(,()(，+∈J t .由于积分方程)(I 定义在+J 上的任何连续解都含于D 中，因此方程)(I 在+J 上存在唯一的连续解)(t ϕ，它等价于初值问题（I ）在+J 上存在唯一解)(t ϕ. 推论2.1 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续，且关于x 满足局部 Lipschity 条件 [即对任一点G ∈),(ξτ，存在它的一个邻域),(ξτV ，使),(x t f 在),(ξτV G 上关于x 满足Lipschity 条件（注意，相应的Lipschity 常数与V 有关）]，则对任一点G P ∈),(ξτ，都相应地有含点τ的一个区间P J ，使初值问题（I ）在P J 上存在唯一解.推论 2.2 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续并存在连续的偏导数()(),,...,3,2,1,,n j i x x t f ji =∂∂则仍有推论1的结论成立.例1 利用Picard 定理证明初值问题22dx t x dt=+ ，0)0(=x在区间]21,21[-上存在唯一解.证 在矩形R ：1,1≤≤x t 上考察所给初值问题.由于22(,)f t x t x =+及x xf2=∂∂都在R 上连续，故满足Picard 定理的条件.这里1==b a ，2),(max ),(==∈x t f M R x t ，21),min(==M b a h . 因此推出该问题在区间21<x ，即]21,21[-上存在唯一解. 例2 设二元函数),(x t f 在带域G ：+∞<<∞-≤≤x t ,βα上连续，关于x 满足局部Lipschity 条件，且0)0,(≡t f . 记)(t x ϕ=为初值问题ξτ==)(),,(x x t f dtdx)(βτα≤≤ 的解. 试证明：若0>ξ，则对一切[]βα,∈t 恒有.0)(>t ϕ证 由假设可知，对任给G ∈),(ξτ，所述初值问题在区间[]βα,上存在唯一解，且0=x )(βα≤≤t 是方程的解.用反证法证明：当0>ξ时，对一切[]βα,∈t 恒有0)(>t ϕ. 因为如果不然，必存在[]1,t αβ∈，使0)(1=t ϕ.于是过点1(,0)t 就有方程的两个不同的解)(t x ϕ=及0=x 通过，这是一个矛盾.例3 设在积分方程⎰+=ba ds s x s t K t f t x )(),()()(λ中，)(t f 在b t a ≤≤上连续，),(s t K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续. 试证：当λ足够小时，此方程在b t a ≤≤上必存在唯一的连续解.证 在],[b a C 中定义范数x =)(max t x bt a ≤≤，则],[b a C 是一个Banach 空间. 作映射T ：⎰+=ba ds s x s t K t f t Tx )(),()())((λ，[]b a x ,∈.由假设条件知],[b a C Tx ∈，T 是],[b a C 到自身的映射. 令{}b s a b t a s t K M ≤≤≤≤=,:),(max ，对],[,21b a C x x ∈∀有[]1212()()()()(,)()()baTx t Tx t K t s x s x s ds λ-=-⎰21)(x x a b M --≤λ . 若记)(a b M -=λα，则当)(1a b M -<λ时就推出1212Tx Tx x x α-≤-，10<≤α.根据压缩映射原理，T 在],[b a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在b t a ≤≤上有唯一的连续解.例4 设三元函数),,(z s t K 在0,st a z ≤≤≤-∞<<+∞上连续，且关于z 满足 Lipschity 条件|||),,(),,(|z z L z s t K z s t K -≤-，而函数()g t 在0t a ≤≤上连续，试证积分方程()()()()⎰+=tds s u s t K t g t u 0,,在a t ≤≤0上存在唯一的连续解.证 在],0[a C 中定义范数t at e t u u β-≤≤=)(max 0，[]0,u C a ∈，其中L >β是某一常数，则],0[a C 是一个Banach 空间，考察],0[a C 到它自身的映射T ：()()()()()⎰∈+=ta C u ds s u s t K t g t Tu 0],0[,,,.任取],0[,21a C u u ∈，有()|))](,,())(,,([||))(()(|02121⎰-≤-tds s u s t K s u s t K t Tu t Tuds e e s u s u L s s tββ⋅-≤-⎰|)()(|201ds e u u L ts ⎰-≤021β12t Lu u e ββ≤-，从而推出21Tu Tu -21u u L-≤β，10<<βL.根据压缩映射原理，T 在],0[a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在a t ≤≤0上有唯一的连续解.例5 设二元函数()x t f ,在+∞<<-∞≤≤x a t ,0上连续，且存在10<<K ，对],0(a t ∈∀及R x x ∈21,有()()2121,,x x tKx t f x t f -≤-. 试证明初值问题()x t f x ,='，()ξ=0x （2.1）在a t ≤≤0上存在唯一解。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。