常微分方程预备知识

t1 t2
从t1到t 2时刻，中温度变化所需要的热 量 Q3 c (u（x，y，z，t1 ) u ( x，y，z，t1 ))dv

u c dtdv 其中c为比热， 为体密度。 t2 t
t1
由热量守恒定律 Q1 Q2 Q3
u 即为 （ （ku） F） dvdt c dvdt t t1 t1
0
则有两条不同的实特征线，此时称方程是双曲型方程；
0
则有两条相同的实特征线，此时称方程是抛物型方程 0 则无的实特征线，此时称方程是椭圆型方程
2 2u 2 弦振动方程 2 a 2 u a 0 2 t x 2 u u 2 一维热传导方程 t a x 2 0
dui ui 3 ui x j ui 3 ui 其中ai uj dt t j 1 x j t t j 1 x j
p p 因为 xi xi
ui 3 ui 1 p ui fi t i 1 xi xi
s s j 1 3
3
p i j dv pdv x j j 1
在整个 上外力为 Ｆ dv。
流体加速度为 a，在上惯性力 ma 为 adv。


由牛顿第二定律得

adv Fdv pdv

a F p 0
4:热传导问题
u( x, y, z, t ) : 物体在( x, y, z)处t时刻的温度。
Fourier 定律：在时间dt内，流过ds的热量dQ与物体的 u 温度沿曲面ds的法线方向的方向导数 成正比，即 n u dQ k ( x，y，z ) dsdt n
其中k ( x，y，z ) 0是物体在点 ( x，y，z )处的热传导 系数。“ ”热流向量与温度梯度 gradu 的正向相反。
u u k (0，t ) g1 (t )，k ( L，t ) g 2 (t ) x x 0
已知端点的位移与所受垂直于弦线外力的作用，即
u k （ 0，t） u（ 0，t） g（ 1 t）， x u k （L，t） u（ 0，t） g（ 2 t） x
x dx
s

x
u 2 1 ( ) dx x
u 假设振动很小：即 u和 都很小，因此可省略 x 高阶项，得到：
x dx
s

x
u 2 1 ( ) dx x x
即有（x，x dx）振动过程中长度与时 间无关， 因此，各点的张力大小 与时间无关，由第二定 律
由于、t1、t 2的任意性，于是有 u （ku） F c t
t2 t2
u 2 如果k为常数，则 a u f t K F 2 其中a ，f c c
初始问题： u |t 0 ( x，y、z) u | ( x，y，z，t )
u 或者传入的热量为已知 ， | ( x，y，z，t ) n
5:理想流体的流动问题
考虑一理想流体，速度 为u，ui为u在xi 方向的分量， 流体密度为，它们都是（ x1，x2，x3，t）的函数。
在流体中，任取一个闭 曲面S区域为，在时刻t， 到t dt内，通过曲面 S上一小块ds的流量dQ1为
un dtds，此处n表示外法线方向， un为u在n的分量。
第二节：二阶线性方程的分类 一般地，n 个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为
i , j 1

n
n 2u u aij ( x1 , x2 ,, xn ) bi ( x1 , x2 ,, xn ) cu f xi x j i 1 xi
当系数是常数时，称为常系数线性偏微分方程。 否则称为变系数的。 当
波动方程（二阶双曲方 程）的初值问题：
2 2u 2 u 2 a 2 t x u ( x,0) f ( x) u ( x,0) t g ( x)
t 0, x x x
其解可由达朗贝尔（ D' Alem bert ）公式给出： f ( x at) f ( x at) x at 1 u ( x, t ) g ( )d x at 2a 2
其解析解可以表示为
u( x, t )


1 ( x) exp[ ] ( )d 4at 4at
2
初始条件 已知在开始时刻物体的温度的分布情况，即
u |t 0 ( x，y、z)
已知边界上的温度分布状况，u | （x，y，z，t） 已知通过边界的热量，即
u | （x，y，z，t） n
2u 2u 2 u 2 T（ 2 2 ) F（x，y，t） t y x
3:位势方程 如果外力不随时间变化 ，即F F（x，y），
则薄膜处于一种平衡稳 定状态，此时u（x，y） 不随时间变化，故 utt 0，于是方程取形式：
2u 2u u 2 2 F ( x, y)或者u 0 x y 称为poisson方程,也即膜振动的调和方程,也即 Laplace方程,称为位势方程.
由牛顿第二定律： 2u u u xy 2 T（ | y y | y ）x t y y u u T（ | x x | x ）y F（x，y，t）xy x x
2u 2u T（ 2 ( , y, t ) 2 ( x, , t ))xy F（x，y，t）xy y x
定义 称一阶常微分方程为二阶线性偏微分方程的 特征方程。称特征方程的积分曲线为二阶线性偏微 分方程的特征曲线。 解特征方程的积分曲线，可以化为
dy dx
2 a12 a 12 a11a 22
a11
2 a 特征方程的解取决于它的判别式 12 a11 a22
2 dy a12 a12 a11 a 22 dx a11
初始条件 已知在弦上各点的初始速度和位移。即
u ( x， 0) u ( x， 0) ( x)， ( x) t
已知弦两端点的位移变化。 u(0，t ) g1 (t )，u( L，t ) g 2 (t ) 当两端固定时，
u(0，t ) u( L，t ) 0
已知弦的端点所受的垂直于弦线外力的作用，即
其中 0表示流入， 0表示流出。 0表示绝热。 已知物体通过边界与外界进行热交换，即
u | u （x，y，z，t） n
其中 表示外界介质的温度， 表示热交换系数。
u 2u a 2 t x u ( x,0) ( x) u (0, t ) g1 (t ) u (l , t ) g 2 (t )
在S内，在时刻t到t dt内，流体密度变化 所需要的流量 Q2 （ |t dt |t ） dv
t dt

t
dt dv t
dt dv t
由质量守恒定律 Q1 Q2
( u1 ) ( u2 ) ( u3 ) 即 ( )dv 0 t x1 x2 x3
x
因此T（x x） T（x）（与x无关），记为 T
2u u u x 2 T ( |( x x,t ) |( x ,t ) ) F ( , t )x t x x
2u 2u x 2 (T 2 F ( , t ))x t x
2u 2u 即 2 T 2 F ( x, t ) t x
在G内任取一闭曲面 ，它所包围的区域记为 ，从t1
u k（x，y，z） dsdt n t1
t2
到t2时刻内，由于热传导流 入此闭曲面的热量为
t2
Guass公式 （ ku） dxdydzdt
t1
设物体G内有热源，其强度为F（x，y，z，t）。 Q2 Fdvdt
第三类边界条件: u [ u ]x 0 g1 (t ) x u [ u ]x l g 2 (t ) x
t 0,0 x l 0 xl t 0 t 0
这是第一类边界条件， 同样可以提第二类（ 0, 0）
3.2 双曲方程 双曲方程可以提初值问题也可以提初边值问题
由的任意性，有 3 ( ui ) 0 t i 1 xi
理想流体，平衡或运动 时的内力为法向压力， 设单位面积上的压力为 P，闭曲面S， S， ds为有向曲面，方向为 n，对于任何一时刻 t， S上所受的压力：
p ds p cos(n, x j )i j ds
Q1 dt un ds dt [ u1 cos(n, x1 ) u2 cos(n, x2 ) u3 cos(n, x3 )]ds
s s
( u1 ) ( u2 ) ( u3 ) Gauss公式 un ds dt （ ） dv x1 x2 x3 s
波动方程的初边值问题 为：
2 2u u 2 2 a 2 t x u ( x,0) f ( x) u ( x,0) g ( x) t u (0, t ) (t ) u (l , t ) (t )
f 0 方程称为齐次方程。否则为非齐次的
一般讨论变量 n 2
2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f xy x y x y 2u
通过适当的坐标变换，可以得到如下一阶常微分方程
a11(dy) 2 2a12dxdy a22 (dx) 2 0
令
T

a , f ( x, t )
2
1

F ( x, t )
边值条件：两端固定， 则u(0，t ) u( L，t ) 0
u ( x， 0) 初始条件： u ( x， 0) ( x)， ( x) t