梁的弯曲
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲
MB 0
MA 0
FAy＝ - M / l FBy＝ M / l
（2）列剪力方程和弯矩方程
弯曲内力
A
FAy＝ - M / l
a
x1 l
b B
C x2
FBy＝ M / l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V x1＝FAy M / l 0 x1 a M x1＝FAyx1 Mx1 / l 0 x1 a
剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面 沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
二、剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变 化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图 形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但 为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
弯曲内力
q>0
弯曲内力
FQ=0截面
弯曲内力
三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图
用规律作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力。 对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支 座反力。 (2) 将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布 荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。 (3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的 剪力图和弯矩图的形状。 (4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值， 并作图。
梁弯曲的概念
梁弯曲的概念梁是一种常见的结构元素，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在工程应用中，梁可以承受各种荷载导致的弯矩和剪力。
而梁的弯曲是指梁在承受荷载的作用下产生的曲率变化。
针对梁的弯曲问题，可以利用梁弯曲理论进行力学分析和结构设计。
梁弯曲的概念实际上涉及到两个重要的力学概念：弯矩和曲率。
弯矩是由外力作用在梁上产生的，它可以使梁产生弯曲或者使梁产生剪切变形。
曲率描述了梁的弯曲程度，是弯曲轴线的弯曲半径的倒数。
在分析梁弯曲时，通常会采用欧拉—伯努力学说，即假设梁在弯曲过程中，横截面平面仍然保持垂直于位移方向。
这个假设为了简化问题，但在一些特殊情况下可能需要引入其他理论模型。
梁弯曲的特点是在横向距离上产生剪切力和弯矩。
在梁的底部表面上，由于负弯矩的存在，会产生压应力；在梁的顶部表面上，由于正弯矩的存在，会产生拉应力。
而在距离横截面中性轴较远的位置，弯矩和曲率的值较大；而在中性轴附近位置，弯矩和曲率的值较小。
对于简单支承的梁，弯曲会导致两个基本的反应：梁曲率和梁挠度。
梁的曲率是横截面在垂直于曲线切线方向上的曲率半径的倒数。
梁的挠度是指梁在一点的纵向位移。
在分析梁弯曲时，可以利用弯曲方程和边界条件求解梁的曲率和挠度。
梁弯曲的分析可以应用不同的方法，其中最常用的方法是基于理想化梁的假设和采用弯曲方程。
对于简支梁，弯曲方程可以表示为：M = EI * d²y/dx²其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，y是梁的纵向位移，x是横向距离。
这个方程可以用来描述弯曲梁的受力和变形情况。
对于常见的梁形状，如矩形梁、T形梁或I形梁等，可以通过求解弯曲方程来得到梁的曲率和挠度分布。
这些分布信息可以用来评估梁的性能、设计合理的梁结构和验证结构的可靠性。
此外，在实际工程中，还需要考虑梁的极限弯矩和极限弯矩系数。
极限弯矩是指在不发生塑性滞后的情况下，梁能够承受的最大弯矩。
而极限弯矩系数是指实际弯矩与极限弯矩之间的比值。
第四章梁的弯曲详解
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
工程力学--梁的弯曲
2013-7-25
11
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几节中，将以直梁的平面弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
2013-7-25
12
第二节 梁的计算简图
一 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
M
Q
１、Q 和 M 计算
a
m
P
A
m x
B
a
m
P
用截面法假想地在
横截面mm处把梁分
A
m x
B
为两段，先分析梁左段。
y
RA
m
Q
C
x
A
x
m
a
P
由平衡方程得
A
m
y0
RA Q 0
B
m x
可得
Q = RA
y
RA
Q 称为 剪力
A
x
m
Q
C
m
x
a
P
由平衡方程
m
mC 0
A
m x
B
M RA x 0
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
m
m
dx
转动趋势的剪力为负。
弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸
+
M m
M
m （受拉）
_
m
（即该段的下半部受压）时，
梁的弯曲
第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。
以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。
如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。
这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。
图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。
2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。
3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。
(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。
下面将着重讨论梁的内力的计算方法。
一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。
现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。
假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲
弯曲的定义：承受的外力作用线垂直于杆轴线。
在这种外力作用下，杆轴线由直线变为曲线。
这种变形称之为弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线变成一条在纵向对称面内的平面直线，这类弯曲称之为平面弯曲。
按照支撑情况可以把梁分为悬臂梁、简支梁、外伸梁三种。
内力的计算一、内力方程：内力与截面位置坐标（x ）间的函数关系式。
Q=Q （x ）————剪力方程 M=M （x ）————弯矩方程 方法：截面法xY M m la l P Y Q Y A C A⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0PalAB1. 弯矩：M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
2. 剪力：Q构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
二、剪力图与弯矩图 1、求出支座反力2、写出剪力与弯矩的内力方程（含x 的方程）3、将写出的内力方程整理成含x 的已知函数关系，取特殊点描点连线即可。
（端点，与x 、y 轴的坐标点）弯曲构件横截面上的（内力）应力 1、弯矩M ———正应力σz I My=σ（弯曲正应力计算公式）maxZ Z y I W =(Wz —截面的抗弯截面系数) z t W M =max ,σ几种常见截面的 Iz 和 Wz 园截面： 644z d I π=323z d W π=空心截面： )1(6444z απ-=D I )1(3243z απ-=D W矩形截面： 123z bh I = 62z bh W =空心矩形截面： 12123300z bh h b I -= )2//()1212(03300z h bh h b W -=关于正应力的强度校核：① 校核强度： [m a xσ≤zW M② 设计截面尺寸：[m a xσM W z ≥③ 计算许可载荷：[max σz W M ≤2、剪力Q ——剪应力t*=zzbI QS 1τ其中Q 为截面剪力；S z 为y 点以下的面积对中性轴之静矩 Iz 为整个截面对z 轴之惯性矩；b 为y 点处截面宽度。
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3）悬臂 梁：
汽车工程系
汽车机械基础
二、弯曲内力：
1、剪力和弯矩
求梁的内力的
a
方法也是截面 A
法。
FA
l
汽车工程系
F B FB
FQ FA
汽车机械基础
FA x
M
FQ
M FAx
剪力和弯矩的概念
汽车工程系
内力FQ是一个与横截面相切的分 布内力系的合力,称为剪力。
矩为M的内力偶是与横截面垂直的 内力系的合力偶矩，有使梁产生 弯曲的趋势，故称力偶矩M弯矩。
汽车机械基础
举例
a F3 m F2
A
xm
F3
M
汽车工程系
F1
B
FQ = FA - F3
FQ FA
M = FA x - F3(x-a)
汽车机械基础
梁内力的正负号规定
剪力：左 上右下为 正 弯矩：左
顺右逆为 正
上凹为正
下凹为负
FQ＞0 M＞0
汽车机械基础
汽车工程系
FQ＜0 M＜0
汽车工程系
结论：
使微段梁有顺时针转动趋 势的剪力为正，反之为负；使微 段梁产生向下凸变形的弯矩为正， 反之为负。
作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的剪
A
力图和弯L矩图。
a
b
F
C
解： 1.求约束反力 a
M A 0
FB l F
B
M B 0
FA
b l
F
FA x1 x2
FB
2.分两段建立剪力方程和弯矩方程
AC段：
FQ (x1)
FA
Fb l
0 x1 a
M FAx1 0
b
M FAx1
汽车机械基础
l
Fx1
FQ = FQ(x) —剪力方程
M = M(x) —弯矩方程
汽车机械基础
汽车工程系
剪力图和弯矩图
画法：分别以与梁轴线平行的x坐标表 示横截面位置，纵坐标y按一定比例表 示各截面上相应剪力和弯矩的大小， 正剪力和正弯矩画在轴的上方，负剪 力和负弯矩画在轴的下方。
汽车机械基础
汽车工程系
例：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F
汽车机械基础
汽车工程系
梁弯曲的工 程实例:
桥式起重机 大梁
汽车机械基础
汽车工程系
汽车工程系
一、梁平面弯曲的概念
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直 于杆件的轴线，使杆的轴线由直线 变为曲线。
汽车机械基础
汽车工程系
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对 称面内时，则梁的轴线在纵向对称面 内弯曲成一条平面曲线。
汽车机械基础
汽车工程系
例：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力
偶M0作用，尺寸a、b和L均为已知，试作此梁
的弯矩图。
解： 1.求约束反力
x2 x1
M0
FA
FB
M0
2.分两段建立剪力方程
A
B
C
a
b
和弯矩方程
AC段：
FQ
(
x1)
FA
M l
0
L
0 x1 a
M
M FA FAx1
x1
0 M l
F
q
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。
汽车机械基础
汽车工程系
2、梁的计算简图
在计算简图中，通常以梁的轴线表 示梁。作用在梁上的载荷，一般可以 简化为三种形式:
汽车机械基础
3、梁的类型
1）简支梁：
汽车工程系
汽车机械基础
2）外伸 梁：
汽车工程系
汽车机械基础
汽车机械基础
汽车工程系
一.直梁平面弯曲的概念 二.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 三.梁纯弯曲时的强度计算 四、梁纯弯曲时的强度条件及其应用 五、梁的弯曲刚度
汽车机械基础
汽车工程系 汽车机械基础
梁弯曲 的工程 实例: 火车轮 轴
F
FA
汽车机械基础
汽车工程系
F FB
梁弯曲的 工程实例 车削工件
F
汽车工程系
课题二 梁的弯曲
专业能力：
1、掌握梁的受力特点、变形特点和求梁的内力的方 法，剪力图、弯矩图的绘制。 2、掌握正应力强度条件及其梁的刚度条件。
方法和学习能力：
学生扩展相应的分析问题、解决问题能力
个人和社会能力：
提高自己的团队工作能力。
汽车机械基础
汽车工程系
课堂实施方法：
1、每六个同学一组 2、分析完成任务单需要的信息及相关 基础知识。 3、教师指导，学生讨论并完成任务单 的填写。
0
x1
0 x1 a
汽车机械基础
x2
x1
M0
A C
a
b
L
汽车工程系
BC段：
B
FQ
(
x2)
FA
M l
0
a x2 l
M M 0 FAx2 0
M
M0
FAx2
M0
M0 l
x2
a x2 l
汽车机械基础
汽车工程系
x2
3.画剪力图和弯矩图
x1
M0
剪力方程相同，剪力图为一水平线。 A
FQ (x1)
FA
Fb l
0 x1 L
FQ (x2) FA F FB
a x2 L
由方程可见，整个梁的剪力都是 常数，所以剪力图是平行于x轴 的水平线，在集中力作用处，剪 力图发生突变，突变的值等于集 中力的大小如图。
汽车工程系
a
F
A C
x1 x2
b
3.画剪 力图和 B弯矩图
b M FAx1 l Fx1
汽车机械基础
汽车工程系
※ 剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截 面左边（或右边）梁上所有横向外力的代数 和。截面左边向上的外力(右边向下的外力) 使截面产生正的剪力，反之相反。
梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该 截面左边（或右边）所有外力（包括外力偶） 对该截面形心之矩的代数和。截面左边（或 右边）向上的外力使截面产生正弯矩，反之 相反。
汽车机械基础
m 汽车q工程系
例：如图，任取一 截面m-m，距离A端x, A
x mC
则m-m截面内力为:
FA
q
解:1.求约束反力
M
2. 建立剪力方程和弯矩
A
FA
CFQ
方程
qL
FQ(x) FA qx 2 qx
B
FB
汽车机械基础
汽车工程系
剪力方程和弯矩方程
一般情况下，梁横截面上的剪力 和弯矩随截面位置不同而变化。若以 横坐标x表示截面在梁轴线上的位置， 则各横截面上的剪力和弯矩都可表示 为x的函数，即：
0 x1 a
x1 0 时，
x1 a 时，
M 0 M ab F
l
M =-a FX2 + aF
M ab F l
l
a x2 l
x2 a 时， M ab F
x2 l 时， M l 0
根据弯矩方程画弯矩图，如图所示。在AC·段和CB段内的弯矩图各
是一条斜直线.在在集中力作用处，M发生转折，并有最大弯矩。
0 x1 a
汽车工程系
L
a
b
F
A C
x1
x2
BC段：
B FQ
(x2)
FA F
0 x1
L
FB
a x1 L
M FAx2 F (x2 a) 0
M = FA X2 - F(X2 - a)
=-
a l
FX2
+
aF
a x2 l
汽车机械基础
a
b
F
A C
x1
x2
汽车机械基础
汽车工程系
3.画剪 力图和 B弯矩图