2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期初考试数学试题(解析版)
2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期初考试数学试题一、单选题1．若角660︒的终边上有一点(4,)a ，则a 的值是（ ）A ．-B ．C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数可得660︒的正切值，再利用三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】()()tan 660tan 72060tan 60tan 603-=︒=︒-=-︒-=因为角660︒的终边上有一点(4,)a ，所以4aa =⇒=- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，同时考查了三角函数的定义，属于基础题．2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列等式正确的是( ) A ．::a b A B = B ．:sin :sin a b A B = C ．:sin :sin a b B A = D ．sin sin a A b B =【答案】B【解析】由正弦定理可得答案． 【详解】 由正弦定理sin sin a bA B=可得:sin :sin a b A B =，可知B 正确，故选B ． 【点睛】本意考查正弦定理，属于基础题．3．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，CosC=1-4,选D4．函数y =的定义域是（ ）A ．()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据题意得出1cos 2x ≥-，解此不等式即可得出所求函数的定义域. 【详解】对于函数y =，2cos 10x +≥，可得1cos 2x ≥-，解得()222233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，因此，函数y =的定义域是()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查余弦型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A ．sin 2y x =B ．2|cos |y x =C ．cos2xy = D ．tan()y x =-【答案】D【解析】A 选项，函数在3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故排除； B 选项，函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除； C 选项，函数的周期是4π，故排除；故选D6．设向量,a b 满足2a =，3,222a b a b ⋅=+=，则b 等于（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】2222||278,1a b a a b b b b +=+⋅+=+=∴= 故选B7．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π＜），y ＝f （x ）的部分图象如图，则f （24π）＝( )A ．23B 3C 3D ．23【答案】B【解析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A 的值，根据（38π，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A 的值，求出函数的解析式，然后求出f （24π）即可． 【详解】 由题意可知T 2π=，所以ω＝2，函数的解析式为：f （x ）＝A tan （ωx +φ），因为函数过（38π，0）所以0＝A tan （34π+φ）所以φ4π=，图象经过（0，1），所以，1＝A tan4π，所以A ＝1，所以f （x ）＝tan （2x 4π+）则f （24π）＝tan （124ππ+）3=故答案为B. 【点睛】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．8．已知函数()cos(2)cos sin(2)sin (0)f x wx wx w ϕϕϕϕ=+++>的最小正周期为π，且对,()()3x R f x f π∈≥恒成立，若函数()y f x =在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】利用二倍角公式化简()f x ，根据周期公式与函数的最小值求出函数的解析式，从而可得函数的减区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，利用包含关系列不等式可得结果． 【详解】()cos(2)cos sin(2)sin (0)cos(2)cos()f x wx wx w wx wx ϕϕϕϕϕϕϕ=+++>=+-=+因为函数()f x 的最小正周期为π，所以22w wππ=⇒=， 因为对,()()3x R f x f π∈≥恒成立，所以2cos 12333f k πππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=-⇒=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈可得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数的减区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦因为函数()y f x =在[0，a ]上单调递减， 所以[0,],,()63a k k k Z ππππ⎤⊂-+∈⎥⎦， 0k =时，3a π≤，即a 的最大值是3π， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查余弦函数周期性与单调性，属于中档题．函数cos )y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由2k x πωϕ≤+≤()2k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由22k x k ππωϕπ-+≤+≤求得增区间；二、多选题9．已知在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列条件，其中使△ABC 为等腰三角形的一个充分条件是（ ） A ．sin 2sin 2A B = B ．sin sin A B = C ．222sin sin sin A B C =+ D ．sin 2cos sin A B C =【答案】BD 【解析】选项A ，由正弦值的关系可知A B =或2A B π+=，错误；选项B ，由正弦值的关系可知A B =，正确； 选项C ，由正弦定理角化边可知为直角三角形，错误； 选项D ，由两角和的正弦定理整理可知B C =，正确. 【详解】选项A ，sin 2sin 222A B A B =⇒=或22A B A B π+=⇒=或2A B π+=，即△ABC 为等腰三角形或直角三角形，该命题是必要条件，错误； 选项B ，sin sin A B A B =⇒=，即△ABC 为等腰三角形，正确；选项C ，222222sin sin sin A B C a b c =+⇒=+，即△ABC 为直角三角形，错误； 选项D ，()()sin sin sin sin cos cos sin 2cos sin A B C B C B C B C B C π=-+=+=+=⇒⎡⎤⎣⎦()sin cos cos sin sin 0B C B C B C B C B C -=-⇒-=⇒=，即△ABC 为等腰三角形，正确. 故选：BD 【点睛】本题考查在三角形中由三角函数的恒等变换与正弦值性质和正弦定理进行推理的背景下判定命题的充分性，属于简单题. 10．下列各式中，值为12的是（ ）A ．22cossin 1212ππ- B ．2tan 22.51tan22.5- C ．2sin195cos195D【答案】BC【解析】由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值即可. 【详解】 选项A，22cos sin cos 2cos 12121262ππππ⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，错误； 选项B ，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，正确； 选项C ，()()12sin195cos1952sin 18015cos 180152sin15cos15sin 302=++===，正确；选项D ==，错误.故选：BC 【点睛】本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值，属于基础题. 11．给出下列命题， 其中正确命题的有：（ ） A ．若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； B ．不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=； C ．函数sin(2)4y x π=-在5[,]824ππ-单调递减； D ．函数sin(2)3y x π=+的图象关于点(3π，0)成中心对称图形． 【答案】BCD【解析】选项A ，取特值60,390αβ==，即可判定；选项B ，将其平方后由正弦的二倍角公式整理可知这样的角不存在； 选项C ，由三角函数的性质求单调递减区间即可判定；选项D ，由三角函数的性质求对称中心即可判定. 【详解】选项A ，若60,390αβ==，此时满足α、β是第一象限角且α<β，其中()3tan tan tan 390tan 36030tan 30tan tan 3αβαβ===+==⇒>，错误；选项B ，因为()295sin cos 12sin cos 1sin 2sin 244αααααα+=+=+=⇒=，这样的角不存在，正确； 选项C ，函数sin(2)sin(2)44y x x ππ=-=--的单调递减区间为322224288k x k k x k πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+，当0k =时，有单调递减区间35[,][,]88824ππππ-⊇-，正确；选项D ，函数sin(2)3y x π=+的对称中心的横坐标为2362k x k x ππππ+=⇒=-+，当1k =时，有623x πππ=-+=，此时对称中心为(3π，0)，正确.故选：BCD 【点睛】本题考查由三角函数解析式判定三角函数的性质及单调性与对称性，还考查了三角函数的值得比较，属于中档题.12．如果,a b ，c 都是非零向量，下列判断正确的有（ ） A ．若//a b ，//b c ，则//a c ； B ．若a b b c =，则a c =； C ．若||||a b a b +=-，则a b ⊥； D ．若||||a ba b =，则//a b ． 【答案】ACD【解析】选项A ，由向量平行的传递性判定；选项B ，取特指0b =时判定；选项C ，将已知关系平方可知0a b ⋅=，由向量数量积性质判定； 选项D ，由已知可知,a b 的单位向量相等，则,a b 是共线向量，可判定. 【详解】选项A ，由向量平行的传递性可知，正确； 选项B ，当0b =时，不成立，错误； 选项C ，因为||||a b a b +=-，则222222||||220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，正确； 选项D ，因为||||a b a b =，则,a b 是共线向量，则//a b ，正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的性质与数量积的性质判定两个向量的关系，属于简单题.三、填空题13．在ABC ∆中，若2,120b A ==，三角形的面积S =为________. 【答案】2【解析】由三角形面积公式求得2c b ==，由等腰三角形的性质可得B 的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R 的值. 【详解】ABC ∆中，2,120b A ==，三角形的面积1sin 2S bc A c ==⋅= 2c b ∴==，故()1180302B C A ==-=， 再由正弦定理可得224sin sin 30b R B ===， ∴三角形外接圆的半径2R =，故答案为2.【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，如果已知三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径. 14．已知222sin()cos()cos()()31sin sin()cos (6)2f αππαααπααπα-+--=+++--，则23()6f π-=_________．【答案】0【解析】由三角函数由诱导公式与二倍角公式整理化简，再由三角函数周期性转化，最后代值求解. 【详解】 由题可知，()()22222sin cos cos 2sin()cos()cos()()31sin cos cos 1sin sin()cos (6)2f ααααππαααπαααααπα----+--==+--+++--222sin cos cos sin 2cos 1sin cos cos 1cos cos 2αααααααααα--==+----，在三角函数中2π是其一个周期，则sincos2336()(4)()06661cos cos 63f f f ππππππππ--=-+====--. 故答案为：0 【点睛】本题考查三角函数由诱导公式与二倍角公式整理化简并求值，属于简单题.四、双空题15．若(,2)a x x =，(3,2)b x =-，则a b ⋅的取值范围是__________；若a 与b 的夹角为钝角，试求x 的取值范围_____________． 【答案】4(,]3-∞ 114(,)(,0)(,)333-∞--+∞ 【解析】由(,2)a x x =，(3,2)b x =-，利用平面向量的数量积运算得到关于x 函数，再利用二次函数的性质求解.根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<，且a 与b 不共线求解. 【详解】因为(,2)a x x =，(3,2)b x =-，所以222434333a b x x x ⎛⎫⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭， 因为x ∈R ， 所以43a b ⋅≤， 所以a b ⋅的取值范围是4(,]3-∞. 因为a 与b 的夹角为钝角， 所以0a b ⋅<，且a 与b 不共线， 即2340a b x x ⋅=-+<，且226x x ≠-， 解得43x >或0x <，且13x ≠-，所以x 的取值范围是114(,)(,0)(,)333-∞--+∞. 故答案为：①4(,]3-∞②114(,)(,0)(,)333-∞--+∞【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．已知(,)2πθπ∈，11sin cos θθ+=sin()4πθ+=___________，sin(2)3πθ-=___________．【答案】12- 1-【解析】先由11sin cos θθ+=sin cos sin cos θθθθ+=可求出1sin cos ,sin cos 42θθθθ=-+=-，于是可得sin()4πθ+的值，再求出sin cos θθ-的值，将sin(2)3πθ-化简得sin(2)sin cos sin )(cos sin )3πθθθθθθθ-=+-，从而可求得结果.【详解】解：因为11sin cos θθ+=sin cos sin cos θθθθ+= 所以2212sin cos 8sin cos θθθθ+=，即228sin cos 2sin cos 10θθθθ--=，(2sin cos 1)(4sin cos 1)0θθθθ-+=，因为(,)2πθπ∈，所以1sin cos ,sin cos 42θθθθ=-+=-，所以1(sin cos )2222θθ+=-=-，即1sin()42πθ+=-，所以sin cos θθ-==， 所以sin(2)sin 2cos cos 2sin 333πππθθθ-=-sin cos sin )(cos sin )θθθθθθ=+-1((14=-⨯=- 故答案为：12-；1- 【点睛】此题考查同角三角函数的关系，三角函数恒等变换公式，二倍角公式等知识，考查了运算能力，属于中档题.五、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2--A ，()2,2B ，()2,1C --．（1）求与向量AB 同方向的单位向量；（用向量的坐标表示）（2）求向量AC 与AB 夹角余弦值．【答案】（1）34,55AB AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）10． 【解析】（1）求出向量AB 的坐标，进而可求得与向量AB 同方向的单位向量为AB AB ； （2）求出向量AC 的坐标，利用向量夹角的余弦公式可求得向量AC 与AB 夹角余弦值.【详解】（1）点()1,2--A ，()2,2B ，则()3,4AB =，则235AB ==，所以，与向量AB 同方向的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）()1,2--A ，()2,1C --，则()1,1AC =-，1AB AC ⋅=，2AC = 所以，cos ,105AB ACAB AC AB AC ⋅<>===⋅. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查单位向量与向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于基础题.18．已知1tan()42πθ+=． （1）求tan θ的值；（2）求22cos sin cos 1222)4θθθπθ--+的值． 【答案】（1）13-；（2）74． 【解析】（1）先利用两角和的正切公式化简，然后可解出tan θ的值；（2）利用降幂公式和两角和的正弦公式化简，再利用同角三角函数的关系将三角函数转化为tan θ，再将tan θ的值代入可得结果.【详解】解：（1）1tan1tan 41tan 2πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭1tan 3θ=- （2）212cos sin cos 1cos sin 2222sin cos )4θθθθθπθθθ---=++=11tan 21tan θθ-=+74 【点睛】此题考查了两角和的正弦、正切公式，降幂公式，同角三角函数的关系等知识，属于基础题.19．函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移4π个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【答案】（1）f 1(x )＝2sin(2x ＋6π)．（2）y max ＝2. x 的取值集合为{x |x ＝kπ＋512π，k ∈Z}． 【解析】（1）先求周期，再求ω，根据初相得φ，根据点(0,1)求A,（2）根据图像变换得f 2(x )解析式，并化简，再根据余弦函数性质求最值以及对应自变量.【详解】(1)由图知，T ＝π，于是ω＝＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移， 得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －)＋]＝－2cos(2x ＋)，当2x ＋＝2kπ＋π，即x ＝kπ＋ (k ∈Z)时，y max ＝2. x 的取值集合为{x |x ＝kπ＋，k ∈Z}．【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min maxmin ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.20．已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个：①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．【答案】（Ⅰ）ABC △满足①，③，④；（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）通过余弦函数的性质可以判断①，②不能同时满足，也就可以判断出③，④能同时满足，最后判断出②不能和③，④同时满足；（Ⅱ）利用余弦定理可以求出c 的值，再利用面积公式求出面积.【详解】（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：若ABC △同时满足①，②． 因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查了余弦函数的性质、余弦定理、面积公式，考查了数学推理论证能力. 21．已知(2sin ,1)a x =+，(2,2)b =-，(sin 3,1)c x =-，(1,)d k =，(x ∈R ， k ∈R )． （1）若[,]22x ππ∈-，且a ∥（b c +），求x 的值； （2）是否存在实数k ，使()()a c b d +⊥+，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6π-；（2）存在，取值范围为[-5，-1]． 【解析】（1）由a ∥（b c +）得2sin sin 10x x ---+=，再结合[,]22x ππ∈-，从而可求出x 的值；（2）若存在实数k ，使()()a c b d +⊥+，则有()()0a c b d +⋅+=，得(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，然后得22sin 2sin 4(sin 1)5k x x x =+-=+-，从而可求出k 的取值范围【详解】解：（1）因为(2,2)b =-，(sin 3,1)c x =-，所以(sin 1,1)b c x +=--，因为a ∥（b c +），所以2sin sin 10x x ---+=， 所以1sin 2x =-又因为x ∈[,]22ππ-， 故x =6π- （2）假设存在实数k 和x ，使()()a c b d +⊥+，则()()0a c b d +⋅+=， 即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，所以 22sin 2sin 4(sin 1)5k x x x =+-=+-，因为11sinx -≤≤，所以51k -≤≤-【点睛】此题考查了平面向量的平行、垂直，三角函数的化简等知识，考查了计算能力，属于基础题.22．如图，金砂公园有一块边长为2的等边ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设AD x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.【答案】（Ⅰ）2242(12)y x x x=+-≤≤；（Ⅱ）//DE BC ，且2DE =. 【解析】（1）根据预先定理，先得到222y x AE x AE =+-⋅，再由三角形面积公式根据题意，得到2AE x=，从而可得出结果； （2）根据基本不等式求出2242y x x=+-x 的值，即可得出结果.【详解】 （Ⅰ）在ADE 中，222222cos 60y x AE x AE x AE x AE =+-⋅⋅=+-⋅①，又12ADE ABC S S =，即11sin 6022sin 6024x AE ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，即2AE x=②， 将②代入①，得222222422y x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2x ≤，若1x <，则22AE x=>不符合题意，所以1x ≥，因此2)y x =≤≤； （Ⅱ）如果DE 是水管，因为y =≥=当且仅当224x x=，即x 时“＝”成立，故//DE BC ，且DE =.【点睛】 本题主要考查余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.。
2019-2020学年辽宁省协作校2019级高一下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年辽宁省协作校2019级高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)考试时间：120分钟 总分：150分第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意) 1.sin 133π的值为 A.－3 B.3 C.－12 D.122.如图,在直角三角形PBO 中,∠PBO ＝90°,以O 为圆心,OB 为半径作圆弧交OP 于点A,若AB 平分△PBO 的面积,且∠AOB ＝α,则A.tanα＝αB.tanα＝2αC.sinα＝2cosαD.2sinα＝cosα3.下列函数中,既是偶函数,又在(0,π)上单调递增的是A.y ＝x 2sinxB.y ＝|tanx|C.y ＝sin(32π＋x)D.y ＝sin|x| 4.在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ＝(1,－2),AD ＝(2,1),则AB AC ⋅A.5B.4C.3D.25.已知函数f(x)＝cos 2x ＋cos2x ＋5,则A.f(x)的最小正周期为π,最大值为6B.f(x)的最小正周期为π,最大值为7C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为6D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为76.函数12log sin )4(2y x π=+的单调减区间为A.(kπ－4π,k π](k∈Z) B.(kπ－8π,kπ＋8π](k∈Z) C.(kπ－38π,kπ＋8π](k∈Z) D.(kπ＋8π,kπ＋38π](k ∈Z) 7.已知△ABC 是锐角三角形,P ＝sinA ＋sinB,Q ＝cosA ＋cosB,则 A.P>Q B.P ＝Q C.P<Q D.P,Q 的大小不能确定8.已知a ＝(s inα,1－4cos2α),b ＝(1,3sinα－2),α∈(0,2π),若a //b ,则tan(α－4π)＝ A.19 B.－17 C.27 D.－279.当cos2α＝3 时,sin 4α＋cos 4α的值是 A.1 B.79 C.1118 D.131810.已知AB ⊥AC ,|AB |＝1t ,|AC |＝t,若点P 是△ABC 所在平面内一点,且AP ＝AB AB ＋4ACAC ,则PB PC ⋅的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.2111.已知向量OB ＝(1,0),OC ＝(0,1),CA ＝(cosθ,sinθ),则|AB |的取值范围是＋＋1]12.若tan α＝2tan 5π,则3cos()10sin()5απαπ--＝A.1B.2C.3D.4第II 卷二、填空题(本题共4小题每小题5分,共20分)13.已知向量a ＝(x,2x),b ＝(－3x,2),若a 与b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是______。
2019-2020学年辽宁省辽宁师范大学附属中学等六校高一下学期期末考试数学试题 PDF版
学校2019-2020学年度下学期期末考试高一试题班数学学姓名装；装订i 0 : ； 一、选择题：（本大愚共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一卫线：。
：是符合题目要求的）。
内i 订0 : 不：0 : 要』0 : 笨：0 : 题线； 交函数y =sin2x的图像千点B ,则线段AB的长度为（。
说明：1测试时间：120分钟总分：150分2. 客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第1卷（选择题共60分）1. 复数z =a(a+2) 一一—+(a 2+a -2)i(aeR)为纯虚数，则a的值为（a+l C.a =O 或a =-22. 如果a的终边过点(2sin 互-2cos 立），则sina的值等于（6'6 A.a�l B.a =O 、�D .a =-2、丿1-2． A l _2 B 豆2c 豆3D 3.若向量a =(1,1) ,b =(2,5) ,c =(3, 无），满足条件(Sa-b)·c =24, 则元等于（A.6 B.2 C.4 D.34. 关于直线m、n与平面a、/3'有下列四个命题，其中真命题的序号是（、,＇，、｀丿(!)m/2厄nl 厄且al几，则m/l n ;®ml.a,nl./3且al./3,则ml.n;@ m J. a, n/1{3且a/1{3'则m J. n ; @ ml/a, n 旦3且aJ./3,则ml/n .A . 心、＠ B.@、@ c.CD 、@) D.(2)、@5在丛BC中，（沉＋叨·亢=I 农:12.则丛BC的形状一定是（A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形） D. 直角三角形6设函数y =6cos无与y =5tan父的图像在y轴右侧的第一个交点为A过点A作y轴的平行乡、｀丿A . .Js B. 3..[5 C.14../5 一·一 D.2.J5高一数学-1。
2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A ．12B ．2C ．1D答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 解：由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||2z ==．故选B ． 点评：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．不等式tan x ≥ ） A ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ B ．{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈ C ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈D ．{|22,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈答案：B由函数tan y x =的图象求得x 的范围. 解：因为tan x ≥tan y x =的图象可得{|,}32x k x k k Z ππππ-+≤<+∈，故选：B. 点评：本题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础题.3．设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3答案：A试题分析：由tan α，tan β是方程x 2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tan α+tan β及tan αtan β的值，然后将tan （α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tan α+tan β及tan αtan β的值代入即可求出值．解：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+2=0的两个根，∴tan α+tan β=3，tan αtan β=2,则tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+=--3，故选A. 【考点】两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知△ABC 的外心是边BC 的中点，AB =(k ，1)，AC =(2，3)，则k 的值为（ ） A ．5 B ．-5C ．32D ．-32答案：D首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得； 解：解：因为△ABC 的外心是边BC 的中点，所以△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，因为(),1AB k =，()2,3AC = 所以2130AC AB k =+⨯=，解得32k =- 故选：D 点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，则2sin cos θθ+的值是（ ） A ．25B ．25-C ．25或25-D ．随着k 的取值不同其值不同 答案：B试题分析：∵角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，∴33sin ,55k k θ===--cos θ==4455k k -=-,∴3422sin cos 2()555θθ+=⨯-+=-.【考点】任意角的三角函数值. 6．下列函数中，周期为π，且在(,)42ππ上单调递减的是（ ） A ．sin cos y x x = B ．sin cos y x x =- C ．tan()4y x π=+D ．cos2y x =答案：A逐一考查所给的函数：1sin cos sin 22y x x x == ，其周期22T ππ== ，在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，其周期221T ππ== ，不合题意；tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，其周期1T ππ== ，在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，不合题意；cos2y x = 的图象是将函数cos y x = 的图象位于x 轴下方的图象翻折到上方得到的图象，，其周期2T π= ，不合题意；本题选择A 选项.7．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34答案：B设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果． 解：设棱台的高为h 与截得它的棱锥的高H ，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SO O C SO OC =，所以2211122S SO O C SO OC S ==上下，则249H h H ⎛⎫ ⎪⎭=⎝- 即2419h H ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-， 可得21133h H =-=. 故选：B ． 点评：本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．8．一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B, 10AB =海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时 （ ） A ．5海里 B ．52海里C ．10海里D ．102海里答案：D根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论． 解：如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.△AOC 中,由正弦定理可得sin135sin30OC=︒︒，∴OC =，∴12v ==∴这艘船的速度是每小时海里， 故选D. 点评：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、多选题9．以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面），其中错误的是（ ） A ．若//,,a b b α⊂则//a α B ．若//,//,a b αα则//a bC ．若//,//,a b b α则//a αD ．若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b答案：ABC根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知A 、B 、C 是错误的，根据直线与平面平行的性质定理可知D 是正确的. 解：对于A ，若//,,a b b α⊂则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//,a b αα则//a b 或a 与b 异面或a 与b 相交；故B 错误； 对于C ，若//,//,a b b α则//a α或a α⊂，故C 错误；对于D ，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b ”是正确的，故选：ABC. 点评：本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.10．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥答案：AD本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 解：因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 点评：本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.11．关于函数2()3sin cos 1f x x x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍 B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图像关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图像关于直线12x π=-对称答案：BD首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可． 解：解：因为2()3sin cos 1f x x x x =+-+所以3()sin 2213sin 2123f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭ 解：A ．由()3sin 2113f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭得sin 203x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期T π=，则12x x -是22T π=的整数倍，故A 错误， B ．55()3sin 213cos 23cos 213cos 2132366f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确， C ．当34x π=时，3371sin 2sin sin 0432362πππππ⎛⎫⎛⎫⨯-=-==-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数关于3,14π⎛⎫⎪⎝⎭不对称，故C 错误，D ．当12x π=-时，sin 2sin sin 1123632πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是最小值，则()y f x =的图象关于直线12x π=-对称，正确，故正确的是BD ， 故选：BD ． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．三、填空题12．已知5a b ==，向量a 与b 的夹角为23π，则2a b +=___________.答案：运用向量的数量积的定义，计算向量a ，b 的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算代入数据，即可得到所求值． 解：解：||||5a b ==，向量a 与b 的夹角为23π， 则225cos32a b a b π==-，所以()2222224445a b a ba b a b +=+=++=⨯故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．13．已知ABC 中，2a c ==，，45A ︒=，则b =_________.1已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理求解即可. 解：解：2222cos a b c bc A =+-，所以246cos 45,1b b =+-︒=，1. 点评：已知两边和其中一边的对角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合题意；基础题.四、双空题14，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________. 答案：3π13先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决. 解：由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体A BCD -,，外接球球心为O ，E 为BCD 的中心，设外接球半径为R ，则6,3BE OA OB R ===,在Rt ABE △中，2222323AE AB BE =-=-=,在Rt BOE △中，()222OB BE AE R =+-,即2222333R R ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得3R =,所以此球的表面积为243R ππ=，该四面体的体积为11.33BCDSAE ⋅=故答案为：3π；13点评：本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题. 15．函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则m 的取值范围是______;若()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则m 的取值范围是_________.答案：2m ≥ 12m ≤<将()0f x ≤化为2sin 26m x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，求出当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值可得m 的取值范围，将()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，化为函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y m =的图象有两个交点，再根据函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象可得答案. 解：因为()0f x ≤可化为2sin 26m x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，所以2m ≥. 因为()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，等价于函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y m =的图象有两个交点，函数()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如图：由图可知，12m ≤<. 故答案为：2m ≥；12m ≤<. 点评：本题考查了不等式恒成立问题，考查了正弦型函数图象的应用，考查了由函数图象的交点个数求参数范围，属于基础题.五、解答题16．已知ABC ∆，则下列命题中，是真命题的有哪些？ （1）若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形； （2）若sin cos A B =，则ABC ∆是直角三角形； （3）若cos cos cos 0A B C <，则ABC ∆是钝角三角形；（4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆是等边三角形. 答案：（3）（4）为真命题（1）根据正弦函数性质及三角形内角的取值范围判断． （2）由诱导公式变形，结合正弦函数性质判断． （3）由余弦函数性质判断． （4）由余弦函数性质判断．解：解：（1）若sin 2sin 2,,(0,)A B A B π=∈，22A B ∴=或22A B π+=. A B ∴=或2A B π+=.ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，故（1）为假命题.（2）若sin cos sin 2A B B π⎛⎫==-⎪⎝⎭， ,(0,)A B π∈，2A B π∴=-或2A B ππ+-=，2A B π∴+=或2A B π-=，ABC ∆为直角三角形或钝角三角形，故（2）为假命题.（3）若cos cos cos 0,,,(0,)A B C A B C π<∈，,,A B C ∴中有一个为钝角，其余两个为锐角，ABC ∆为钝角三角形，故（3）为真命题.（4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，cos()(1,1],cos()(1,1],cos()(1,1]A B B C C A ∴-∈--∈--∈-， cos()cos()cos()1A B B C C A ∴-=-=-=.又,,(0,)A B C π∈，0A B B C C A ∴-=-=-=，A B C ∴==，即ABC ∆为等边三角形，故（4）为真命题.点评：本题考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，解题是需结合三角形内角的取值范围和正弦函数、余弦函数的性质判断．17．已知22a b ==，且向量a 在向量b 的方向上的投影为1-，求： （1）a 与b 的夹角θ; （2）()2a b b -⋅. 答案：（1）23π；（2）3-.（1）由题知2,1,cos 1a b a θ===-，进而得出cos θ，即可求得θ. （2）根据数量积的定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅即可得出答案. 解：解：（1）由题意，2,1,cos 1a b a θ===-，所以1cos 2θ=-. 又因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）()2222122cos 22121332a b b a b b a b b π⎛⎫-⋅=⋅-=⋅⋅-=⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 点评：本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题. 18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos 2sin cos C a B B =(1)求角B ；(2)若sin 3sin A C =，求b c.答案：(1)60；.(1)本题首先可根据正弦定理边角互化得出cos 2sin sin cos B C A B C B =，然后通过三角恒等变换化简得出sin B =，最后根据ABC 为锐角三角形即可得出结果； (2)首先可根据正弦定理边角互化得出3a c =，然后根据余弦定理得出222122a c b ac+-=，带入3a c =，通过化简即可得出结果. 解：(1)cos 2sin cos C a B B =，cos 2sin sin cos B C A B C B =，cos cos 2sin sin B C C B A B +=，)2sin sin B C A B +=，2sin sin A A B =，因为在ABC 中，sin 0A ≠，所以sin 2B = 因为ABC 为锐角三角形，所以B 60=，(2)因为sin 3sin A C =，所以由正弦定理可得3a c =，因为B 60=，所以由余弦定理可知2221cos cos 6022a c b B ac+-=︒==，代入3a c =，得22219223c c b c c+-=⨯⨯，解得b c =点评：本题考查正弦定理边角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，体现了综合性，是中档题. 19．已知10,sin cos 25x x x π-<<+= （1）求sin cos x x -的值;（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.答案：（1）75-；（2）24175-.（1）先求出2sin cos x x 的值，再求出()2sin cos x x -后可得sin cos x x -的值； （2）先求出34sin ,cos 55x x =-=，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值. 解：（1）对于1sin cos 5x x +=，两边平方得221sin cos +2sin cos 25x x x x +=，所以24sin 225x =-， ∴249(sin cos )1sin 225x x x -=-= ， ∵02x π-<<，cos 0,sin 0x x ∴><，sin cos 0x x -<，7sin cos 5x x ∴-=-；（2）联立1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴原式＝23432()2()2455531755145⨯-⨯+⨯-=---.点评：本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档题题.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，作棱锥P ABCD -，其中点P 在侧棱1DD 所在直线上，4PD =，3DC =，E 是PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BDE ;（2）求PAD △以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 答案：（1）证明见解析；（2）485π. (1)本题首先可以连接AC 交BD 于O 并连接EO ，然后根据OE 是PCA 的中位线得出//OE PA ，即可根据线面平行的判定证得//PA 平面BDE ；(2)本题首先可以过D 作PA 的垂线并令垂足为H ，然后根据题意得出几何体的形状，再然后求出PA 与DH 的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果. 解：(1)如图，连接AC 交BD 于O ，连接EO ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，因为E 为PC 的中点，所以OE 是PCA 的中位线，//OE PA ， 因为OE 包含于平面BDE ，PA 不包含于平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ，(2)如图，过D 作PA 的垂线，垂足为H ，则PAD △以PA 为轴旋转所围成的几何体是以DH 为半径并且分别以PH 、AH 为高的两个圆锥的旋转体，因为侧棱PD ⊥底面ABCD ，AD 包含于底面ABCD ，所以PD AD ⊥， 因为4PD =，3DA DC ==，所以5PA =， 因为PD ADPA DH ，所以125DH =， 所以PAD △以PA 为轴旋转所围成的几何体体积为2148ππ35V DH PA . 点评：本题考查线面平行的判定以及旋转体体积的计算，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则直线与平面平行，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.21．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若3a =ABC △面积的最大值．答案：（1）19-；（2）324(1)将2sincos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.解：()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+-2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得sin 3A ==， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为119sin 22434bc A ≤⨯⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值4． 点评：本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 22．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图像相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数.(1)求()f x 的解析式； (2)若函数35h xf x的零点为0x ，求0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()20f x f x a --=有解，求a 的取值范围. 答案：(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)35；(3)1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是2π得出2ω=，然后通过图像的平移即可得出πsin 2φ3g xx，最后根据函数()g x 为奇函数即可求出ϕ的值； (2)本题首先可通过题意得出0π3sin 235x ，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果； (3)本题可令πsin 23tf x x，然后根据0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出01t ≤≤，最后通过求出2t t -的取值范围即可得出a 的取值范围. 解：(1)因为相邻对称轴之间的距离是2π， 所以22T π=，T π=，2T ππω==，解得2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+， 将()f x 的图像向右移6π个单位，可得函数ππsin 2φsin 2φ63g x xx， 因为函数()g x 为奇函数，所以π0sin φ03g ，()3k k Z πϕπ-+=∈，因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， (2)因为函数35h x f x的零点为0x ， 所以003π3sin 20535h x f x x ，0π3sin 235x ， 因为000cos 2cos 2sin 26233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以03cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， (3)令πsin 23tf x x，()()20f x f x a --=有解即2t t a -=有解， 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，01t ≤≤， 因为221124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当01t ≤≤时，2104t t -≤-≤，因为2t t a -=有解，所以a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查三角函数的对称性、奇函数的相关性质、三角函数的诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数()f x 定义域包括0时，有()00f =，考查公式π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，考查推理能力，是中档题.cos sin2x x。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.tan(−675°)的值为()A. 1B. −√22C. √22D. −12.已知锐角α,β满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，则α+β=()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. 5π43.在ΔABC中，关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个不等的实数根，则角A为()A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不存在4.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=()A. √2B. √3C. 2D. 45.将函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)的表达式可以是()A. f(x)=−sin2xB. f(x)=cos(2x−π8)C. f(x)=cos(2x−3π8) D. f(x)=sin2x6.已知a⃗，b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32，则|a⃗+t b⃗ |(t∈R)的最小值为()A. 14B. 12C. √32D. 17.给出下列四个命题，其中正确的命题是()①若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC是等边三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)= ()A. −√22B. √22C. √32D. −√329. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列，且cosA =23，则sinC =( )A. −2√3+√56B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. −2√3−√5610. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则( )A. f(x)的最大值为1B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为π2D. x =π3为f(x)图象的一条对称轴11. 半径为10，中心角为π5的扇形的面积为( )A. 2πB. 6πC. 8πD. 10π12. 已知函数f(x)=sin x +√3cos x 在x =θ时取得最大值，则cos (2θ+π4)=( )A. −√2+√64B. −12C. √2−√64D. √32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 是线段BC 上的动点，则(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．14. 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,4]上与x 轴有9个交点，则ω的取值范围是________． 15. 函数y =cosx+2cosx+1的值域为____．16. 若sin(π6−α)=14，则cos(2α−π3)的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)已知tanα=2，求值：y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα；(2)化简f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α)．18.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cos2α的值．19.已知向量a⃗=(sinωx,1)，b⃗ =(√3,−cosωx)，ω>0，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，且f(x)的最小正周期是π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．20.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=2√3，求ac的最大值．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2−b2=bc，2sinB−sinC=0，求角A的大小．22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB=θ．(1)若矩形MNPQ是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：tan(−675°)=−tan675°=−tan(720°−45°)=tan45°=1．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．2.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题．先求cosα，cosβ，然后求cos(α+β)的值，根据α，β为锐角，求出α+β的值．解析：解：α，β为锐角且满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，所以cosα=√55，cosβ=√1010，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√22，又0<α+β<π，所以α+β的值等于3π4．故选B．3.答案：A解析：∵(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0，∴(sinA−sinC)x2+2xsinB+(sinA+sinC)=0，∵sinA−sinC≠0，∴Δ=4sin2B−4(sinA−sinC)(sinA+sinC)>0，sin2B−sin2A+sin2C>0，sin2B+sin2C>sin2A，即b2+c2>a2，∵cosA=b2+c2−a22bc >0，∴A∈(0,π2)，故选A．4.答案：C解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x=√3，则a⃗=(√3,−1)，故|a⃗|=√3+1=2；故选：C．根据题意，由a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x的值，即可得向量a⃗的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．5.答案：D解析：解：函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数：f(x)=cos[2(x−π8)−π4]，=cos(2x−π2)=sin2x故选：D．直接利用平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换问题，符合“上加下减”的性质，诱导公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．根据a⃗,b⃗ 为单位向量及a⃗⋅b⃗ =√32即可求出|a⃗+t b⃗ |2=t2+√3t+1，然后可求出二次函数t2+√3t+ 1的最小值，从而得出|a⃗+t b⃗ |的最小值．解：a⃗,b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32；∴|a⃗+t b⃗ |2=a⃗2+2t a⃗⋅b⃗ +t2b⃗ 2 =1+√3t+t2；∵t2+√3t+1的最小值为4−34=14；∴|a⃗+t b⃗ |的最小值为12．故选：B．7.答案：C解析：解：对于①，∵A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，∴−1<cos(A−B)≤1，−1<cos(B−C)≤1，−1<cos(C−A)≤1．∵cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，∴cos(A−B)=cos(B−C)=cos(C−A)=1，∴A−B=B−C=C−A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故①正确．对于②，若A=120°，B=30°，显然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②错误．对于③，若cosAcosBcosC<0，则cos A，cos B，cos C中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．对于④，若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2．∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．故选：C．根据三角函数的性质和角的范围进行判断．本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．8.答案：B解析：解：由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x−π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴∠A +∠C =2∠B ， 又∠A +∠B +∠C =π， ∴3∠B =π，则∠B =π3．∵cosA =23，可得：sinA =√1−cos 2A =√53，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√53×12+23×√32=√5+2√36． 故选：B ．直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值．本题主要考查了等差数列的性质，考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，是基础题．10.答案：D解析：解：函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)， 可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0，可得2x −π6=kπ，k ∈Z ，即为x =kπ2+π12，k ∈Z ，可得f(x)在(0,π)内的零点为π12，7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可得x =π3为f(x)图象的一条对称轴，故D 正确． 故选：D ．运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得f(x)=2sin(2x −π6)，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断A ，C ；由f(x)=0，可判断B ；由对称轴的特点，计算可判断D ．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．11.答案：D解析：∵半径为10，中心角为π5，∴扇形的弧长l =π5×10=2π∴扇形的面积S =12lr =12×2π×10=10π12.答案：C解析：本题主要考查两角和差的三角函数公式的应用．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)═2sin (x +π3).由题意可得，k ∈Z ，求出θ，再代入求解即可．解：∵f(x)=sinx +√3cos x =2sin (x +π3)， 又f(x)在x =θ时取得最大值， ∴θ+π3=π2+2kπ(k ∈Z)， 即θ=π6+2kπ(k ∈Z)，于是cos (2θ+π4)=cos (π3+π4+4kπ)=cos (π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64， 故选C ．13.答案：−12解析：解：建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，所以(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2−6x +4=2(x −1.5)2+4−4.5， 因为x ∈[0,2]，所以x =1.5时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−0.5即−12； 故答案为：−12．建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，利用x 表示(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的函数求最值． 本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法． 14.答案：[2π,9π4)解析：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想．结合正弦函数的图象与性质可得4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω，又ω>0，解不等式即可求解． 解：由题意，得T =2πω．因为函数f(x)在[0,4]上与x 轴有9个交点，所以4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω， 因为ω>0，解得2π≤ω<9π4． 故答案为：[2π,9π4)．15.答案：{y|y ≥32}解析：本题主要考查了函数定义域与值域，属于基础题．解：已知函数y =cosx+2cosx+1，所以cosx =−y+2y−1，所以|−y+2y−1|≤1， 解得y ≥32，故答案为{y|y ≥32}.16.答案：78解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由已知可求sin(α−π6)的值，根据条件利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．解：∵sin(π6−α)=14，∴sin(α−π6)=−14， ∴cos(2α−π3)=1−2sin 2(α−π6)=1−2×(−14)2=78，故答案为78． 17.答案：解：(1)∵tanα=2，∴y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=611；(2)f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α) =cosα⋅sinα⋅tanα−tanα⋅sinα=−cosα．解析：(1)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；(2)直接利用诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.答案：解：若sinα=0，则cos 2α=1．若sinα≠0，则{sinα=2sinβsinαcosα=3sinβcosβ， 所以{12sinα=sinβ32cosα=cosβ，所以sin2α4+9cos2α4=1解得cos2α=38．综上得cos2α=1或cos2α=38．解析：本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题.注意sinα=0，这种特殊情况．19.答案：解：(Ⅰ，，解得ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，令，k∈Z解得，k∈Z取其与[0,π]的交集，得，∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为．解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质以及辅助角公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)直接将f(x)的解析式化简，利用即可；(Ⅱ)直接根据正弦函数的图象与性质，令，解得其与[0,π]的交集，即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．因为在△ABC中，sinA≠0，所以tanB=√3．又0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，因为B=π3，b=2√3，所以12=a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a =c =2√3时，ac 取得最大值12． 解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题． (Ⅰ)因为bsinA =√3acosB ，由正弦定理求得tanB =√3，从而求得B 的值． (Ⅱ)由余弦定理求得12=a 2+c 2−ac ，再利用基本不等式求得ac 的最大值． 21.答案：解：在△ABC 中，∵2sinB −sinC =0，∴2b −c =0，即c =2b ． 由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，a 2−b 2=bc ，可得cosA =c 2−bc2bc =4b 2−2b 24b 2=12， ∴A =60°．解析：由条件利用正弦定理求得c =2b ，再由余弦定理以及a 2−b 2=bc ，求得cos A 的值，从而求得A 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 22.答案：解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ,ON =200cos θ，在Rt △OQM 中， QM =PN =200sin θ，OM =QMtan 60°=√3=200√33sin θ ，所以MN =ON −OM =200cos θ− 200√33sin θ， 因为矩形MNPQ 是正方形，∴MN =PN ，所以200cos θ−200√33sin θ=200sin θ， 所以(200+200√33)sin θ=200cos θ，所以tan θ=11+√33=33+√3=3−√32 ．(2)因为∠POM =θ，所以，即PS +PT =200sin θ+200sin (60°−θ)=200(sinθ+√3cosθ−1sinθ) =200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60°),因为0°<θ<60°，所以当θ+60°=90°，即θ=30°时，PS+PT最大，此时P是AB的中点．解析：本题考查三角函数模型的应用，属于较难题．(1)先求得PN和MN的三角函数式，再由MN=PN列出等式，即可得出tanθ的值；(2)由题可得PS+PT=200sin (θ+60°)，由三角函数的性质即可得出．。
辽宁省六校协作体2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
辽宁省六校协作体2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题三、填空题15．若a<0，函数(f x 的最大值为.16．已知O 为ABC 的外心，则AO BC ⋅的取值范围是四、解答题17．已知角α的终边经过点(1)求角α的正弦､余弦和正切值；(2)求πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知向量(2,a = (1)求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像上所有点的纵坐标保持不变，像，且关于x 的方程g 19．如图，某小区内有一块边长为坪分成面积相等的两部分，(1)设AD x =，DE =(2)如果要沿DE 铺设灌溉水管，则水管最短时参考答案：||||cos AB AC AB AC ⋅=∠ 因此1A A B P AC AB ⋅⋅==对于B ，正ABC 的边长为如图，)2(PA PB PC PA PD ⋅+=⋅ 当且仅当||0PE =，即点对于C ，P 为锐角ABC 由2AB AF = ，AP xAB =于是(1)AP y AF y AC =-+ ，即因此CF 垂直平分边AB ，有对于D ，取BC 中点M ，则由11)2|cos (|A P B AB =+即|AB A MP AP AM B =-= c ||os |BC M A P BC B A B B ⋅⋅=+ 于是MP BC ⊥，则点P 在边正确.故选：AD 13．13【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为已知角，即可求解【详解】πcos cos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭故答案为：13.14．42.3【分析】先根据三角形内角和得根据tan AB BC ACB =∠求解．【详解】在△BCD 中,∠由正弦定理得sin BC BDC ∠所以sin sin CD BDC BC CBD ∠==∠在Rt ABC △中,ACB ∠=∴tan 10AB BC ACB =∠=故答案为:42.3.在ABC 中2CD CA CB =+ 即22242CD CA CB =++ 整理得23400a a --=，解得：∴ABC 的面积为12S ab =22．(1)0α=或π3α=.(2)12a ≥-。
辽宁省六校协作体2019-2020学年高一10月月考数学试卷Word版含答案
9.满足条件Alha’b'Cab'Cde 』的集合A 共有（).2019―― 2020学年度上学期省六校协作体高一10月份月考联考数学试题命题学校：丹东四中命题人：那迎春 校对人：李若云 负责人：李若云 一•选择题（共10道题，每题4分，共40分,每题4个选项中，只有一个符合题目要求的） 1. 已知集合 A ={x N . | x ：::3}, B 二{x|x 2 - x 乞 0}则 A n B =（） A. {0,1}B. {1}C.[0,1]D. （0,1]2. 特称命题p ： x 0 • R , 2x 。
• 2 ：：： 0 ,则命题p 的否定是（）2 2A. x 0 R , x 0 2x 0 2 0B. ~x R , x 2x 2 < 0C. ~x R , x 2 2x 2 _ 0 D .- x R , x 2 2x 25. 不等式|1-2x|：：：1的解集为（）A. {x| -1 ：：x ：：0}B. {x|0 ：： x ：：1}C. {x |x -1 或 x ：：： 0}D.Rt 2 -4t +1 y = -------------6. 已知t 0，则函数 t 的最小值为（）1 A. - 2B.C. 1D. 22X x 1 07. 方程组的解集不是空集，则 a 的取值范围为（）—a 兰08.已知a j 2 , b - 7 - 3 , c -6 -2给定下列选项正确的是（）A. a b cB.13. 设 x € R,则"x > — ”是21 -2x x 1 :: 0”的()A.充分不必要条件 BC.充要条件Dk +2y =44. 方程组gx —y^3的解集为（）.必要不充分条件 .既不充分也不必要条件A. {2 , 1}B. {1, 2} C.{ (1 , 2) } D.{ (2, 1) }A. a-1B a —-1 C.a ：： -1 D.a z ；Tcab D.12 2 210.已知二次不等式 ax +2x+b >0解集为｛x|x 丰—.-｝，贝U a +b +a+b 的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4二•多选题（共3小题，每题4分，共12分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对 得4分，选对但不全给 2分，有选错得0分） 11.设a ，b，GR且a b ，则下列不等式成立的是（）— /_2 3x 2 +3x _4 x 2 + x _4）12.已知集合1 ,3x 3 4,x4,若2 M ,则满足条件的实数x可能为（）B -2C -3二•填空题（共4道题，每题4分，每空2分，共16分）1114. 不等式 —— >1的解集为A= ________ ，若A 也为|x —a|£—的解集，则a= ________ x -1215. 已知M 中有且只有2个元素，并且实数 a 满足a • M ,4 - a- M 且a- N,4 -a • N ，则 M = _______ 或 ________16. 已知关于x 的方程| m | x 2 —4x • 1 = 0（1） 若方程只有一个元素，则 m 的取值集合为 _______ （2） 若方程有两个不等实根，则 m 的取值范围是 _______b217. 若关于x 的不等式axvb 的解集为（一2,+ g ）U,不等式ax +bx —3a>0的a解集为 __________三.解答题（共 6道题，其中18、19每题12分，20、21每题13分，22、23每题16分，共A. 6个C. 8个D. 10 个A. c -a :::c _b1 1 b B. ac2 - bc 2C.—<— D.1a b a13. F 列各小题中，最大值是 -的是（2A.=x 2丄16x 2 B.C.2x x 4 1D.4XR,（x 一2）82分）18. 已知全集 U =R , A 二｛xI 2 乞x ：： 7｝ , B 二｛x|X 2 -10x 9 ：：0｝, C 二｛x|a ：：x ：： a 1｝.(1) 求 A U B,( C U A )n B;(2) 如果A n C =?，求实数a 的取值范围. 19.某人准备在一块占地面积为 1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为 S 平方米，其中a b =12 .jt 来⑴试用x , y 表示S ;(2)若命题p ： “大棚占地面积 s^m ， m - R ”为真命题， 求m 的最小值，及此时 x, y 的取值• 20. 已知a , b , c , d 均为正数，(1) 比较严与1的大小，并证明；X 2 +1(2)求证：a 1_4; l a b 丿(3) 若 a c d ，且 ab cd ，用反证法证明：a ■.一b •、、c ■d .21. 已知关于x 的不等式-x 2，ax b 0 . (1) 该不等式的解集为(一1,2)，求a b ； (2) 若b =a 1,求此不等式的解集.22. 已知函数y =x2 -2ax亠a(1)设a 0，若关于x的不等式y ::: 3a2 a的解集为A, B二［-1,2］，且x A的充分不必要条件是B,求a的取值范围.(2)方程y=0有两个实数根x1> x2,①若X1、X2均大于0,试求a的取值范围.②若xj X22二6x1x2 -3，求实数a的值.23.已知函数^ax2 2x c , a,c・N满足：①当x =1时y=5；②当x=2时,6<y<11(1)求a,c的值.(2)若对任意的x R，不等式y • mx2• m _2恒成立，求实数m取值范围.(3)若对任意的r 1-1,11,不等式y・tx—1 .4x・t恒成立，求实数x的取值范围.2019—2020学年度上学期省六校协作体高数学试卷答案一•选择题1.B2.C3.A4.D5.B6.A7.A8.B9.C 10.D 11.AB 12.AC 13.BC 二.填空题3—14.(1,2)15.{1,3}{0,4} 16.{0, -4,4}(-4,0 ) . (0,4 )17.-2(-1,3 )2三•解答题18. ( 1)由已知得 B = ( 1, 9),.... 2 分又••• A ={x |2 < x v 7}=[2 , 7),二 A U B = (1 , 9) .... 4 分C A =(-汽2)U [7 , +s),......... 5 分•••( C U A )A B = (1 , 2)U [7 , 9)... 7 分(2) C ={x | a v x v a +1}= (a , a +1)•/ A n G ._ ,••• a +1W2 或 a >7, .......... 10 分 解得：a wl 或a >7...... 12 分19. (1)由题可得：xy=1800, b=2a 则 y=a+b+3=3a+3,.................................. 3 分S=(x — 2)a +(x — 3)b=(3x — 8)a=(3x — 8) -^-3=1808 — 3x - 8y........................... 6 分33 8 8 1800 1600 八⑵ S=1808 — 3x — y=1808 — 3x — X =1808— 3 (x+) ............................. 7 分33 xx/ 1600w 1808— 3X2、x ： ---- =1808— 240=1568,................................ 9 分 当且仅当x= 1600，即x=40时取等号，S 取得最大值.此时y= 1800 =45….10分xx'/ p 为真命题，.m-1568 此时 x=40, y=45 10月份月考联考1220.证明：（1）2x L 12x-x 2-1,x 2 1x 2 12 2(n) -x ax (a 1)0= x —ax — (a 1) ：： 0= [x -(a 1)](x 1) ：： 0 ••订分①a V = -1，即a =-2时：解集为I t 922.(1) y ::: 3a a2 2 , ■ • 亠x -2ax -3a = (x -3a)(x a) ：： 0，又a 0解得 A= (_a,3a),又：B = [ -1,2],且x A 的充分不必要条件是x B .B A , -a T.(a b)C 丄)_2. aba b2ab =4当且仅当a =b 时等号成立(3)假设 '、a ■ b _ • c • d , -C 、a 、、b)2 _C 、c •、.d)2, .a b 2 ab 三 c d 、cd即ab 乞, ；cd■ ab 咗cd ，这与已知的"ab - cd ”矛盾.假设不成立13分21.解：（I ）由韦达定理有:心=a b=3;b =2②a • 1 ：：： -1，即a ：：： -2时：解集为 (a 1,-1); 11分 ③a ■ 1 • -1，即a -2时：解集为(-1,a 1).13分.5分..1分2 3a原不等式仍可化为 （x_1）（x_1 +t ）A0,对 t^[_1,1]恒成立。
辽宁省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
辽宁省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 求值tan( )为 ( )A. 1B.C.D.2. 对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A. 叫做回归系数________B. 当 >0，每增加一个单位，平均增加个单位C. 回归直线必经过点________D. 叫做回归系数3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（_________ ）A ． 16，16，16______________B ． 8，30，10______________C ． 4，33，11______________ D ． 12，27，94. 已知点A(2,3)，B( ,1),C( ，2),若∥ ，则( )A. 3B. 2C. -2D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为16，则图中判断框内①处应填的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 26. 已知 sin α＝，sin( α－β )＝－，α，β均为锐角，则等于( )A. B. 1 C. D.7. 把函数 y ＝sin x ( x ∈ R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A. y ＝sin ，x ∈ RB. y ＝sin ，x ∈ RC. y ＝sin ，x ∈ RD. y ＝sin ，x ∈ R8. 以下程序运行的结果是 ( )A. B. C. D.9. 在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是边和的中点，若其中 R ，则（）A. B. 2 C. D. 110. 在斜三角形 ABC 中，（）A. 1B.C. 2D.11. 若，则必定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形12. 设函数 .若存在的一条对称轴，满足成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题13. 已知角的终边经过则__________________ .14. 函数y＝Asin（ωx＋φ）部分图象如图，则函数解析式为_________ .15. 向量 a 、 b ，已知 a ＝ (2,1) ，a · b ＝ 10 ， | a ＋ b | ＝ 5 ，则 | b | ＝ _________________ .16. 在上随机取一个值，使得关于的方程有实根的概率为 ______ .三、解答题17. 同时抛掷甲、乙两颗骰子.（1）求事件A“甲的点数大于乙的点数”的概率；（2）若以抛掷甲、乙两颗骰子点数m，n作为点P的坐标（m,n），求事件B“P落在圆内”的概率.18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边OP与单位圆交于点P，角的终边OQ与单位圆交于点Q.（1）写出P、Q两点的坐标；（2）试用向量的方法证明关系式： .19. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下表：p20. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 第一场第二场第三场第四场第五场第六场第七场甲 26 28 24 22 31 29 36 乙 26 29 33 26 40 29 27（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.21. 如图，在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a，b，c，且．（1）求角 A 的大小；（2）若是的角平分线，，求的长.22. 如图，两条公路AP与AQ夹角A为钝角，其正弦值是 .甲乙两人从A点出发沿着两条公路进行搜救工作，甲沿着公路AP方向，乙沿着公路AQ方向.（1）当甲前进5km的时候到达P处，同时乙到达Q处，通讯测得甲乙两人相距 k m，求乙在此时前进的距离AQ；（2）甲在5公里处原地未动，乙回头往A方向行走至M点收到甲发出的信号，此时M点看P、Q两点的张角为（张角为 QMP），求甲乙两人相距的距离MP的长.23. 已知函数的图象与直线y=2相交，且两相邻交点之间的距离为 .(1)求 ;(2)已知函数，若对任意的，均有，求的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020学年辽宁省六校高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省六校高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．12．不等式的解集是（）A．B．C．D．3．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．已知△ABC的外心是边BC的中点，＝（k，1），＝（2，3），则k的值为（）A．5B．﹣5C．D．﹣5．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同6．下列函数中，周期为π，且在（，）上单调递减的是（）A．y＝sin x cos x B．y＝sin x﹣cos xC．y＝tan（x+）D．y＝|cos2x|7．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A．B．C．D．8．一船沿北偏西45°方向航行，看见正东方向有两个灯塔A，B，AB＝10海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9．以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b10．已知△ABC，则下列命题是真命题的有（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形C．若cos A cos B cos C＜0，则△ABC是钝角三角形D．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC是等边三角形11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（）A．＝2B．C．D．12．关于函数，下列命题正确的是（）A．由f（x1）＝f（x2）＝1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y＝f（x）的表达式可改写成C．y＝f（x）的图象关于点对称D．y＝f（x）的图象关于直线对称三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知||＝||＝5，向量与的夹角为，则|＝．14．已知△ABC中，a＝2，c＝，A＝45°，则b＝．15．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为；该四面体的体积为．16．函数，若f（x）≤0在上恒成立，则m的取值范围是；若f（x）在上有两个不同的解，则m的取值范围是．四、解答题（写出必要的解题步骤，文字说明等）17．已知||＝2||＝2，且向量在向量的方向上的投影为﹣1．求：（1）与的夹角θ；（2）（﹣2）•．18．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角B；（2）若sin A＝3sin C，求．19．已知﹣＜x＜0，sin x+cos x＝．（1）求sin x﹣cos x的值；（2）求的值．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作如图棱锥P﹣ABCD，其中点P在侧棱DD1所在直线上，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．21．在△ABC中，cos A＝．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a＝，求S△ABC的最大值．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象向右移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣的零点为x0，求；（3）若对任意x∈[0，]，f2（x）﹣f（x）﹣a＝0有解，求a的取值范围．参考答案一、单选题（共8小题）.1．已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的计算公式求解．解：由z（1﹣i）2＝1+i，得，∴|z|＝．故选：B．2．不等式的解集是（）A．B．C．D．【分析】根据正切函数的单调性解不等式．解：令f（x）＝tan x，则f（x）的单调增区间为（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．又f（﹣+kπ）＝f（﹣）＝﹣，k∈Z，故选：B．3．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝8的两个根，∴tanα+tanβ＝3，tanαtanβ＝2，故选：A．4．已知△ABC的外心是边BC的中点，＝（k，1），＝（2，3），则k的值为（）A．5B．﹣5C．D．﹣【分析】由△ABC的外心是边BC的中点可得A为直角，即AB⊥AC，然后结合向量垂直的坐标表示即可求解．解：由△ABC的外心是边BC的中点可得A为直角，即AB⊥AC，∵＝（k，1），＝（2，3），故k＝﹣．故选：D．5．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r＝＝5|k|＝﹣5k，cosθ＝＝，故选：B．6．下列函数中，周期为π，且在（，）上单调递减的是（）A．y＝sin x cos x B．y＝sin x﹣cos xC．y＝tan（x+）D．y＝|cos2x|【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．解：对于A，由于y＝sin x cos x＝sin2x的周期为＝π，且在（，）上单调递减，故满足条件．对于B，由于y＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的周期为2π，故不满足条件．对于D，函数y＝|cos2x|的最小正周期为，函数在区间（，）上单调递增，故不满足条件．故选：A．7．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A．B．C．D．【分析】根据面积比等于相似比的平方，可得棱台上下底面的相似比，再由相似即可推出棱台、棱锥的高之比．解：不妨设该棱台为三棱台ABC﹣A1B1C1，原棱锥为P﹣A1B5C1，棱台和棱锥对应的高分别为OO1和PO1．∴＝．故选：B．8．一船沿北偏西45°方向航行，看见正东方向有两个灯塔A，B，AB＝10海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【分析】根据题意作出对应的三角形，结合三角形的边角关系即可得到结论．解：如图所示，∠COA＝135°，∠ACO＝∠ACB＝∠ABC＝15°，∠OAC＝30°，AB ＝10，∴AC＝10．△AOC中，由正弦定理可得，∴v＝＝10，故选：D．二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9．以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b【分析】对于A，a∥α或a⊂α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a∥α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a∥b．解：由a，b表示直线，α表示平面，知：对于A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；对于C，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故C错误；故选：ABC．10．已知△ABC，则下列命题是真命题的有（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形C．若cos A cos B cos C＜0，则△ABC是钝角三角形D．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC是等边三角形【分析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定ABCD的结果．解：对于选项A：sin2A＝sin2B，里哟用诱导公式，整理得2A＝2B或2A＝π﹣5B，所以A＝B或A+B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误．对于选项B：sin A＝cos B，整理得sin A＝sin（），故A+B＝，则C＝，所以△ABC为直角三角形，故正确．对于选项D：由于|cox|≤1，所以cos（A﹣B）＝cos（B﹣C）＝cos（C﹣A）＝1，故A ﹣B＝B﹣C＝C﹣A，整理得A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形．故正确．故选：BCD．11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（）A．＝2B．C．D．【分析】由•＝||•||cos60°＝（），可求得的值，从而判断选项B和C；对||＝|+|，两边平方可求得||的值，从而判断选项A；（2+）•＝（2+）•（﹣），代入所得数据计算其结果可判断选项D．解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴•＝||•||cos60°＝2×2×＝8．∴•＝（）＝+＝4+＝2，∵，∴||＝＝＝＝2，对于选项D，（2+）•＝（2+）•（﹣）＝（8+）•＝2•+＝2×（﹣2）+4＝4，故选：AD．12．关于函数，下列命题正确的是（）A．由f（x1）＝f（x2）＝1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y＝f（x）的表达式可改写成C．y＝f（x）的图象关于点对称D．y＝f（x）的图象关于直线对称【分析】首先把函数的关系式，利用三角函数的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的周期，对称轴，对称中心的应用求出结果．解：函数＝＝＝．对于选项A：利用函数的图象T＝，由于只有时，函数f（x）＝1，所以的整数倍，故选项A错误．对于选项C：当x＝时，f（）＝7sin（）+1＝﹣，故选项C错误．故选：BD．三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知||＝||＝5，向量与的夹角为，则|＝5．【分析】由平面向量数量积的定义可求得•的值，而|＝＝，代入相关数据即可得解．解：由题意知，•＝||•||cos＝5×5×（﹣）＝﹣．所以|＝＝＝＝．故答案为：．14．已知△ABC中，a＝2，c＝，A＝45°，则b＝．【分析】由已知结合余弦定理即可直接求解．解：由余弦定理可得，cos A＝＝＝，整理可得，＝0，故答案为：．15．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为3π；该四面体的体积为．【分析】由题意画出图形，求出正四面体的高，利用勾股定理进一步求得其外接球的半径，可得表面积，再由三棱锥的体积公式求四面体的体积．解：如图，设底面三角形ABC的外心为G，连接AG并延长，交BC于D，PG＝．∴球的表面积为；故答案为：3π；．16．函数，若f（x）≤0在上恒成立，则m的取值范围是m≥2；若f（x）在上有两个不同的解，则m的取值范围是1≤m＜2．【分析】将f（x）≤0化为m≥2sin（2x﹣），求出当时，2sin（2x﹣）的最大值，即可求得m的取值范围；将f（x）在上有两个不同的解转化为函数y＝2sin（2x﹣）与y＝m的图象有两个交点，再根据函数y＝2sin（2x﹣），的图象即可求得答案．解：因为f（x）≤0可化为m≥2sin（2x﹣），当时，2x﹣∈[﹣，]，2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，因为f（x）在上有两个不同的解，函数y＝2sin（2x﹣），的图象如图所示：由图可知，1≤m＜2．故答案为：m≥2，1≤m＜2．四、解答题（写出必要的解题步骤，文字说明等）17．已知||＝2||＝2，且向量在向量的方向上的投影为﹣1．求：（1）与的夹角θ；（2）（﹣2）•．【分析】（1）由向量的投影可得||cosθ＝﹣1，计算即可得到；（2）运用向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解：（1）向量在向量的方向上的投影为﹣1，∴||cosθ＝﹣1，由8≤θ≤π，可得θ＝，（2）（﹣2）•＝•﹣8＝||•||•cosθ﹣2×12＝2×1×（﹣）﹣2＝﹣3．18．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角B；（2）若sin A＝3sin C，求．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求sin B，进而可求B，（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解．解：（1）由正弦定理可得，所以，即，所以B＝60°或120°，因为△ABC为锐角三角形，（5）由正弦定理得：a＝3c，代入a＝3c，可得．19．已知﹣＜x＜0，sin x+cos x＝．（1）求sin x﹣cos x的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sin x﹣cos x＝﹣的值．（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果．解：（1）∵已知﹣＜x＜0，∴cos x＞sin x，∵sin x+cos x＝，平方可得6+2sincos x ＝，∴2sincos x＝﹣，（2）＝＝＝＝﹣．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作如图棱锥P﹣ABCD，其中点P在侧棱DD1所在直线上，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．【分析】（1）连接AC交BD于O，连接EO，由三角形中位线定理可得OE||PA，再由直线与平面平行的判定得到PA||平面BDE；（2）过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的的几何体是以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．求解三角形可得PA，DH的值，再由圆锥体积公式求解．解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接EO．∵ABCD是正方形，∴O为AC中点；又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．（2）过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的的几何体是以DH为半径，由题意知侧棱PD⊥底面ABCD，∵PD＝4，DA＝DC＝3．∴PA＝5，则DH＝，∴几何体体积V＝＝．21．在△ABC中，cos A＝．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a＝，求S△ABC的最大值．【分析】（1）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后把cos A的值代入计算即可求出值；（2）将a，cos A的值代入，利用余弦定理可得到b，c的关系式，再由基本不等式及三角形面积公式即可求最大值．解：（1）∵在△ABC中，cos A＝．∴sin2+cos2A＝[1﹣cos（B+C）]+（2cos2A﹣1）＝（1+cos A）+（2cos2A﹣1）＝﹣；∴由余弦定理可得：3＝b2+c8﹣bc，∴≤＝．所以△ABC面积S的最大值等于．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象向右移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣的零点为x0，求；（3）若对任意x∈[0，]，f2（x）﹣f（x）﹣a＝0有解，求a的取值范围．【分析】（1）由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．（3），利用正弦函数的定义域和值域，求得t的范围，从而得到a 的范围．解：∵（1）知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻对称轴之间的距离是＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）．∴φ﹣＝0，∴φ＝，故f（x）＝．所以cos（）＝cos（）＝cos（）＝＝．要是f2（x）﹣f（x）﹣a＝0有解，即a＝t2﹣t在[0，1]上有解；∵0≤t≤1；∴，解得﹣≤a≤3，所以，a．。
辽宁省六校协作体 高一下册第二学期期中考试数学(理)试卷word版有答案【最新】
2019-2020学年度下学期省六校协作体高一期中考试数学试题(理)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合2{2530}A x x x =--≤，{2}B x Z x =∈≤，则A B =I ( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．sin18sin 78cos162cos78⋅-⋅o o o o 等于( )A ．12B ．12- C ．32 D ．32-3．已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ，=，且()a b b +⊥r r r ，则m =（ ）A ．8-B ．6-C ．6D ．84.已知函数12log ,1()236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则1(())2f f =（）A ．3B ． 4C ．3-D ．4-5.若直线()()1:120l x m y m +++-=与直线2:280l mx y ++=互相平行，则m 的值是（） A ．1m =或2m =- B ．1m =C ．2m =-D ．m 的值不存在6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．340003cmB ．380003cmC ．32000cmD ．34000cm7．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79B ．23C ．23-D ．79-8．若把函数sin y x ω=图像向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图像重合，则ω的值可能是（）A ．13 B ．12 C ．23D ．329．已知tan 222α=-，且满足42ππα<<，则22cos sin 122sin 4ααπα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．322-+ B ．322- C ．2- D ．210．已知,a b r r 是单位向量，0=⋅b a ρρ，若向量c r 满1,c a b c --=r r r r 则的取值范围是（）A ．2121⎡⎤-+⎣⎦， B ．21,22⎡⎤-+⎣⎦C ．121⎡⎤+⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，11．若偶函数()f x 在区间[1,0]-上是增函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ≠，则下列不等式中正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(sin )f f αβ>D ．(cos )(sin )f f αβ>12．若ABC △外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r 且||||OA AB =u u u r u u u r ,则CA CB ⋅u u u r u u u r等于（）A ．32 B ．3 C ．23 D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。
辽宁省协作校2019-2020学年高一下学期期中考试数学-答
π 3
)
的 图 像 ；最 后 把
-1 12
y
=
sin(2x
+
π 3
)
的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
-2
π 7π 5π 3 12 6
x
2
倍，得到
y
=
2
sin(2x
+
π 3
)
的图像……………………10
分
（方 法 二）先 将
y = sin x
的 图 像 上 所 有 点 的 纵 坐 标 不 变 ，横 坐 标 变 为 原 来 的
2019 — 2020 学 年 度 下 学 期 期 中 考 试 高 一 试 题
数学参考答案及评分标准
装 一、选择题：
BBCAB BABCA CC 二、填空题：
13.
(-∞,
-
13 )
⋃ (-
1 3
, 0)
⋃
(
4 3
,
+∞)
三、解答题
14. (3, -3)
15.
9π 10
16.
59 2
3
17.
解：因为
B
（2）由（1）知，h = f (θ) = 5.6 - 4.8 cos θ (0 ≤ θ < 2π)
易得
f
(
4π 3
)
=
5.6
-
4.8
cos
4π 3
=8，
即点 M 到地面的距离是 8m……………………12 分
Oθ C h
A D
高一数学 （答） — 2
22. 解：（1）由函数
f (x) = 2 sin(ωx + φ) 的周期为 π