2016《高等代数(一)》期中考试试题
中科院2016年高等代数试题参考解答
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
= (dim V1 − dim (V1 ∩ V2 )) + (dim V2 − dim (V1 ∩ V2 )) .
Ax = 0 的一组解, 并求方程 .
解: 设 Mi , i = 1, 2, · · · , n 是在矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 n − 1 阶子式. 构造一个行列式
ai1 a11 a21 ··· an−1,1 显然 Di = 0, i = 1, 2, · · · , n − 1. 将 Di 按第一行展开得 Di = ai1 M1 − ai2 M2 + · · · + (−1)n−1 ain Mn , i = 1, 2, · · · , n − 1, ( ) 从而 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解. 又矩阵 A 的 n − 1 阶子式不全为零且 rank ( A) < n, 故 rank ( A) = n − 1, 这时 Ax = 0 的解空 间的维数为 n − rank ( A) = 1. ( ) 由于 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解, 那么显然方程组 Ax = 0 的解全是 ( ) M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 的倍数. □ ai2 a12 a22 ··· an−1,2
16级高等数学1(2)期中试卷
du
.
2.对于二元函数 f ( x, y) ，在定义域 D 上总有 f x f y 0, 且 f (1,1) 3, 则
f (x, y)
.
3.
求二元函数的极限
lim
( x, y)(1,0)
x sin y x2 1
4.I=Biblioteka edxln x f (x, y)dy ,交换积分次序得 I=
1
0
5. 设 f(x+y, y )=x2—y2,则 f(x,y)= x
2. T 表示圆柱螺线 x 2cos t, y 2sin t, z 4t 在 t 所对应点处的单位
切向量，a (1,1,1) ，则T a 为
（
）
A -2
B -1
C1
D2
5
3. 下列哪个微分方程不是关于 y 的二阶齐次线性微分方程
（
）
A 2 y 4xy y 0
C
d 2 y dy x dx2 dx y 0
总分 总分人
得分 评分人
一、选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1. 若 函 数 z ln(x 1 y) 1 ， 则 该 函 数 定 义 域 为
3 xy
A y x1
（
）
B y x 1 或 xy 0
C y x 1 且 xy 0
D y x 1 e 且 xy 0
B 4 x2( y 1)dxdy
D4
C 4 x2dxdy
D1
D x2dxdy D
5. 关于函数 f(x,y)在同一点，下列说法正确的是
（
）
A 可微必连续
B 连续必有偏导存在
C 偏导存在必连续
D 偏导存在则沿所有方向的方向导数都存在
2016《高等代数(一)》期中考试试题
2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级
《高等代数(一)》课程期中考试试题
课程代码：07031004考核方式：闭卷考试时量：120分钟试卷类型：D
题号一二三四 Nhomakorabea五
六
总分
合分人
复查人
应得分
20
20
30
30
100
实得分
得分
评卷人
复查人
一、理解题（每小题20分，共20分）
1.陈述一般数域P上的多项式因式分解及唯一性定理，并重点解释你对唯一性的理解。而后在实数域上再次叙述该定理，并解释此时的不可约多项式有哪些？
得分
评卷人
复查人
二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’则简单给出理由。每小题10分，共20分）
1.有人说：对于有理数域上的两个多项式 和 ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？
解：
2.有人说：3级行列式
为零的充分必要条件是 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？
解：
得分
评卷人
复查人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1.在有理数域上将多项式
分解为不可约多项式的乘积。
解：
2.设 ，计算下面 级行列式
解：
得分
评卷人
复查人
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.设整数 两两不同，以及整系数多项式 ，证明：
； 如果 ， ，一定有 。
证：
2.设两个 级行列式
，
证明：当 时，有 。
证：
中科院2016年高等代数试题参考解答
··· ··· ··· ···
−bn ( a1 +b1 )( a1 +bn ) b1 −bn ( a2 +b1 )( a2 +bn ) b1 −bn ( an +b1 )( an +bn )
···
.
1 an +b1
进行 2n − 1 次倍法变换可得 ∏ (b1 − bi )
n
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由 A 的秩为 2 可知 β = 3. (2) 对于该二次型的矩阵
5 A = −1 3 而 λ−5 1 −3 1 λ−5 3
−1 3 5 −3 . −3 3
|λ E − A| =
故其特征值为 0, 4, 9.
−3 3 λ−3
= λ ( λ − 4) ( λ − 9) ,
对应于特征值 0 的特征向量为 对应于特征值 4 的特征向量为 对应于特征值 9 的特征向量为 分别将其单位化得到正交矩阵
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
2016年高一第一学期期中考试数学试题1(含答案)
张家口一中西校区、万全中学2016年第一学期期中考试高一数学试题（288—293班）命题人：王仲彪一、选择题：本大题共12题，每题4分，共48分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则Q C P U ( ) A.{}1,2 B.{}3,4,5 C.{}1,2,6,7 D.{}1,2,3,4,52．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( )A. 211x y x -=-与1y x =+B. y x =与log x a y a =()0,1a a >≠C. 1y 与1y x =-D. lg y x =与21lg 2y x =3.若集合{{|,|A x y B y y ==== 则 ( )A.A B =B.A B =∅C.A B A =D.A B A =4．设A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)5．函数(21)log x y -= ( )A. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 1,1(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 2,1(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知()()()1,13,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 ( )A.25B.23C.29D. 21-7．下列函数中，函数值域为()0,+∞的是 ( )A.()2(1),0,y x x =+∈+∞B.()12log ,1,y x x =∈+∞C.12x y -=D.y =8．函数()x f x e =（e 为自然对数的底数）对任意实数x 、y ，都有 ( ) A. ()()()f x y f x f y += B.()()()f x y f x f y +=+ C. ()()()f xy f x f y = D. ()()()f xy f x f y =+9.下列函数中，奇函数的个数是 ( ) ①1()ln1x f x x -=+，②1()()2xxg x e e -=+，③())h x x =， ④11()212xm x =+- A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个10. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0,x >时 ()lg(1),f x x =+ 则0x <时()f x =( )A.lg(1)x -B.lg(1)x -+C.lg(1)x --D.以上都不对11. 函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是 ( )A. 1个B.2个C. 3个D. 4个12.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a 倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是 ( ) A.a 11 B ．a 12C.12a －1 D ．11a －1 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上．13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．14. 已知log (2)a y ax =-在(0,1)上为x 的减函数, 则a 的取值范围为15.求值，22log 3321272log 8-⨯+=16. 函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m = 三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知集合{}73≤≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x x C <=,全集为实数集R.（1）求()B A C R ；（2）如果φ≠C A ，求a 的取值范围。
2016年11月高数1(期中)试题答案
x
2
密 封 线
cos x e x0 x4
x2 2
= lim
1 4 12 x o( x 4 ) 1 = x0 x4 12
1 2 , x0 x x sin 九、 （本题满分 8 分） 设 f ( x) 在 x 0 处可导， 试确定 a x , x0 ax b 和 b 的值，并讨论 f ( x ) 在 x 0 处的连续性.
三、 （本题满分 7 分）求 y xsin x ( x 0) 的导数和微分. 解： 等式两边取对数，得
ln y sin x ln x
---- 2 分
上式两边对 x 求导，注意到 y y ( x) ，得 1 1 y cos x ln x sin x y x 于是
2016 年 11 月
题号 分数 签名
一 20
二 20
三 7
四 7
五 8
六 8Βιβλιοθήκη 七 8八 8九 8
十 6
总分 100
考试时间
参考答案与评分标准
一、单项选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 1. 设当 x 0 时， 2( 1 cos x ) ln ( 1 x) 是与
燕 山 大 学 试 卷
解：由于 f ( x) 在 x 0 处可导，故 f ( x) 在 x 0 处连续，于是有 lim f ( x) lim f ( x) f ( 0)
x 0 x 0
共
3
则 lim (ax b) lim ( x x 2 sin
x 0 x 0
1 ) x
页 第
3
n
n
---- 8 分
七、 （本题满分 8 分）设如图两个正圆锥，顶在下的圆锥在另一个圆锥里面，两圆锥的 底面是平行的，大锥的高 H 1 、底面半径 R 3 ，小锥的顶点在大锥的底面中心， 问：小锥的底面半径 r 等于多少时，才能使得小锥的体积最大？ 解：设小锥的高为 h ，由相似性得 H h r r r ，则 h (1 ) H =1 H R R 3 1 H 2 r r (1 ) 小锥的体积 V (r ) r 2 h 3 3 R r r3 r 2 (1 )= (r 2 ) 3 3 3 3 其中 0 r 3 ---- 3 分 V (r ) r (2 r ) 则 3 当 r 2 时， V (r ) 0 ---- 6 分 又因为，
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
高等代数期中考试试题
高等代数期中考试试题一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。
二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。
五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；2）求的一组基和维数.六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。
参考答案一．填空题（每小题4分，共40分）。
1. 设是上的线性变换，,则下的矩阵为2. 设的线性变换，其中R是实数域，，．3．已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为， .8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为—————————9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。
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得分
评卷人
复查人
二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’则简单给出理由。每小题10分，共20分）
1.有人说：对于有理数域上的两个多项式 和 ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？
湖南师范大学XXXX学院
2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级
《高等07031004考核方式：闭卷考试时量：120分钟试卷类型：D
题号
一
二
三
四
五
六
总分
合分人
复查人
应得分
20
20
30
30
100
实得分
得分
评卷人
复查人
一、理解题（每小题20分，共20分）
解：
2.有人说：3级行列式
为零的充分必要条件是 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？
解：
得分
评卷人
复查人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1.在有理数域上将多项式
分解为不可约多项式的乘积。
解：
2.设 ，计算下面 级行列式
解：
得分
评卷人
复查人
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.设整数 两两不同，以及整系数多项式 ，证明：
； 如果 ， ，一定有 。
证：
2.设两个 级行列式
，
证明：当 时，有 。
证：