高中数学 矩阵的运算 沪教版
高中数学(沪教版)知识点归纳
高中数学（沪教版）知识点归纳第一章集合与命题1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。
四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。
2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。
理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。
难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的子集，记作AB.(2)相等的集合:如果AB,且BA，那么A=B.(3).真子集：AB且B中至少有一个元素不属于A，记作AB.5.集合的运算：(1)交集：AB{某某A且某B}.(2)并集:AB{某某A或某B}.（3）补集：CUA{某某U且某A}.6.充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
如果PQ,那么P是Q的充要条件。
也就是说，命题P与命题Q是等价命题。
有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。
2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。
3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。
5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。
2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。
高二数学上册 9.2《矩阵的运算》课件1 沪教版
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
求 ABT .
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
0 17
14 13
3, 10
0 17
ABT
14
13 .
解法2
3 10
AB T
BT AT
1 7
1
4 2 3
2 2 0 0 1 1
1 3 2
或 A
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a11 a21
a2
n
AT a12
a22
, amn
a1n a2n
an1
an
2
amn
例如 A 1 2 2,
4 5 8
1 4
AT
2
5 ;
2 8
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 kAT kAT ;
是一个一阶方阵，即一个数。
C A B 2. mn
ms sn
例5 求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
1
2
与
4 1 0
B
1
1
3 的乘积 AB
2 0 1
1
3 4
解：
4 1 0
AB 1 2
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3 14
9 2 1 9 9 11
例6
A
3
9
Байду номын сангаас
1 3
上海高二数学矩阵及其运算
矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。
在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。
如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。
6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
高中数学矩阵运算的基本规则及应用实例
高中数学矩阵运算的基本规则及应用实例矩阵是高中数学中重要的概念之一，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的作用。
在这篇文章中，我将向大家介绍高中数学矩阵运算的基本规则，并通过一些实例来说明这些规则的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列，其中的每个数称为矩阵的元素。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。
例如，一个3×2的矩阵有3行2列，阶数为3阶2列。
二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是矩阵运算中最基本的两种运算。
两个相同阶数的矩阵可以进行加法和减法运算，其规则如下：1. 加法：对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。
例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5 6][7 8 9] [1 2 3]则矩阵A + B = [5 7 9]。
[8 10 12]2. 减法：对应位置的元素相减得到新矩阵的对应元素。
例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5 6][7 8 9] [1 2 3]则矩阵A - B = [-3 -3 -3]。
[6 6 6]通过以上的例子，我们可以看到矩阵的加法和减法运算是按照对应位置的元素进行计算的。
三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
例如，给定矩阵A和一个常数k，矩阵A的数乘运算规则如下：kA = [k*a11 k*a12 k*a13][k*a21 k*a22 k*a23]其中，a11、a12等表示矩阵A中的元素。
四、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中较为复杂的一种运算，它需要满足一定的条件才能进行乘法运算。
两个矩阵A和B可以进行乘法运算的条件是：A的列数等于B的行数。
矩阵的乘法运算规则如下：C = AB其中，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5][6 7 8] [1 2][3 4]则矩阵AB = [14 23][38 59]通过以上的例子，我们可以看到矩阵的乘法运算是按照行与列的对应元素进行计算的。
数学9.2矩阵的运算教案沪教版高中二级第一学期
，
求 。
解：
讲授法
板演
2.2.3.矩阵的乘法
1．定义2.4：设两个矩阵 ， ，则矩阵 与矩阵 的乘积记为 ，规定 ，其中
2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：
(1)结合律：
（2）分配律：
（3）设 是数， 。
例2设
， ，
求 ， 与 。
解：
从例题中我们可以得出下面的结论：
（3） （ 是数）（4）
例9设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为BT=B，所以
(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3．定义2.6：设 为 阶方阵，如果 ，即有 则称 为对称矩阵。如果 ，即有 ， ，则说 为反对称矩阵。
2.2.5n阶方阵的行列式
1．定义2.7：由 阶方阵 所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为 阶方阵 的行列式(determinant of a matrix A)，记作| |或 。
2． 阶行列式的运算满足下列运算律（设 ， 为 阶方阵， 为数）：
（1） ；（2） ；（3） 。
三、练习：习题2.2 2~4
四、小结：本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。
课题
2.2矩阵的运算及其性质
时间
教学目的
学习矩阵相关的概念
重点难点
1．矩阵概念； 2特殊矩阵
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
90ˊ
一、导言：
矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
高中数学矩阵的运算规则总结
高中数学矩阵的运算规则总结矩阵是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要掌握一些运算规则，以便能够正确地进行矩阵的运算。
本文将总结高中数学矩阵的运算规则，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和掌握这些规则。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是最基本的运算，也是我们最先学习的内容。
两个矩阵相加（或相减）的条件是它们的维数相同，即行数和列数都相等。
加法和减法的运算规则如下：规则1：两个矩阵相加（或相减）的结果是一个新的矩阵，其元素由对应位置的两个矩阵的元素相加（或相减）得到。
例如，给定矩阵A和矩阵B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则矩阵A和矩阵B的和为：A +B = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]= [8 10 12][14 16 18]规则2：矩阵的加法和减法满足交换律和结合律。
即，对于任意两个矩阵A和B，有A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。
二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数。
数乘的运算规则如下：规则3：一个矩阵乘以一个常数的结果是一个新的矩阵，其元素由原矩阵的对应元素乘以该常数得到。
例如，给定矩阵A如下：A = [1 2 3][4 5 6]则矩阵A乘以2的结果为：2A = [2×1 2×2 2×3][2×4 2×5 2×6]= [2 4 6][8 10 12]规则4：数乘满足分配律。
即，对于任意一个常数k和两个矩阵A和B，有k(A + B) = kA + kB。
三、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要部分，也是较为复杂的运算。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
乘法的运算规则如下：规则5：两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
上海高二数学矩阵及其运算
"23 m 1、3 -24 2这样的矩形数表叫做矩阵。
14；2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量（％◎・・"）称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量®称为列向量；由加个行向量与"个列向量组成的矩阵称为〃?X"阶矩阵，〃IX"小 Q1 21阶矩阵可记做九旳，如矩阵3为2x1阶矩阵，可记做A 肉；矩阵36 38「丿 （23 21 阵，可记做A 珂。
有时矩阵也可用A 、3等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个〃w 阶矩阵九“中的第行第j （ j<n ）'51 列数可用字母©表示，如矩阵36 <23 21 28、38 36第3行第2个数为心=21。
21 28；零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有〃行（列人阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1,其余元素均 z、 （\ 0 0、 （1 0、 为零的方阵，叫做单位矩阵。
如矩阵 为2阶单位矩阵，矩阵0 1 0为3阶单位0 1矩阵。
矩阵的概念矩阵及其运算r51 21 28'36 38 36、2321 28,2 33 -24 4 1-4、当一个矩阵中所有元素均为0时, 我们称这个矩阵为零矩阵。
如"0 °为一个2x3阶1、形如2L36为3x3阶矩28丿‘51 21 28"可称此方阵为〃阶方阵，如矩阵36 38 36,23 21 28;"23 m y3 -2 4均为三阶方阵。
在一个"阶方 <41 76、如果矩阵A与矩阵3的行数和列数分别相等，那么A与3叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A = B°2x + 3y + mz = i7、对于方程组3x-2y + 4z = 2中未知数兀z的系数按原來的次序排列所得的矩阵4x + y - /?z = 4a,我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵3¥阵。
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x 0
1 8 3 y 4 0
1 z 2 4
P14-1
可得 x=3, y=2, z8
矩 阵
三、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
3. 矩阵的乘法
矩阵乘法运算举例
矩 阵
注 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律 2) 若矩阵A，B 满足 AB = BA，则称矩阵A和B可交换
1 0 例1 设A ，求所有与 A可交换的矩阵 2 1
例2 设A与B1和B2均 可 交 换 ， 证 明 ： (1) A与B1 B2 , B1 B2也 可 交 换; ( 2) A2 B12 ( A B1 )( A B1 ) .
ka11 ka kA 21 kam1 ka12 ka22 kam 2 ka1n ka2 n kamn
矩 阵
• 并称矩阵kA为数k与矩阵A的乘积 注意：数k与一个矩阵A相乘, 实质是遍乘 2) 数与矩阵的乘法满足下列运算律: (1) (kl)A=k(lA); (2) (k+l)A=kA+lA; (3) k(A+B)=kA+kB; 其中k , l是实数.
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
• 并称A+B为A与B之和. • 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型矩阵)才能相加. • 两个矩阵的加法实质是对应元素相加 P14-2
1.2 矩阵的运算
一、同型矩阵
矩 阵
若矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等, 则称A与B 为同型矩阵
二、矩阵相等
设矩阵A=(aij)和B=(bij)为同型矩阵, 若它们的对应元素相等, 即aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n), 就称A和B相等, 记作A=B 如
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 • 称－A为 A 的负矩阵.
a1n a2 n amn
P14-4
• 还可定义矩阵的减法 A－B = A+(－B)
1. 矩阵的加法 2. 数与矩阵的乘法 1) 设k是实数, A=(aij) 是一个mn矩阵, 规定
判断: (k为大于1的整数) (1) 设A，B为 n 阶方阵，则 (AB)k = AkBk
(2) 若Ak =
( )
o ，则 A = o
P14-9
( )
3. 矩阵的乘法 4) 方阵的幂
矩 阵
设 A 是 n 阶矩阵, 规定A0 ＝
E
n
0 1 0 0 a 0 0 1 0 ( 2) (1) b 0 0 0 1 c 0 0 0 0 例2 设A与B为同阶方阵，A = (1/2)(B+E)， 证明: A2 = A B2 = E
En 是 n 阶单位矩阵，则 Em A=AEn = A
单位阵相当于数1 P14-8
3. 矩阵的乘法
矩 阵
4) 方阵的幂 设A是 n 阶矩阵, k个A的连乘积称为A的 k 次幂,
记作 Ak ，即
A AA A
k k个
• 方阵的幂满足下列性质：（ m,k为正整数）
(1) AmAk=Am+k (2) (Am)k=Amk
P14-7
3. 矩阵的乘法
3) 矩阵乘法满足下列运算律: (1) 结合律 (AB)C=A(BC)
矩 阵
(2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k是实数
(3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA 左提？右提？
(4) 设 A 是 m × n 矩阵，Em 是 m 阶的单位矩阵，
b12 b1 n a22 b2 n as 2 bsn
s
• 则A与B之乘积AB，记作C=(cij )，是一个mn矩阵,
cij ai1b1 j ai 2b2 j sj aikbkj
k 1
• 矩阵C的第 i 行第 j 列元素cij , 是A的第 i 行元素与B的 第 j 列元素对应相乘相加 两个矩阵能够进行乘法运算的条件是什么？ P14-6
n
Ak AA A
k个
例1 计 算
P14-10
4. 矩阵的转置 a11 1) 把一个 mn 矩阵
1. 矩阵的加法 1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
矩 阵
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
P14-5
3. 矩阵的乘法 1) 设A是一个 ms 矩阵, B是一个 sn 矩阵
矩 阵
a11 a A 21 am1
• 且
a12 a22 am 2
a1 s a2 s ams
b11 b B 21 bs1
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中 P14-3
1. 矩阵的加法
矩 阵
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中