2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=13．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=﹣，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。