初高中数学衔接：第一讲 十字相乘法进行因式分解

第一讲 十字相乘法进行因式分解
【基础知识精讲】
（1）理解二次三项式的意义；
（2）理解十字相乘法的根据；
（3）能用十字相乘法分解二次三项式；
（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．
【重点难点解析】
1．二次三项式
多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式
))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因
式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，
那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：
)45)(2(86522-+=-+x x y xy x
3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．
点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
例2 把下列各式分解因式：
（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．
点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．
解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；
（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ；
（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．
点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；
（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；
（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．
)108)(6)(2(2++++=a a a a
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
因式分解之十字相乘法专项练习题
(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；
(5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6；
(7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6；
(9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3；
(11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15；
(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35；
(15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9；
(17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20；
14．把下列各式分解因式：
（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；
（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；
（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；
（3）2222)332()123(++-++x x x x ；
（4）60)(17)(222++-+x x x x ；
（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；
（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2
576x x +-
2
61110y y -- 2252310a b ab +- 222231710a b abxy x y -+ 22712x xy y -+
42718x x +- 22483m mn n ++ 53251520x x y xy --
六、解下列方程
（1）220x x --= 2560x x +-= 23440a a +-= 2
27150b b +-=。