刚体定轴转动转动定律
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刚体定轴转动转动定律
dv c Fe m dt
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
8/11/2014 3:31:32 PM 6
数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
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4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
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4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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l/2
y
o
x
dx
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
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例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
2.91刚体的定轴转动力矩 转动定律 转动惯量
Fi 0 , M i 0
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k