定稿平行线的有关证明单元试卷电子教案
第八章 平行线的有关证明(复习) 教案 2020-2021学年七年级数学 下册 鲁教版(五四制)
课题《平行线的判定定理和性质定理》复习一：教学目标知识目标：掌握平行线的判定定理和性质定理，初步感悟辅助线的添加方法，进一步发展学生的演绎推理能力。
能力目标：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决有关问题，体会转化、类比的数学思想。
进一步提高分析问题和解决问题的能力。
情感目标：感受数学来源于生活，通过一题多解，一题多变等初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
二．教学重点：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决问题。
三．教学难点：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决问题，理解添加辅助线解决“折线”问题的方法。
四．教学过程一．创境引入：出示济宁市地图，抽象出几何图形。
①∵∠B=∠1 (已知)∴AB∥DE( )②∵DF∥AC (已知)∴∠2=∠F 完成以下内容：( )③∵∠A=∠3 (已知)∴AB∥DE ( )④∵AC∥DF (已知)∴∠3=∠D ( )⑤∵∠B+∠4=180°(已知)∴AB∥DE ( )⑥∵DF∥AC (已知)∴∠D+∠5=180° ( )通过知识的回顾，以表格的形式总结出平行线的判定定理与性质定理的区别与联系.总结出平行线的所有判定方法.二、“玩“出学问；1.小明是个爱动脑筋的学生，他将直尺和含60°的三角板按如图所示叠放，当∠1=40 °时，你能帮他求出∠2，∠3的度数吗？（学生进行抢答）三、探究无限：2.小明将含60°的三角板旋转到如图所示位置，他先测量出∠1=15 °. 你能求出∠2的度数吗？已知：如图，DE∥GF，∠1=15 °，∠B=60°问题1:求∠2的度数.学生独立思考解决，小组交流合作，展示不同的解题方法（添加辅助线），教师引导进行总结.问题2：∠B 与∠1,∠2有着怎样的数量关系？观察问题1 的结果，发现∠B=∠1+∠2.在上图中，如果只有DE∥GF的条件，∠B 与∠1,∠2还有这样的数量关系吗？总结：数学方法（辅助线）数学思想（转化）类比探索：3.小明继续旋转三角板到如图所示位置，他发现∠B ,∠1 ,∠2之间依然有着奇妙的数量关系.聪明的你能猜想出来吗？猜想：∠B +∠1 +∠2=_____学生思考回答，教师展示多种方法，及时点评。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第七章平行线的证明7.4平行线的性质教案
第七章平行线的证明4平行线的性质教学目标1.掌握平行线的三个性质；2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算；3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别.教学重难点重点：理解并掌握平行线的性质公理和定理．难点：能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．教学过程导入新课问题1:我们以前探究过的平行线的判定,平行线有哪些判定方法?（同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行)问题2:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.探究新知活动一:平行线的性质定理1问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？问题3：你能说说证明的思路吗？如图：已知直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角，求证：∠1=∠2.【证明】假设∠1≠∠2，则过点O可作直线GH，使得∠EOH= ∠2.∵∠EOH = ∠2,∴直线GH∥CD.又∵直线AB∥CD,且AB、BH代表不同直线，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾.教学反思∴∠1≠∠2的假设不成立，∴ ∠1 =∠2. 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补. 定理2：两直线平行，内错角相等.如图：已知直线1l ∥2l ,∠1和∠2是直线1l 、2l 被直线l 截出的内错角，求证：∠1=∠2.【证明】∵ l 1∥l 2(已知)，∴ ∠1＝∠3(两条直线平行，同位角相等). ∵ ∠2＝∠3(对顶角相等)， ∴ ∠1=∠2(等量代换) .定理3：两直线平行，同旁内角互补.学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,全班交流,集体订正. 例1 如图所示，已知四边形ABCD 中， AB ∥CD ， AD ∥BC ,试问∠A 与∠C ，∠B 与∠D 的大小关系如何？【解】∠A = ∠ C , ∠B =∠D ， 理由：∵AB ∥CD （已知 ），∴∠B +∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又 ∵ AD ∥BC （已知），∴∠C +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ B =∠D （同角的补角相等）. 同理，∠A =∠C .例2 已知，如图，AB ∥CD ，∠B =∠D ，求证：AD ∥BC .【证明】∵ AB ∥DC （已知），∴ ∠B +∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵ ∠B =∠D （已知），教学反思∴ ∠D +∠C =180°（等量代换），∴ AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）.例3 如图，b ∥a ,c ∥a ，∠1，∠2，∠3是直线a ,b ,c 被直线d 截出的同位角.证明：b ∥c .【证明】∵b ∥a (已知)，∴ ∠2＝∠1 (两条直线平行，同位角相等). ∵ c ∥a (已知),∴ ∠3=∠1 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2 =∠3 (等量代换)．∴ b ∥c (同位角相等，两直线平行)．定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 议一议完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．课堂练习1.如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2＝80°，则∠1等于( )A ．120°B ．110°C ．100°D ．80°2.如图，已知∠1＝70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为( )教学反思A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°3.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，过点C 作CD ∥AB ，∠ACD ＝65°，则∠ACB 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°4.如图，AB ∥CD ，∠1＝58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于( )A ．122°B ．151°C ．116°D ．97°5．已知：如图，AB ∥DE ，BC ∥FE .求证：∠B ＋∠E ＝180°.6．如图， E ，G 分别是AB ,AC 上的点，F ，D 是BC 上的点，连接EF ，AD ，DG ，如果AB ∥DG ，∠1+∠2＝180°.(1)判断AD 与EF 的位置关系，并说明理由；(2)若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝140°，求∠B 的度数.参考答案1.C2.C3.D 4. B 5.证明：∵ AB ∥DE ，∴∠B ＝∠1. ∵ BC ∥EF ，∴ ∠1＋∠E ＝180°，教学反思∴∠B＋∠E＝180°.6.解：（1）AD∥EF.∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD.∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°.∵DG是∠ADC的平分线，∴∠1＝∠GDC＝40°.∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝40°.课堂小结（学生总结，老师点评）平行线的性质平行线的传递性布置作业习题7.5第2，3题板书设计第七章平行线的证明4 平行线的性质两直线平行，同位角相等平行线的性质两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补平行线的传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.。
2023八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题第1课时定义与命题教案(新版)北师大版
9. 平行线的评价和反思：通过评价学生的学习成果和教学过程，进行教学反思，找出改进教学的方法和策略。
10. 平行线的拓展知识：了解平行线的相关拓展知识，如平行线的性质在更一般情况下的应用，以及其他与平行线相关的几何问题。
三、实践活动（写300字，用时10分钟）
1. Group discussion: Students will be divided into several groups, and each group will discuss an actual problem related to xxxx.
2. Experimental operation: To deepen your understanding, we will conduct a simple experimental operation. This operation will demonstrate the basic principles of xxxx.
七、板书设计
①平行线的定义与性质：
- 平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线。
- 同位角：两条直线被第三条直线所截，位于相同位置的角。
- 内错角：两条直线被第三条直线所截，位于相对位置的角。
- 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，位于同一侧的角。
- 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
4. 平行线的证明：学习使用平行线的性质和判定方法来解决实际问题，如证明两条直线平行等。
5. 平行线的应用：学习平行线在实际问题中的应用，如计算距离、面积等。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元教学设计
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探索、发现、总结平行线性质的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用演绎推理方法，从特殊到一般，逐步掌握平行线的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
八年级学生在经过之前的学习，已经具备了一定的几何基础，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行线的概念及性质已有初步的了解，但在判定方法、性质应用等方面仍需加强。此外，学生在演绎推理、问题解决等方面的能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下学情：
1.学生对平行线性质的理解程度，注重引导学生从直观到抽象，逐步提高对平行线性质的认识。
c.解决实际问题，运用平行线性质求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，对学生的解答进行点评，及时纠正错误，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平行线的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.教师强调本节课的重点知识，提醒学生注意平行线性质及判定方法的灵活运用。
2.教师提出问题：我们已经学过直线、线段、射线等基本概念，那么如何判断两条直线是否平行？这节课我们就来探讨这个问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾同位角、内错角、同旁内角等概念，为后续学习平行线的判定方法打下基础。
2.教师通过几何画板演示，引导学生观察并总结出平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
通过生活中的实例，如铁轨、教室墙壁等，引出平行线的概念，激发学生对平行线性质探究的兴趣。
第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明1．为什么要证明一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维。
学生活动经验基础：学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．二、教学任务分析学生的直观能力是仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时的教学目标是：1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．三、教学过程：1、验证活动（1）某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．注意事项：学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．2、验证活动（2）如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 注意事项：要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生。
3、反馈练习1.如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 答案：a 与b 的长度相等.第1小题图 第2小题图2.如图中三条线段a 、b 、c ,哪一条线段与线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b 与线段d 在同一直线上.3.当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数. 4、课堂小结5、 巩固练习 课本第217页习题7.1 第2，3题．四、教学反思2．定义与命题（第1课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对此已经有比较多的经验和基础．活动经验基础：学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫．二、教学目标是：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．三、教学过程1、情景引入在这个小品中，你得到什么启示？（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）（很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣．）2、命题含义（情景引入）活动内容：①师：如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；②学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．归纳：在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.3、反馈练习.举出一些不是命题的语句.如：①画线段AB=3 cm.②两条直线相交，有几个交点？③等于同一个角的两个角相等吗？④在射线OA上，任取两点B、C.等等.4、课堂小结①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．5、课后练习搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多．6、教学反思2．定义与命题（第2课时）一、知识状况学生技能基础：学生已经学习过一些公理和定理。
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案一. 教材分析北师大版2019年八上数学第7章主要讲解平行线的证明。
本章内容是学生进一步深化对直线、射线、线段概念的理解，提高运用几何知识解决实际问题的能力。
通过本章的学习，学生将掌握平行线的判定和性质，为后续学习几何的其他内容打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对几何图形的判断和分析能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导他们发现规律，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的判定和性质，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的判定和性质。
2.难点：如何运用平行线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、交流，发现平行线的判定和性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，分析平行线的应用。
3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、直尺、圆规。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如公路、铁路等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？如何判断两条直线是否平行？呈现（10分钟）1.教师引导学生观察多媒体展示的几何图形，提出问题：如何判断这两条直线是否平行？2.学生通过观察、讨论，发现判定平行线的方法。
操练（10分钟）1.教师提出一组练习题，要求学生运用所学知识判断直线是否平行。
2.学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
巩固（10分钟）1.教师引导学生总结平行线的性质。
七年级下册《5.2.2 平行线的判定》教案、导学案、同步练习
《5.2.2平行线的判定》教案一第一课时【教学目标】：经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件. 【重点】：探索两直线平行的条件【难点】：理解“同位角相等,两条直线平行” 【教学过程】 一、情景导入.装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。
二、直线平行的条件以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本P13图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。
简化图5.2-5，得图3.图3∠1与∠2是三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言：∵∠1=∠2∴AB ∥CD.如图（课本P145.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线D C BA平行.”，可知这样画出的就是平行线。
如图，（1）如果∠2=∠3，能得出a ∥b 吗？（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出a ∥b 吗？你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3∴a ∥b.（2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知） ∴∠2=∠1（同角的补角相等） ∴a ∥b.（同位角相等,两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言：∵∠4+∠2=180°∴a ∥b. 四、课堂练习1、课本P15练习1，补充（3）由∠A+∠ABC ＝1800可以判断哪两条直线平行？依据是什么？2、课本P162题。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
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定稿平行线的有关证明单元试卷
第八章平行线的有关证明 单元测试
、选择题（每题3分，共30 分） 1. 下列语句不是命题的是（ ） A.两直线平行，同位角相等 B. 2 2
C.若|a|=|b| 贝U a=b
D. 2. 下列命题是真命题的是（
）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
B. 四边相等的四边形是菱形。
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3. 下列命题是假命题的有（ ①若a 2
=4，则a=2
③若 a > b,b >c 贝U a > c A. 1 B. 2 C. 3
)个。
②若a >b 则a 2
>b 2
2 2
④若 |a|=|b| 贝U a =b
D. 4
4.如图，直线a 、b 都与直线c 相交，给出条件：①/ 仁/ 2 ②/ 3= / 6 ③/ 4 +Z
7=180。
④Z5+Z
8=180。
，其中能判别a//b 的条件是（ ） A •①③ B. 5. 已知△ ABC 的三个内角满足/ A. 一定有一个内角为45° C. 一定有一个内角为60°
6. 如图，AB//CD ，贝U 、 （ ）。
A. + + =360° B. - C. + - =180° D. - ②④ C. ①③④ D. B +Z
C=3/ A ,则此三角形（
B. 一定是直角三角形
D. 一定是纯角三角形 之间的关系是 + =180°
+ =180° ①②③④ ）。
7.如图，Z
A=32O ，Z B=45，Z C=38° 则Z
DFE=( )。
A. 120 ° B.115 ° C. 110
D. 105 8.如图，DH//EG//BC ,且DC//EF ，那么图中与Z 1相等的角（不包括Z 1）的个数是
( )
直线AB 垂直于CD 同角的补角相等
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯
形。
9. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测自己的数学成绩,
甲说：“如果我得优，那么乙也得优”。
乙说：“如果我得优，那么
丙也得优”。
丙说：“如果我得优，那么丁也得优”，大家都没有说错，但只有三
个人得优，请问甲、乙、
丙、丁中谁没有得优（）。
A.甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
10. 如图，AB//CD,/ =142 °，
zC=80°，那么ZM=（
A. 52 °
B. 42 °
C. 10 °
D. 40 °
二、填空题（每题4分共20分）
11. _____________________________________________ 命题
“全等三角形的面积相等”的题设是____________________ ，结论
是__________________________________________________
把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是。
12. __________________________________________________________ 如图，直线a b被直线c所截，且a//b，如果/ 1=60，那么卍
____________________________________________________________
度。
13. 如图，已知zCDE=132，贝UZBCD _ 度。
D
14.
（第12题
如图，△ ABC是直角三角形，/
C=90°
（第13题
，zA，Z B的平分线交于
点
E,则/ AEB=
度。
14题
D
15题
)0
B
D
/ A=50°,则ZD ________ 度。
三、解答下列各题(16、17每题6分，18、19、每题7
分，20、21、22每题8分，共50 分)。
18.如图，四边形 ABC 冲，① AD//BC ②AB=CD ③/ ABD M CDB ④OA=OC (1)以其中两个作为题设，另两个作为结论组成一个正确的命题，题设是
19•求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
___________________ 结论是 ____________________ (2)证明上述命题的正确性。
D
(提示：先依图，写出已知，求证，然后进行证明)
20. 如图，P是A ABC内一点，（1）求证：/ BPO Z A （2）若/ A=1O0 ,/ABP=25，/
ACP=20 求zBPC的度数。
21. 如图，直线I1//I2，直线13与直线l i, 12分别交于C, D两点，有一点P在C, D之间运动（不与C，D两点重合），在它运动过程中，试分析/ 1、/ 2、/ 3三者之间的关系？你能选用两种方法说明得到的关系吗？
22. 把矩形ABCD&对角线AC折叠，得到如图所示的图形。
（1）求证：△ AFC是等腰三角形；（2）若/ EAF=30，求ZEAC的度数；（3）若AB=8c m，BC=6^m，求△ AFC的面积。
11
12。