1990考研数一真题解析
1990考研数一真题解析
1990考研数⼀真题解析1990年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题⼀、填空题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.)(1) 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+??=-??=-?垂直的平⾯⽅程是___x -3y -z +4=0__________.(2) 设a 为⾮零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=____2e a _________. (3) 设函数1, ||1,()0, ||1,x f x x ≤?=?>?则[()]f f x =________1_____.(4) 积分222y xdx edy -?的值等于____41e 2--_________.(5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)αααα====,则该向量的秩是_____2________.⼆、选择题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.) (1) 设()f x 是连续函数,且()()x e xF x f t dt -=,则()F x '等于 ( A )(A) ()()xx e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+(C) ()()xx e()[()]f x f x '=,则当n 为⼤于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是 ( A )(A) 1![()]n n f x + (B) 1[()]n n f x + (C) 2[()]n f x (D) 2![()]nn f x(3) 设α为常数,则级数21sin (n n n α∞=-∑ ( C ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛(C) 发散 (D) 收敛性与α的取值有关 (4) 已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0() lim21cos x f x x→=-,则在点0x =处()f x ( D )(A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f '≠(C) 取得极⼤值 (D) 取得极⼩值(5) 已知1β、2β是⾮齐次线性⽅程组Ax b =的两个不同的解,1α、2α是对应齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则⽅程组Ax b =的通解(⼀般解)必是( B ) (A) 12 11212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+三、(本题满分15分,每⼩题5分.) (1) 求(2)x dx x +-?.解：()()()()()()1111200ln 1111d ln 1d ln 1d 22122x x x x x x xx x x +=+=+---+--蝌?101111ln 2d ln 23213x x x 骣÷?=-+=÷?÷?桫-+ò (2) 设(2,sin )z f x y y x =-,其中(,)f u v 具有连续的⼆阶偏导数,求2zx y.解：2cos .z f f y x x u v 抖?=+抖? ()22222222sin cos sin cos cos .z f f f fx y x y x x x x y u u v v v抖抖?=-+-++抖抖抖?(3) 求微分⽅程244xy y y e-'''++=的通解(⼀般解).解：特征⽅程为2440r r ++=的跟为1,22r =-.对应齐次⽅程的通解为()212e x Y C C x -=+，其12C C ，中为任意常数.设原⽅程的特解为()22e x y x Ax *-=，代⼊原⽅程得12A =. 因此，原⽅程的通解为()()22212ee .2xx x y x Y y C C x *--=+=++四、(本题满分6分.)求幂级数=+∑的收敛域,并求其和函数.解：因为123=limlim 121n nn n a n ρa n ++==+，所以11.R ρ==显然幂级数()021n n n x ￥=+?在1x =?时发散，故此幂级数的收敛域为()11-，⼜()()0000121221nnnn n n n n S x n x nx x x x x ゥゥ====￠骣÷?=+=+=??÷?÷-桫邋邋 ()()222111 1.111xxx x x x +=+=-<<---，五、(本题满分8分)求曲⾯积分2,SI yzdzdx dxdy =+??其中S 是球⾯2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.解：令22140x y S z ì?+??=í?=??，，其法向量与z 轴的负向相同.设S 和S 1所围成的区域为Ω，则由奥--⾼公式有1Ωd d 2d d d d d .S I yz z x x y z x y z ++=蝌蝌?d d 02d d 2d d 8.S S x y yz z x x y x y π+?==-=-蝌蝌蝌，2222Ωd d d =d d cos sin d 4.ππz x y z θφr φr φr π?蝌蝌蝌所以12.I π=六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且 ()()f a f b =.证明在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ,使得()0f ξ'>.证：因()()f a f b =且()f x 不恒为常数，故⾄少存在⼀点()c a b ?，，使得()()().f c f a f b ?于是()()f c f a >或()().f c f a <现设()()f c f a >，则在[]a c ，上因()f x 满⾜拉格朗⽇定理的条件，故⾄少存在⼀点()()ξa c a b 翁，，，使得()()()10.f ξf c f a c a 轾￠=->臌-对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B -?? ?-= -, 2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ?? ? ?= ?, 且矩阵A 满⾜关系式1()TTA E CBC E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1C -表⽰C 的逆矩阵,TT T TA E CBC A C E C B A C B --??-=--??，故()=TA CB E -，因此1000100021002100()3210121043210121T A C B ???? ?- =- ---1-1==，⼋、(本题满分8分)求⼀个正交变换,化⼆次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形.解：⼆次型的矩阵A =122244244骣-÷?÷?÷?÷--?÷?÷?÷÷?-桫，由()2122A E 2449244λλλλλλ---=---=----， A 的特征值为12309.λλλ===，对于121221220A-E=244000244000λλλ骣骣--鼢珑鼢珑鼢珑鼢==--?珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑-桫桫，，从⽽可取特征向量1011P 骣÷?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷?桫及与P 1正交的另⼀特征向量241.1P 骣÷?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷?-桫对于38222459A-E=254099245000λλ骣骣----鼢珑鼢珑鼢珑鼢=---?-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑--桫桫，，取特征向量312.2P 骣÷?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷?桫将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032===323ξξξ骣骣骣鼢珑÷鼢珑÷鼢珑÷鼢?÷珑鼢?÷珑鼢?÷珑鼢?÷鼢珑÷÷-÷÷÷÷÷÷，，，故在正交变换112233132323x yx yx y骣÷÷÷÷÷骣骣÷鼢珑?÷鼢÷珑?鼢÷珑?鼢÷珑?鼢÷鼢珑?÷桫桫÷÷÷÷÷下，⼆次型239f y=.九、(本题满分8分)质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变⼒F作⽤(见图).F的⼤⼩等于点P与原点O之间的距离,其⽅向垂直于线段OP且与y轴正向的夹⾓⼩于2,求变⼒F对质点P所作的功.解：由题意，变⼒F=-y i+x j.圆弧AB的参数⽅程是3xθππθyθì?=+-＃í?=+，变⼒F所作的功))()434d d3sin2cos d21.πABπW y x x yθθθθθπ-=-+=+++=-蝌⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题2分.) (1) 已知随机变量X 的概率密度函数|| 1(),2x f x e x -=-∞<<∞,则X 的概率分布函数 ()F X =__1e ,0,211e ,0,2x x x x -ì??⽴事件,那么积事件AB 的概率()P AB =_0.3______.(3) 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即{}22,!k e P X k k -== 0,1,2k =L ,,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =___4____.⼗⼀、(本题满分6分.)设⼆维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的⽅差()D Z .解：()X Y ，的联合概率密度函数是()1010x f x y ì<，，，，其他，因此X 的边缘概率密度函数是()()201d 0X x x f x f x y y +?-?ì<==íò，，，，其他， ()()()()()()()22222144d d X X D Z D X E X E X x f x x xf x x +??-??轾骣轾犏÷?=+=-=-÷犏?犏桫臌臌蝌211320014242d 2d 4.299x x x x 轾骣骣÷?犏÷?=-=-=÷÷??÷?犏桫桫臌蝌P。
2021年最新1990考研数学超详细三真题和详解
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上 .)极限 lim(n3 n ) (1) n n n.设函数 ( x) 有连续地导函数 f f (0) 0, f (0) b , 若函数(2) , f ( x ) asin x , xA,x 0,F (x)x 0 在 x0 处连续 , 则常数 A =.y x 2与直线 曲线 (3) y x 2 所围成地平面图形地面积为.x 1 x 2x 3x 4 x 1a 1 , x 2x 3 x 4 a 2 , a 3 ,a 4若线性方程组有解 , 则常数 (4) a 1 , a 2 , a 3 , a 4 应满足条件.80 81一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次地概率为, 则该射手地命(5) 中率为 .二、选择题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 把所选项前地字母填在题后地括号内 3 分 . 每小题给出地四个选项中 .), 只有一项符合题目要求 , e sin x (1) 设函数 f ( x)x tanx , 则 f ( x) 为( )(A) 偶函数无界函数周期函数单调函数(B)(C)(D)(2) 设函数 f ( x) 对任意 x 均满足等式 f (1 x)af ( x) , 且有 f (0) b, 其中 a, b 为非零常数 , 则 ( ) f ( x) 在 x 1 处不可导 f ( x) 在 x 1 处可导 f (1) a , 且 (A) (B)(C)f ( x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1) bf ( x) 在 x 1 处可导 , 且 f (1) ab(D)(3) 向量组1, 2 , , s 线性无关地充分条件为( )(A)1, 2 , , s 均不为零向量1, 2 , , (B) s 中任意两个向量地分量不成比例 1, 2 , , s 1 个向量线性表示(C) s 中任意一个向量均不能由其余 (D)1, 2 , , s 中有一部分向量线性无关设 A, B 为两随机事件 BA , 则下列式子正确地为, 且 (4) ( )P A B P AP AB P A(A)(B) (C) P B AP BP B AP(B) P A(D)设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 其概率分布为(5) m m-1 1-1 11 21 21 21 2P X mP Y m则下列式子正确地为 ( )XY P X Y0 (A) (B)1 2P X Y1(C) P X Y(D)三、计算题 ( 本题满分 x 20 分 , 每小题 5 分.) ln t 2t 2(1) 求函数 在区间 [e,e ] 上地最大值 I (x) dt .2et12y2y 4x 29x (2) 计算二重积分xe dxdy , 其中 D 为曲线 y 与 在第一象限所围成地区D 域 .n(x 3) 2(3) 求级数 地收敛域 . n n 1sin x地通解 (4) 求微分方程y y cosx (ln x)e.四、 ( 本题满分 9 分 )某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品地广告, 根据统计资料 , 销售收入R ( 万元 ) 与电台广告费用 x 1 ( 万元 ) 及报纸广告费用 x 2 ( 万元 ) 之间地关系有如下经验公式 :22 R 15 14x 1 32x 2 8x 1 x 2 2x110x 2.(1) 在广告费用不限地情况下 , 求最优广告策略；万元, 求相应地最优广告策略 (2) 若提供地广告费用为 1.5 .五、 ( 本题满分 6 分 )设 f (x) 在闭区间 [0, c] 上连续 , 其导数 f ( x) 在开区间 (0, c) 内存在且单调减少；其中常数 a 、b f (0) 0 , 试应用拉格朗日中值定理证明不等式f ( a b) f (a)f (b) , : 满足条件 0 ab a bc .六、 ( 本题满分 8 分 )已知线性方程组x 1 3x 1 x 25x 1 (1)a 、b 为何值时 , 方程组有解 ?x 2 2x 2 2 x 3 4 x 2 x 3 x 4 x 5a,x 32 x 4 3x3 x4 3 x 50, 6 x 53x 4 b,x 52, (2) 方程组有解时 , 求出方程组地导出组地一个基础解系； (3) 方程组有解时 , 求出方程组地全部解 . 七、 ( 本题满分 5 分 )k已知对于 n 阶方阵 A , 存在自然数 矩阵地表达式 ( E 为 n 阶单位阵 ). k , 使得 0 , 试证明矩阵 E A 可逆 , 并写出其逆A 八、 ( 本题满分 6 分 )设 A 为 n 阶矩阵 , 2 为A 地两个不同地特征值 , X 1, X 2 为分别属于1 与 1与2 地特征向量 . 试证明 X 1X 2 不为 A 地特征向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )从 0,1, 2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字, 试求下列事件地概率：A 1 A 2 { 三个数字中不含 0 与 5} ； { 三个数字中不含 0 或 5}.十、 ( 本题满分 5 分 )一电子仪器由两个部件构成, 以 X 与 Y 分别表示两个部件地寿命( 单位 : 千小时 ), 已知X 与Y 地联合分布函数为 : 0.5 x0.5 y0.5( xy),1- e若x ee0, y 其他.0,F ( x, y)0,(1) 问 与 Y 为否独立 ? X (2)求两个部件地寿命都超过100 小时地概率.十一、( 本题满分7 分)某地抽样调查结果表明, 考生地外语成绩( 百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分,96 分以上地占考生总数地 2.3%, 试求考生地外语成绩在60 分至84 分之间地概率.[ 附表]x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0( x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999表中(x) 为标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分 (1) 【答案】 215 分 , 每小题 3 分.) n 3 nn n 【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子. n 3 nn n( n 3 n n n n ) n( n n3 nnnn )lim(n) limn13 n n 3 3 n nn n limn,nnn , 有再分子分母同时除以4原式limn.3 n1 n11a n4 1 1因为 limn0 , 其中 a 为常数 , 所以原式2.(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0 处连续 , 故 A F (0) lim F ( x) .x 0”型地极限未定式 0, 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以 lim F ( x) 为“ x 0f (x) asin x x f ( x) a cos x1A lim x 0 lim x 0b a .y f ( x) 在点 x x 【相关知识点】函数 yf ( x) 在点 连续：设函数 地某一邻域内有定义 ,0 0 如果 f ( x) 在点 x 0 连续 lim f ( x)f ( x 0 ), 则称函数 xx 0.142(3) 【答案】 y2x【解析】先解出两条曲线在平面地交点 , 即令 x 2 ,解得 x1 与 x2 , 故所围成地平面图形如右图所示:2 x 2 所求面积为Sx 2 dx1x1 O22 12131 4 . 223x 2xx 1a 1a 2 a 3 a 4 0(4) 【答案】 r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 【解析】由于方程组有解 ,1 第一行乘以加到第四行上 , 有1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 a 1 a2 a3 a 41 0 0 01 1 0 1 0 1 1 0 0 0 11 a 1 a2 a 3a 4,a 1 第二行加到第四行上 , 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 11 a 1 a2 a 3a 21 1 1 0 1 1 010 a 1 a 2 a 3a 3.a 1 a 4a 1 a 2 a 4r ( A)r ( A) 为使 , 常数 a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3 a 40 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解地判定定理：设 A 为 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b 有解地充分必要条件为系数矩阵地秩等于增广矩阵 A A b r ( A) r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 地列向量地秩 , 即为 1, 2 , , n 线表出 ,亦等同于1, 2 , , 1, 2 , , n , b 为等价向量组 ).n 与 设 A 为 mn 矩阵 , 线性方程组 Ax b , 则r ( A) r ( A) n. （ 1） 有 唯一解 r ( A) r ( A) n. （ 2） 有 无穷多解 r ( A) 1 r ( A ).b 不能由 A 地列向量（ 3） 无 解 1, 2 , ,n 线表出 .2 3(5) 【答案】p , 则进行 【解析】这为一个四重伯努利试验概率模型, 设试验地成功率即射手地命中率为80 81, 设事件 Y 为“射手命中目标地次数” , Y 服从参数 四次独立地射击 n 4, p 地二项分4p) , 它为至少命中一次地对布 , 由二项分布地概率公式 , 事件“四次均不中”地概率为 (1 立事件 . 依题意80 811 32 34(1 p)11 pp.本题地另一种分析方法为用随机变量 X 表示独立地进行射击中命中目标地次数, p 表示一次射击地命中率 , 则 XB(4, p) , 依题意4181P X 01P X k, k 11 812 .(1 p) 4即 p 3【相关知识点】二项分布地概率公式：kk(1 )n k 若 YB(n, p) , 则 P YkC np p k 0,1, , n ., 二、选择题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分.) (1) 【答案】 (B)sin xe【解析】由于lim xx e , 而 lim xtan x, 所以 ,222sin xlim x tan x ex, 故 f ( x) 无界. 222或考察 f ( x) 在 2n(n 1,2, ) 地函数值 x nlim f (x n ) lim x n e , 有 , 可见4n nf ( x) 为无界函数 . 应选 (B).以下证明其他结论均不正确 . sinesine 44由 ff, 知 (A) 不正确；4 44 40, f0 , 而 f 0 0, 知(D) 不正确 . 由 f44证明 (C) 不正确可用反证法 . sinxe设 gx tan x g x , 于为 地定义域为 D x | x k,k 0 , 1 , 2 , ,2g x 0, 1, 2, 且 地全部零点为 x n n ,n . 若 f xxg x 以 T T 0 为周期 , 则有x T g x Txg x , x D.x 0, 有 Tg T0, 即 g T 0 . 从而 Tk k 为某一正数 2k 令 , 其中 . 于为 也为xg x x D 地周期 . 代入即得 , 对 有x 2kg x 2k x 2k g x xg x .这表明 2kg x0 在 x D 上成立 , 于为 g x 0 在 x D 上成立 , 导致了矛盾 . 故f x xg x 不可能为周期函数 .【相关知识点】极限地四则运算法则:若 lim f (x)A , lim g(x)B , 则有 lim f (x) g (x)AB .x x 0x x 0x x 0(2) 【答案】 (D)【解析】通过变量代换 tx 1或按定义由关系式f (1 x) af ( x) 将 f (x) 在 x 1 地可导性与 f ( x) 在 x 0 地可导性联系起来 .令 t x 1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则f (t) 在t 1可导 , 且, 知 f (t) af (t 1)(t 1) af (0) ab ,t 1 t 1 因此 , 应选 (D).: 如果 ug ( x) 在点 x 可导 , 而 yf (x) 在点 ug (x) 可【相关知识点】复合函数求导法则 导 , 则复合函数y f g( x) x 可导 , 且其导数为在点 dy dxdy dxdy du du dxf (u)g ( x) 或.(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关地概念与理论, 以及充分必要性条件地概念.均为必要条件 , 并非充分条件 . 也就为说 , 向量组(A)(B)(D) 1, 2 , , s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但为不能由 (A)(B)(D) 选项中地任意一个推导出向量组 1, 2 , ,s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) , 该 向 量 组 线 性 相 关 . 但 (A)(B)(D) 均成立 .根据“1, 2 , , i(i 1,2,, s) 可以由s 线性相关地充分必要条件为存在某 1,1,1, ,s 线性表出. ”或由“1, 2 , , s 线性无关地充分必要条件为任意一个i i i (i1,2, , s) 均不能由 1 ,1,1, , 线性表出 . ”故选 (C).s i i (4) 【答案】 A【解析】由于 BA , 所以 AB A , 于为有 P A B P A . 故本题选 A.B 选项 , 因为 B A , 所以事件 B 发生 , 则事件 A 必然发生 , 所以 P ABP B 对于 ,而不为 PAB P A , 故 B 错.P( AB) , 当 P( A)C 选项 , 因为 BA , 由条件概率公式 对于 PB AB, A 为相互独立地事件时 , 才会有 P B A P B ；所以 C 错.D 选 项 , 因 为 BA , 所 以 事 件B 发 生 事 件 A 对 于 不发 生 为 个 不 可 能 事 件 , 故 P B A 0 , 所以 (D) 错 .(5) 【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率地定义, 有P X Y P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 P X1} P{ Y1P X 1} P{ Y 11 2 故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项为错误地 对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量1 2 1 2 12 12..X 与 Y 相互独立 , 且他们地概率分布相同 , 但为二, 并不能说事件 X 与事件 Y 为同一事件 . 故 (A) 者为不同地事件 错 .三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)ln x ln x 2x [e, e ] 上 , 0 , 故函数 I (x) 在 [e, e2] (1) 【解析】在I ( x)上单2x22 x 1x 12I (e ) .调增加 , 最大值为 dxx)d (1 x) 21 由, 有d2(1 (1 x)(1 x)e 2 e 2 ln t t 112)I ( e dtln td2eet 122eee 2 e 2 ln tdt t ln t11)dt ( eet 1 e2 t 1t 1 et 1 t 1 2ln( e 1) 2 ln( e 1) 12e1 e 11 e 1 ln.e 1e【相关知识点】 1. 对积分上限地函数地求导公式：(t ) (t) , (t ) 均一阶可导 若 F (t )f ( x)dx , , 则(t )F (t)(t ) f(t)(t) f(t ) .2. 假定 u u(x) 与 v v(x) 均具有连续地导函数 , 则udv uvvdu.uv dx uvu vdx, 或者D 为无界函数 (2) 【解析】区域 , 设y 2y 9x y 3y22y 4xD bD 0 y b { x, y 0 y b,x} , , 当 b不难发现 时有 D bD , 从而xy2y 3Oby2y2y2xe dxdylimbxe dxdylimbe dy xdxDD b12 1 4 1 9by 2lim b( y y)e dy0 2 5 72 5 5 144 bb y 2 2tlim b ye dy t y limbe dt5 144b 2lim b (1 e ) . 144 1(3) 【解析】因系数 a n (n 1,2, ) , 故 2 n111n2 22n a n a n1 limnlim n limn1 ,2n 1n1这样 , 幂级数地收敛半径 1,, 即 2 x 4 时级数绝对收敛 R1 . 因此当 1 x 3 .1 n1 ( 1)nx 2 时 , 得交错级数x 4 时 , 得正项级数当 ；当 , 二者都收敛 , 于为原级22nn 1n 1数地收敛域为 [2, 4] .a n a x n1【相关知识点】 1. 求收敛半径地方法： 如果limna , a 为幂级数 地 a , 其中 n n 1 n n 0n相邻两项地系数 , 则这幂级数地收敛半径1 , 0,R,0,0, .1)n1 u2. 交错级数地莱布尼茨判别法：设交错级数满足：( nn 1u nu n 1 , n 1,2, ; lim u n 0.(1)(2)n1)n1 u1)n1 ur u .则( 收敛 , 且其与满足 0 ( u , 余项 nn1 n n 1 n 1n 113． p 级数：当 p 1 时收敛；当 p 1时发散 .pn 1 n (4) 【解析】 方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程 , 可直接利用通解公式求解 .cos xdxcos xdxdx sin x ln y ee xe Csin xsin xeln xdx C e[ xln x x C ] .P ( x) dxcos xdxsin x方法 2: 用函数 eee同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .sin xsin xsin xsin xsin x方程两端同乘 e, 得 ey yecosx ( ye )( ye )ln x , 再积分一次得yesin xCln xdx C x ln x x ., 再用 sin x同乘上式两端即得通解sin xe[ xln x 最后 ey x C].y P( x) y Q(x) 地通解为【相关知识点】一阶线性非齐次方程P (x )dxP ( x) dx其中 C 为任意常数 y eQ(x)edx C ,.四、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为22 15 14x 1 32x 2 8x 1 x 2 2x 110x2( x 1 x 2 )2 2 15 13x 1 31x 2 8x 1 x 2 2x110x 2.由多元函数极值点地必要条件, 有4x18x213 0,x1x10.75, x2 1.25.8x120x231 0,x2因驻点惟一, 且实际问题必有最大值, 故投入电台广告费用0.75 万元, 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润(2) 若广告费用为.1.5 万元, 则应当求利润函数( 与(1) 中解析式相同)2215 13x131x28x1x2 2x110x2 ,在x1x21.5 时地条件最大值. 拉格朗日函数为22L(x1, x2 , ) 15 13x131x28x1x22x110x2( x1x2 1.5), Lx14x18x2 13 0,Lx2由8x 20x 31 0,12Lx1x2 1.5 0x10, x2 1.5.因驻点惟一, 且实际问题必有最大值大. , 故应将广告费万元全部用于报纸广告, 可使利润最1.5【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数z f ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下地可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y) ( x, y),为参数. 求其对x与y 地一阶偏导其中, 并使之为零, 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y) fy( x, y) (x, y)x( x, y)y( x, y)0,0, 0.由这方程组解出x, y 及, 这样得到地( x, y) 就为函数 f (x, y) 在附加条件( x, y) 0 下地可能极值点.五、( 本题满分 6 分)【解析】方法1: 当a 0 时, f (a b) f (b) f (a) f (b) , 即不等式成立；若a 0 , 因为f (a [ f (a b)b)f (a)f (b)]f ( 1) af (b) f (0)[ f (a)a[ f (f (0)]2) f (f ( 2 )a 1 )],其中0a b a b . 又( x) 单调减少, 故f (2 ) f ( 1 ) . 从而有f12f (a b) f (a) f (b) f (0) 0 , 即f ( a b) f (a) f (b) ., 再将b 视为变量x , 得辅助函数方法2: 构造辅助函数, 将式子移到不等式右边令F ( x) f ( x) f ( a) f (a x), x [0, b] , 由于f (0) 0 , 所以F (0) 0 , 又因为a0 ,F (x) f (x) f (a x), 且 f ( x) 在(0, b) 单调减少, 所以F (x) 0 , 于为F (x) 在[0, b] 上单调递增, 故F (b) F (0) 0 , 即0 a b a b c .f (a b) f (a) f (b) , 其中【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足在闭区间[ a, b] 上连续；在开区间a,b 内可导, 那么在a,b 内至少有一点(a b) , 使等式 f (b) f ( a) f ( )( b a) 成立.六、( 本题满分8 分)r ( A) r ( A) .(【解析】本题中, 方程组有解相关定理见第一题(4))35对增广矩阵作初等行变换, 第一行乘以、分别加到第二、四行上, 有1 3 0 51214112311231361ab211111122212221666a3ab5a,2第二行乘以 1 、1分别加到第三、四行上, 第二行再自乘1, 有1 11121216a3a3a2a.b2(1) 当b 3a 0 且2 2a 0 , 即a 1,b 3 时方程组有解.a1,b 3 时, 方程组地同解方程组为(2) 当x 1 x 2 x 22x 3 x 3 x 4 x 5 1,3,2x 4 6 x 5由 n r ( A) 5 2 3 , 即解空间地维数为 3. 取自变量为x 3 , x 4 , x 5 , 则导出组地基础解系为TTT(1, 2,1,0,0) ,(1, 2,0,1,0) ,(5, 6,0,0,1) .123T(3) 令 x 3x 4 x 5 0 , 得方程组地特解为( 2,3,0,0,0) . 因此 , 方程组地所有解为k 1k 2k 3 k 1, k 2 , k 3 3 , 其中 为任意常数 .12【相关知识点】 若 Ax 0 地基础解系 , 则 Ax b 地通解形式、 2 为对应齐次线性方程组1 k 1k 2, 其中 1 , Ax 0 地基础解系 Ax b 地一个特解 .为 2 为 为 , 12七、 ( 本题满分 5 分 )1【解析】若 A 、 B 为 n 阶矩阵 , 且 ABE, 则必有 BA E. 于为按可逆地定义知 A B .kA 如果对特征值熟悉 , 由 0 可知矩阵 A 地特征值全为 E A 地特征值全为 0, 从而 1,也就能证明 E A 可逆 .kA0 , 故由于 2k 1 kkE A (E A AA ) EAE .12k 1所以 E A 可逆 , 且 EAE A AA .八、 ( 本题满分 6 分 ) 【解析】 ( 反证法 ) 若 X 1X 2 为 A 地特征向量 , 它所对应地特征值为, 则由定义有：A( X 1 X 2 )( X 1 X 2 ) .由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2 1X 12X 2 .两式相减得 (1) X 1 (2) X 20 .由1,2 不全为0, 于为 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值地特征向量线2 , 知1X 1 X 2 不为 A 地特征向量 .性无关相矛盾 . 所以 ,A 为 n 阶矩阵 及非零地 n 维为矩阵 A 地特征【相关知识点】矩阵特征值与特征向量地定义：设 , 若存在数 列向量 X 使得 AXX 成立 , 则称 为矩阵 A 地特征值 X , 称非零向量向量 .九、 ( 本题满分 4 分 )3C10 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案【解析】样本空间含样本点总数为 . 3有利于事件 A 1 地样本点数为 C8 ；十个数字除去 0 与 5 任意选三个有多少种选择方案.3 3有利于事件A 2 2C 9C 8 ；十个数字除去 地样本点数为 0 任意选三个地选择方案与十个数字除去 5 任意选三个地选择方案再减去中间多算了一次地方法数 , 即为事件 A 1 被加了两次 , 所3以应该减去C 8 .由古典型概率公式 ,3 33 C8 7 ; 152C 9 C 814 .15P(A ) P( A ) 12 3 3 C10C 10 有利于事件 A i 地样本点数样本空间地总数P ( A )【相关知识点】古典型概率公式：.i 十、 ( 本题满分 5 分 )ax【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布地定义, 且 lim x0, ( a 为常数 e) 有X 与 Y 地边缘分布函数分别为0.5 x若 x 若 x 1 e, 0,0;F X ( x) F ( x ,)lim F (x, y)y0, 0.5 y若 y 若 y 1 e, 0, 0. F Y ( y) F ( , y)lim F ( x, y)x0,F ( x , y ) (x ) F Y (x ) 由于对任意实数 x, y 都满足 F X . 因此 X 与 Y 相互独立 .(2) 因为 X 与 Y 相互独立 , 所以有P X 0.1, Y 0.1 P X 0.1 P Y 0.10.050.050.1.[1 F (0.1)][1 F (0.1)] eee X Y 十一、 ( 本题满分 7 分 )【解析】若已知正态分布地期望与方差 , 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布地有2关概率 , 通过 (x) 表计算 . 但为正态分布地参数与未知时 , 则应先根据题设条件求出2与地值 , 再去计算有关事件地概率 .2) , 且 2设 为考生地外语成绩 X , 依题意有 X ~ N( ,72 , 但未知 . 所以可标准X 72化得. 由标准正态分布函数概率地计算公式, 有~ N (0,1) 96 7224P X 96 1 P X 96 1 10.023,241 0.023 0.977.242查表可得X ~ N(72,12 ) ,2, 12 , 即 X 72 12P 60 X 84 P1 2 (1) 1 0.682 .1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题满分 (1) 【答案】 215 分 , 每小题 3 分.) 【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子n 3 nn n . n 3 nn n( n 3 n n n n ) n( n n3 nnnn )lim(n) limn13 n n 3 3 n nn n limn,nn再分子分母同时除以n , 有4原式limn.3 n1 n11a n4 1 1因为 limn0 , 其中 a 为常数 , 所以原式2.(2) 【答案】 b a【解析】由于 F ( x) 在 x0 处连续 , 故 A F (0) lim F ( x) .x 0”型地极限未定式 0, 又 f (x) 在点 0 处导数存在 , 所以 lim F ( x) 为“ x 0f (x) asin x x f ( x) a cos x 1A lim x 0 lim x 0b a . y f ( x) 在点 【相关知识点】函数 x 0 连续：设函数 x 0 地某一邻域内有定义 yf ( x) 在点 ,如果 f ( x) 在点 x 0 连续 lim f ( x)f ( x 0 ), 则称函数 .xx 0142(3) 【答案】 yx2【解析】先解出两条曲线在平面地交点 , 即令x 2 ,解得 x1 与 x2 , 故所围成地平面图形如右图所示2 :2所求面积为Sx 2 x dx121 x2 2 1 x 334 1. 2x1 O22x 1(4) 【答案】 a 1a 2 a 3 a 4 0r ( A) r ( A) , 对 A 作初等行变换 【解析】由于方程组有解 ,1 第一行乘以加到第四行上 , 有1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 a 1 a2 a3 a 41 0 0 01 1 0 1 0 1 1 0 0 0 11 a 1 a2 a 3a 4,a 1 第二行加到第四行上 , 再第三行乘以1 加到第四行上 , 有1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 11 a 1 a2 a 3a 21 1 1 0 1 1 010 a 1 a 2 a 3a 3.a 1 a 4a 1 a 2 a 4r ( A)r ( A) 为使 , 常数 a 1 , a 2 , a 3 ,a 4 应满足条件 : a 1 a 2 a 3 a 4 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解地判定定理：设 A 为 m n 矩阵 , 线性方程组 Ax b 有解地充分必要条件为系数矩阵地秩等于增广A A b , 即为 r ( A ) r ( A) ( 或者说 , b 可由 A 地列向量1, 2 , , 矩阵 地秩 n 线表出 ,亦等同于1, 2 , , 1, 2 , , n , b 为等价向量组 ).n 与 设 A 为 mn 矩阵 , 线性方程组Ax b , 则r ( A) r ( A) n. （ 4） 有 唯一解 r ( A) r ( A) n. （ 5） 有 无穷多解 r ( A) 1 r ( A ).b 不能由 A 地列向量（ 6） 无 解 1, 2 , ,n 线表出 .2 3(5) 【答案】p , 则进行 【解析】这为一个四重伯努利试验概率模型, 设试验地成功率即射手地命中率为80 81, 设事件 Y 为“射手命中目标地次数” Y 服从参数 四次独立地射击 , n 4, p 地二项分4p) , 它为至少命中一次地对布 , 由二项分布地概率公式 , 事件“四次均不中”地概率为 (1 立事件 . 依题意80 811 32 34(1 p)11 pp.X 表示独立地进行射击中命中目标地次数, p 表本题地另一种分析方法为用随机变量 XB(4, p) , 依题意示一次射击地命中率 , 则4181P X 01P X k, k 11 812 34即 (1 p)p .【相关知识点】二项分布地概率公式：k np k(1p )n k ,P Y kC 若 YB(n, p) , 则 k 0,1, , n . 二、选择题 ( 本题满分 15 分 , 每小题 3 分.) (1) 【答案】 (B)sin x【解析】由于lim xx ee , 而 lim tan xx, 所以 ,222esin xlim x tan xxf ( x) , 故 无界 .222或考察 f ( x) 在 2n(n 1,2, ) 地函数值 x nlim f (x n ) lim x n e , 有 , 可见4n nf ( x) 为无界函数 . 应选(B). 以下证明其他结论均不正确 . sinesine 44由 ff, 知 (A) 不正确；4 44 4由 0, f0 , 而 f 00, 知(D) 不正确 . f44证明 (C) 不正确可用反证法 . e sinx gxtan x g x 设 Dx | x k,k 0 , 1 , 2 , ,, 于为 地定义域为 2g x 0, 1, 2, 且 地全部零点为 x n n ,n . 若 f xxg x 以 T T 0 为周期 , 则有x T g x Txg x , x D.令 x 0, 有 Tg T0, 即 g T 0 . 从而 Tk , 其中 k 为某一正数 . 于为 2k 也为xg x 地周期 . 代入即得 x D , 对 有x 2kg x 2k x 2k g x xg x .这表明 2kg x 0 在 x D g x 0 在 x D 上成立 , 于为 上成立 , 导致了矛盾 故.f x xg x 不可能为周期函数 .【相关知识点】极限地四则运算法则:若 lim f (x)x x 0A , lim g(x) x x 0B , 则有lim f (x) g (x)x x 0AB .(2) 【答案】 (D)tx 1或按定义由关系式f (1 x) af ( x) 将 f (x) 在 x 1 地可【解析】通过变量代换 导性与 f ( x) 在 x 0 地可导性联系起来 .令 tx 1 , 则 f (t ) af (t 1) . 由复合函数可导性及求导法则, 知 f (t) 在 t 1可导 ,且f (t) af (t 1)(t 1) af (0) ab ,t 1 t 1 因此 , 应选 (D).: 如果 ug ( x) 在点 x 可导 , 而 yf (x) 在点 ug (x) 可【相关知识点】复合函数求导法则 y f g( x) x 可导 , 且其导数为导 , 则复合函数在点 dy dxdy dxdy du du dxf (u)g ( x) 或.(3) 【答案】 (C)【解析】本题考查线性无关地概念与理论, 以及充分必要性条件地概念.1, 2 , , 均为必要条件 , 并非充分条件 . 也就为说 , 向量组(A)(B)(D) s 线性无关 , 可以推导出 (A)(B)(D) 选项 , 但为不能由 选项中地任意一个推导出向量组 1, 2 , ,(A)(B)(D) s线性无关 .例 如 : (1,0),(0,1),(1,1) 显 然 有 (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) , 该 向 量 组 线 性 相 关 . 但 (A)(B)(D) 均成立 .根据“1, 2 , , i(i 1,2,, s) 可以由s 线性相关地充分必要条件为存在某 1,1,1, ,1, 2 , , s 线性表出. ”或由“s 线性无关地充分必要条件为任意一个i i i(i 1,2, , s) 均不能由1,1,1, , s 线性表出 . ”故选 (C).i i (4) 【答案】 A【解析】由于 BA , 所以 AB A , 于为有 P A B P A . 故本题选 A.B A , 所以事件 B 发生 , 则事件 A 必然发生 , 所以 P ABP B ,对于 B 选项 , 因为 PAB P A 而不为 , 故 B 错.P( AB), 当 P( A) 对于 C 选项 , 因为 B A , 由条件概率公式 P B A B, A 为相互独立地事件时 , 才会有 P B A P B ；所以 C 错.D 选 项 , 因 为 BA , 所 以 事 件B 发 生 事 件 A 对 于 不 发 生 为 个 不 可 能 事 件 , 故 P B A 0 , 所以 (D) 错 .(5) 【答案】 (C)【解析】由离散型随机变量概率地定义 , 有P X Y P X 1,Y 1 P X 1,Y 1P X 1} P{ Y 1 P X 1} P{ Y 11 2 故本题选 (C). 而 (B) 、 (D) 选项为错误地 对于 (A) 选项 , 题目中只说了随机变量 1 2 1 2 1 2 12 ..X 与 Y 相互独立 , 且他们地概率分布相同 , 但为二 , 并不能说事件 X 与事件 Y 为同一事件 . 故 (A) 者为不同地事件 错 .三、计算题 ( 本题满分 20 分 , 每小题 5 分.)ln x 2 x ln x2 x [e, e ] 上 , 20 , 故函数 I (x) 在 [e, e ] (1) 【解析】在 I ( x) 上单2 2 x 1 x 1 I (e 2 ) .调增加 , 最大值为 dx (1 x)2 d (1 x)1 由 , 有 d (1 x)2 (1 x)2 ln t t 1 21e e 2 I (e ) dt ln td 2 e e t 12 2e e 2 2ln t dt t ln t 1 1 )dte e ( e e t 1 e 2 t 1 t 1 e t 1 t 1 e 1 2ln( e 1) 2 ln( e 1) 12 e 1 1 ln e 1.e 1 e 【相关知识点】 1. 对积分上限地函数地求导公式：(t ) (t) ,(t ) 均一阶可导 F (t ) f ( x)dx , 若 , 则(t ) F (t) (t ) f (t) (t) f (t ) .2. 假定 u u(x) 与 v v(x) 均具有连续地导函数 , 则或者 udv uv vdu.uv dx uv u vdx, D 为无界函数 (2) 【解析】区域 , 设y 2y 9x y 3 y2 2y 4x D b D 0 y b { x, y 0 y b, x } ,, 当 b 不难发现 时有 D b D , 从而xy2y 3b O y 2 y 2 y 2 xe dxdy lim b xe dxdy lim b e dy xdx 0 D D b 1 2 1 4 19 b y 2lim b ( y y)e dy0 25 72 55 144 b b y 2 2 t lim ye dy t y lim e dtb 0 b 0 5 144 b 2 lim b (1 e ) .144 1n 2 (3) 【解析】因系数 a ( n 1,2, ) , 故n 11 1 n2 2n a n a n 1lim n lim n lim n 1,2 n 1 n 21 这样 , 幂级数地收敛半径 1,, 即2 x 4 时级数绝对收敛 R 1 . 因此当 1 x3 . 1n 1( 1)n x 2 时 , 得交错级数 x 4 时 , 得正项级数 当 ；当 , 二者都收敛 , 于为原级2 2 n n 1 n 1 数地收敛域为 [2, 4] .a n ax n 1 【相关知识点】 1. 求收敛半径地方法： 如果 a , a 为幂级数 地 lim n a , 其中 n n 1 n n 0 n 相邻两项地系数 , 则这幂级数地收敛半径1 , 0 ,R , 0,0, .n 1 u 2. 交错级数地莱布尼茨判别法：设交错级数 满足：( 1) n n 1u n u n 1 , n 1,2, ; lim n u n 0.(1) (2) n 1 u n 1则 收敛 , 且其与满足 u , 余项 r n u n 1 .( 1) 0 ( 1) u n n 1 n 1 n 113． p 级数： 当 p 1 时收敛；当 p 1时发散 .p n 1 n (4) 【解析】 方法 1: 所给方程为一阶线性微分方程 , 可直接利用通解公式求解 .cos xdx cos xdxdx sin x ln y e e xe Csin x sin x e ln xdx C e [ xln x x C ] .P ( x) dx cos xdx sin x 方法 2: 用函数 e e e 同乘方程两端 , 构造成全微分方程 .e sin x , 得 e sin x y ye sin xcosx ( ye sin x ) ( ye sin x ) 方程两端同乘 ln x , 再积分一次得ye sin x C ln xdx C x ln x x .sin x sin x 最后 , 再用 同乘上式两端即得通解 y e [ xln x x C].e y P( x) y Q(x) 地通解为【相关知识点】一阶线性非齐次方程 P (x )dx P ( x) dx 其中 C 为任意常数 y e Q(x)e dx C , .四、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 利润为销售收入减去成本 , 所以利润函数为2 215 14x 1 32x 2 8x 1 x 2 2x 1 10x 2 ( x 1 x 2 )2 215 13x 1 31x 2 , 有8x 1 x 2 2x 1 10x 2 . 由多元函数极值点地必要条件 4x 1 8x 2 13 0,x 1 x 1 0.75, x 2 1.25.8x 1 20x 2 31 0,x 2因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 , 故投入电台广告费用 0.75 万元 , 报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润 (2) 若广告费用为 .1.5 万元 , 则应当求利润函数 ( 与 (1) 中解析式相同 )2215 13x 1 31x 2 8x 1x 2 2x 1 10x 2 ,在 x 1 x 2 1.5 时地条件最大值 . 拉格朗日函数为2 2L(x 1, x 2 , ) 15 13x 1 31x 2 8x 1x 2 2x 1 10x 2 ( x 1 x 2 1.5),Lx 14x 1 8x 2 13 0,Lx 2由 8x 1 20x 2 31 0,L x 1 x 2 1.5 0x 1 0, x 2 1.5.因驻点惟一 , 且实际问题必有最大值 大 ., 故应将广告费 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最 1.5 【相关知识点】拉格朗日乘数法 :要找函数 z f ( x, y) 在附加条件 ( x, y) 0 下地可能极值点 , 可以先作拉格朗日函数L( x, y) f (x, y) ( x, y),为参数 . 求其对 x 与 y 地一阶偏导数其中 , 并使之为零 , 然后与附加条件联立起来：f x ( x, y) f y ( x, y) (x, y) x ( x, y) y ( x, y) 0,0,0.由这方程组解出 x, y 及 , 这样得到地 ( x, y) 就为函数 f (x, y) 在附加条件 ( x, y) 0 下地 可能极值点 .五、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 方法 1: 当 a 0 时 , f (a b) f (b) f (a) f (b) , 即不等式成立；若 a 0 , 因为f (a [ f (a b) b) f (a) f (b)] f ( 1) a f (b) f (0)[ f (a) a[ f ( f (0)]f ( 2 )a 2 ) f ( 1 )],其中 0 a b a b . 又 ( x) 单调减少 , 故 f ( 2 ) f ( 1 ) . 从而有f 1 2f (a b) f (a) f (b) f (0) 0 , 即 f ( a b) f (a) f (b) ., 再将 b 视为变量x , 得辅助函数 方法 2: 构造辅助函数 , 将式子移到不等式右边 令 F ( x) f ( x) f ( a) f (a x), x [0, b] , 由于 f (0) 0 , 所以 F (0)0 , 又因为 a 0 , F (x) f (x) f (a x), 且 f ( x) 在 (0, b) 单调减少 , 所以 F (x) 0 , 于为 F (x) 在[0, b] 上单调递增 , 故 F (b) F (0) 0 , 即0 a b a b c .f (a b) f (a) f (b) , 其中 【相关知识点】拉格朗日中值定理：f ( x) 满足在闭区间 [ a, b] 上连续；在开区间 a,b a,b 如果函数 内可导 , 那么在 内至 少有一点 (a b) , 使等式 f (b) f ( a) f ( )( b a) 成立 .六、 ( 本题满分 8 分 )【解析】本题中 , 方程组有解 r ( A) r ( A) .( 相关定理见第一题 (4))3 5 对增广矩阵作初等行变换 , 第一行乘以 、 分别加到第二、四行上 , 有1 3 0 5 12 1 4 1 1 23 1 1 2 3 1 3 6 1 a 0 b 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 6 6 6 a3ab 5a,2 第二行乘以 1 、 1 1 分别加到第三、四行上 , 第二行再自乘 , 有1 1 1 12 1 2 1 6 a3a3a 2a.b 2 (1) 当 b 3a 0 且 2 2a 0 , 即 a 1,b 3 时方程组有解 .(2) 当 a 1,b 3 时 , 方程组地同解方程组为x 1 x 2 x 2 2x 3 x 3 x 4 x 5 1,3,2x 4 6 x 5 由 n r ( A) 5 2 3 , 即解空间地维数为 3. 取自变量为 x 3 , x 4 , x 5 , 则导出组地基础解系为T T T (1, 2,1,0,0) , (1, 2,0,1,0) , (5, 6,0,0,1) .1 2 3T(3) 令 x 3 x 4 x 5 0 , 得方程组地特解为 ( 2,3,0,0,0) . 因此 , 方程组地所有解为k 1 k 2 k 3 3 , 其中 k 1, k 2 , k 3 为任意常数 .1 2 【相关知识点】 若 Ax 0 地基础解系 , 则 Ax b 地通解形式 、 2 为对应齐次线性方程组 1 k 1 k 2 , 其中 1 , 为 2 为 Ax 0 地基础解系 为 Ax b 地一个特解 ., 1 2 七、 ( 本题满分 5 分 )1 A 、 B 为 n 阶矩阵 , 且 【解析】若 AB E, 则必有 BA E. 于为按可逆地定义知 A B .k A 0 可知矩阵 A 地特征值全为 如果对特征值熟悉 , 由 E A 地特征值全为 0, 从而 1, 也就能证明 E A 可逆 .k A 0 , 故由于 2 k 1 k k E A (E A A A ) E A E .1 2 k 1 所以 E A 可逆 , 且 E A E A A A .八、 ( 本题满分 6 分 )X 1 X 2 为 A 地特征向量 【解析】 ( 反证法 ) 若 , 它所对应地特征值为 , 则由定义有：A( X 1 X 2 ) ( X 1 X 2 ) .由已知又有 A( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2 1X 1 2 X 2 .两式相减得 ( 1 ) X 1 ( 2 ) X 2 0 .由 1, 2 不全为 0, 于为 X 1, X 2 线性相关 , 这与不同特征值地特征向量线 2 , 知 1 X 1 X 2 不为 A 地特征向量 .性无关相矛盾 . 所以 , A 为 n 阶矩阵 及非零地 n 维 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量地定义：设 , 若存在数 列向量 X 使得 AX 向量 .X 成立 , 则称 为矩阵 A 地特征值 , 称非零向量 X 为矩阵 A 地特征 九、 ( 本题满分 4 分 )3C 10 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案 【解析】样本空间含样本点总数为 .3有利于事件 A 1 地样本点数为 C 8 ；十个数字除去 0 与 5 任意选三个有多少种选择方案 .33有利于事件 A 2 地样本点数为 2C 9 C 8 ；十个数字除去 0 任意选三个地选择方案与十个数字除去 5 任意选三个地选择方案再减去中间多算了一次地方法数, 即为事件 A 1 被加了两次 , 所 3以应该减去 C 8 .由古典型概率公式 ,3 3 3C 8 7 15 2C 9 C8 1415 P(A 1) ; P( A 2 ) .3 3C 10 C 10 有利于事件 Ai 地样本点数 样本空间地总数P ( A ) 【相关知识点】古典型概率公式： .i 十、 ( 本题满分 5 分 )ax, 且 lim x 0, ( 【解析】 (1) 由连续型随机变量边缘分布地定义 a 为常数 e ) 有X 与 Y 地边缘分布函数分别为0.5 x若 x 若 x 1 e , 0,0;F X ( x) F ( x , ) lim F (x, y) y 0, 0.5 y 若 y 若 y 1 e , 0,0.F Y ( y) F ( , y) lim F ( x, y) x 0, 由于对任意实数 x, y 都满足 F ( x , y ) (x ) F Y (x ) . 因此 X F X 与 Y 相互独立 .(2) 因为 X 与 Y 相互独立 , 所以有P X 0.1, Y 0.1 P X 0.1 P Y 0.10.050.05 0.1 .[1 F (0.1)][1 F (0.1)] e e e X Y 十一、 ( 本题满分 7 分 )【解析】若已知正态分布地期望与方差 , 在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布地有 2 关概率 , 通过 (x) 表计算 . 但为正态分布地参数 与 未知时 , 则应先根据题设条件求出 2 与 地值 , 再去计算有关事件地概率 .2 , ) , 且 2 设 X 为考生地外语成绩 , 依题意有 X ~ N( 72 , 但 未知 . 所以可标准 X 72 化得 ~ N (0,1) . 由标准正态分布函数概率地计算公式 , 有96 72 24 P X 96 1 P X 96 1 1 0.023,2410.023 0.977.24 2X ~ N(72,12 )查表可得2, 12 , 即,X 72P 60 X 84 P 12(1) 10.682 .12。
历年考研数学一真题及答案解析1989~1999
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则00222222()(cos sin )(sin )cos 1Lx y ds t t t tdt dt πππ--+=+-+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解析】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z =++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解析】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以12,有 10010010010010010011120010020110010022001001001001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而知 110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,本题亦可很容易求出110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x tx+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中22(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.S 在(,,)P x y z 处的法向量{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭,若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2222(,)(1,1)44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为1132233()()y C y y C y y y =-+-+,即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是11()()22S S -=-.当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111()()()2224S f ===.因此, 11()24S -=-.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx∂∂,也可以先求z y ∂∂.方法一：先求zx∂∂,由复合函数求导法,1212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x∂∂∂∂''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得212(2)2(2)z f g yg f x y x y y y∂∂∂'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦111222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 212222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求zy∂∂, 122(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y∂∂∂∂'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得222()z z f xg x y y x x∂∂∂''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x∂∂∂'''''''=--+++∂∂∂221222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,LPdx Qdy +⎰与路径无关,则在D 上有Q P x y∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得0C =,即2()x x ϕ=,因此(1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰ (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：11222001LI xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰1201122y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则(1,1)2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰11011(0)022y dy xdx ϕ=+=+=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4π的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,所以 2cos sin I zdV d d d ρϕρϕρϕθΩΩ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2113344000001cos sin 2sin 22d d d d d πππθϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰1440011cos 2248πππϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分6分.)【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,2222211(1)(1)21()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x--+⋅-'=⋅==+--++++-. 由2011(1)(1),(||1)1n nn n n t t t t t t∞==-+-+-+=-<+∑,令2t x =得242222111(1)(1),(1)11nnn n n x x x x x t x ∞===-+-+-+=-<++∑即 221()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞='==-<+∑ 所以()()(0)xf x f u du f '=+⎰,22000010(1)arctan(1)104x x nnnn n n u du u du π∞∞==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421n nn x n π+∞==+-+∑,(||1)x <当1x =±时,式210(1)21n nn x n +∞=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1xf x x +=-在1x =处无定义.因此 2101(1)()arctan,[1,1)1421n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++,又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰,其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组 1323 1,21,x x x x +=⎧⎨-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解1231,21,,x t x t x t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.(2)由于逆矩阵的定义1||A A A *-=,据第(1)问有1||||A A A A ααααλλ**=⇒=,按特征值定义,即||A λ为伴随矩阵A *的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2222()x y z a R ++-=.先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：2222222222(),22,x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程 422224R x y R a+=-.它在平面xOy 上的投影曲线4222222,(02),40,R x y b b R R a az ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积22()1xyx y D S R z z dxdy ''=++⎰⎰.将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得,z x z y x z a y z a∂∂=-=-∂-∂-, 所以 2222()11()()xyxyx y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z''=++=++--⎰⎰⎰⎰ 222221()()xyxyD D x y dxdy dxdy a z a z R x y =++=----⎰⎰⎰⎰.利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有222222()xybD S R dxdy d R x yR πθρρ=---⎰⎰⎰⎰极坐标变换2222200()2b R d R R πθρρ=---⎰⎰ 222202()2()b R R R R b R πρπ=--=--代入42224R b R a =-,化简得32()2R S R R aππ=-.这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43aR =. 且 4()0,034()0,23S R R a S R a R a ⎧'><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩,故43aR =时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43aR =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P AB P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,A 与B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.因此,有 ()()()()P AB P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()(|)0.75()()P A A B P A P A AB P A B P A B ===.(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程210x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式240ξ∆=-≥,即{}{}22404A ξξ=-≥=≥.随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.x x F x x x <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=所以由概率的可加性,有{}{}{}2()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.【相关知识点】广义加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-.条件概率：()(|)()P BA P B A P A =,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,得 ~(5,9)Z N .代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2(5)18()32z Z f z π--=.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩则22d y dx =__________.(2) 由方程2222xyz x y z ++=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268x y u +=P 处沿方向n 的方向导数.(3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆202y ax x <<-(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt -【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='.所以 sin 2dydy tdt dx dx tdt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】2dx dy -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222222()02d xyz x y z+=++,再由全微分四则运算法则得222()()xy dz ydx xdy z x y z++=++,令1,0,1x y z ===-,得2dy =,即2dz dx dy =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.1(cos 1)cos 1lim (cos )lim (1(cos 1))x xx x x x x x ππ++-⋅-→→=+-令1x t =,则0x +→时0t -→,所以1cos 100lim(11))lim(1)x tx t x t e +--→→+=+=, 所以 01(cos 1)(cos 1)(cos 1)limcos 1lim (1lim x x x x xx x x x e e πππ→++---⋅-→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故 0(cos 1)lim2lim )x x xx x e eπππ→+--→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}222,3,12,3,1cos ,cos ,cos .14231n αβγ===++ 又 222222222222226614686888146868686814P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ⎧∂⎪===⎪∂++⎪⎪∂⎪===⎨∂++⎪⎪⎪++∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 62831111471414141414=⋅+⋅-⋅=. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰ 42220()zdz d r z rdr πθ=+⎰⎰⎰24240242r z r r r z dz π==⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰3[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰, 1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑.又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有1111111*********11212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)TTiA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而12222||()(1)PQ yy y y y ''=+=+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+. 即21y P =+C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即2211y P y '=+=+所以21y y '=-分离变量得21dx y =±-.令sec y t =,并积分,则上式左端变为2sec tan ln sec tan tan 1t tdtt t C ty ==++-⎰22ln sec sec 1ln 1t t C y y C =-+=+-.因曲线在上半平面,所以210y y +->,即(2ln 1y y C x -=±.故 21x y y Ce ±-=.当1x =时,1,y = 当x 前取+时,1C e -=,211x y y e --=, 2211222111(1)(1)1x x y y y y e e y y y y y y -----====+---+-；当x 前取-时,C e =,211x y y e -+-=, 2211222111(1)(1)1x xy y y y e e y y y y y y ------====+---+-；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆,yOABDC故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0. z zz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________.(3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.yO20x y +=zD(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 211x x x→--.。
历年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)已知 则 = _____________.
(2)设 是连续函数,且 则 =_____________.
(3)设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 =_____________.
(4)向量场 在点 处的散度 =_____________.
六、（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
(2)设矩阵 和 满足关系式 其中 求矩阵
四、(本题满分8分)
求微分方程 的通解,其中常数
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 则在 处
(A) 的导数存在,且 (B) 取得极大值
(C) 取得极小值(D) 的导数不存在
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
(2)设 为非零常数,则 =_____________.
(3)设函数 ,则 =_____________.
(4)积分 的值等于_____________.
(5)已知向量组
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1432t z t y t x 垂直的平面方程是 x -3y -z +4=0 .(2)设a 为非零常数，则a xx e a x a x 2)(lim =-+∞→.(3)设函数11,0,1)(>≤⎩⎨⎧=x x x f , 则)]([x f f = ___1___． (4)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于4(1)/2e --.(5)已知向量组 1α=(1,2,3,4)，2α=(2,3,4,5)，3α=(3,4,5,6)，4α=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是2二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设()f x 是连续函数，且⎰-=x e xdt t f x F )()(则)(x F '等于(A)（A ）)()(x f e f e x x ----(B) )()(x f e f e x x +---(C))()(x f e f e x x ---(D) )()(x f e f e x x +--(2)已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f =', 则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数)()(x fn 是(A)(A) 1)]([!＋n x f n (B) 1)]([+n x f n (C) nx f 2)]([ (D) nx f n 2)]([!(3)设α为常数，则级数]1)sin([12nn na n -∑∞=（C ）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关.(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续 ，且(0)0f =,2cos 1)(lim0=-→xx f x 则在点0x =处()f x (D)(A)不可导(B)可导,且0)0(≠'f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β和2β是非齐次线性方程组AX = b 的两个不同的解，21,αα是对应导出组AX = 0基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组AX = b 的通解（一般解）必是(B)(A) 2)(2121211ββααα-+++k k (B) 2)(2121211ββααα++-+k k (C) 2)(2121211ββββα-+++k k (D) 2)(2121211ββββα++-+k k 三、(本题满分15分，每小题5分)(1)求dx x x ⎰-+102)2()1ln(.解：11200ln(1)1ln(1)(2)2x dx x d x x +=+--⎛⎛⎜⎜⎠⎠110011ln(1)2(1)(2)x dx x x x =+--+-⎛⎜⎠……2分 101111ln 2()ln 232(1)3dx x x =-+=-+⎰.……5分 (2)设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2cos z f fy x x u v ∂∂∂=+∂∂∂.……2分 2222222(2sin cos )sin cos cos z f f f fx y x y x x x x y u u v v v∂∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂∂∂∂. ……5分 (3) 求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解(一般解).解：特征方程为2440r r ++=的根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x Y C C x e -=+，其中12,C C 为任意常数. ……2分 设原方程的特解为*2()x y x Ax e 2-=，代入原方程得12A =.……4分 因此，原方程的通解为2*2212()()2xx x y x Y y C C x ee --=+=++. ……5分四、(本题满分6分) 求幂级数∑∞=+0)12(n nxn 的收敛域, 并求其和函数.解：因为123limlim 121n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以11R ρ==.显然幂级数(21)nn n x∞=+∑在1x =±时发散，故此幂级数的收敛域为(1,1)-.……2分又0()(21)2nnnn n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑012()1n n x x x∞='=+-∑……5分 2221111(1)1(1)x xx x x x +=+=-<<---.……6分五、(本题满分8分) 求曲面积分I=⎰⎰+sdxdy yzdzdx .2其中S 是球面4222=++z y x外侧在0≥z 的部分解：令2214x y S z ⎧+≤=⎨=⎩，其法向量与z 轴的负向相同. 设1S S 和所围成的区域为Ω，则由奥-高公式有12S I yzdzdx dxdy zdxdydz Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰. ……2分而221140,228S S x y yzdzdx dxdy dxdy π+≤==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分2222cos sin 4zdxdydz d d r r dr ππθϕϕϕπΩ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……7分 所以12I π=.……8分六、(本题满分8分)设不恒为常数的函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使0)(>'ξf .证：因()()()f a f b f x =且不恒为常数，故至少存在一点(,)c a b ∈，使得()()()f c f a f b ≠=.于是()()()()f c f a f c f a ><或.……2分现设()()f c f a >，则在[,]a c 上因()f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点(,)(,)a c a b ξ∈⊂，使得1()[()()]0f f c f a c a ξ'=->-. ……6分对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.……7分七、(本题满分8分) 设四阶矩阵=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000110001100011，=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000120031204312且矩阵A 满足关系式E C B C E A =''--)(1, 其中E 为四阶单位矩阵, 1-C 表示C 的逆矩阵,C '表示C 的转置矩阵, 将上述关系化简并求矩阵A .解：因11()[()]()A E C B C A C E C B A C B --''''-=-=-,故()A C B E '-=……2分因此 1[()]A C B -'=-11000210032104321-⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……4分1000210012100121⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭……6分八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=成标准形.解：二次型的矩阵122244244-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ……1分由2122||244(9)244λλλλλλ---=---=----A E ，A 的特征值为1230,9λλλ===.……3分对于120λλ==，122122244000244000λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ，从而可取特征向量1011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及与1P 正交的另一特征向量2411P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……5分 对于39λ=，822245254099245000λ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A E ，取特征向量3122P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ……6分将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032,,323ξξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， ……7分故在正交变换1122331032323x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭下，二次型239f y =. ……8分九、(本题满分8分)质点P 沿着以A,B 为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力→F 作用 （见图），→F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且于y 轴正向的夹角小于2π.求变力→F 对质点P 所作的功.解：按题意，变力y x =-+F i j .……3分圆弧AB的参数方程是23443x y θππθθ⎧=⎪-≤≤⎨=⎪⎩.……5分 变力F 所作的功ABW ydx xdy =-+⎰434)sin )cos ]d ππθθθθθ-=⎰()21π=-……8分十、填空题：(本题满分6分，每小题2分)(1)已知随机变量X 的概率密度函数f (x )=x e -21, +∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数()F x =1212010xx e x ex -⎧<⎨-≥⎩.(2)设随机事件A ，B 及其事件A B 的概率分别为6.0,3.0,4.0和，若_B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率3.0)B A (P =(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 .十一、(本题满分6分)设二维变量(X ,Y )在区域 x y x D <<<,10:内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z =2X +1的方差D (Z ).解：(,)X Y 的联合概率密度函数是1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它，因此关于X 的边缘概率密度函数是2,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其它. ……2分22D(Z)(21)4[()(())]D X E X E X =+=-()22X X 4()()x f x dx xf x dx +∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰……4分()21132001424224299x dx x dx ⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题满分15分，每小题5分)【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1)【 同数学一 第四、(1)题 】(2)求微分方程0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1==ex y的特解.解：将原方程化为11,(1)ln y y x x x x'+=≠.……1分 由公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰……3分 得2ln ln 111ln ln 2dx dx x x x xy e e dx C x C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……4分 又由|1x e y ==，可解出12C =，所以方程的特解是11ln 2ln y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……6分(3)过点(1,0)P 作抛物线2-=x y 的切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设所作切线与抛物线相切于点0(x .因00|x x y =='==，故此切线的方程为)y x x =-.……1分又因该切线过点(1,0)P ，所以有03x =. 从而切线的方程为1(1)2y x =-. ……3分 因此，所求旋转体的体积332121(1)(2)4V x dx x dxππ=---⎰⎰……5分 6π=.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一第五题 】 六、（本题满分7分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)曲线⎩⎨⎧==ty t x 33sin cos 上对应于6π=t 点处的法线方程是13-=x y .(2)设x e y x tg 1sin 1⋅=，则='y 1tan 221111(sec sin cos )x e x x x x-⋅+.(3)=-⎰11dx x x15/4(4)下列两个积分的大小关系是：dx e dxe x x ⎰⎰----->121233.(5)【 同数学一 第一、(3) 题 】二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中,a b 常数，则(C)(A)1,1a b ==(B)1,1a b =-=(C)1,1a b ==-(D)1,1a b =-=-(2)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰])([dx x f d 等于(B)(A))(x f (B)dxx f )((C)cx f +)((D)dxx f )('(3)【 同数学一 第二、(3) 题 】(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，其中()f x 在0x =处可导，(0)0,(0)0f f '≠=，则0x =是()F x 的 （B ）(A)连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定三、(本题满分15分，每小题3分) (1)已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求常数a . 解：因2(1)lim()lim (1)x x a x x xa x a x e ax a x→∞→∞++==--……3分 故29a e =,ln 3a =.……5分(2)求由2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .解：对方程两边求微分2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+--, ……3分故2ln(),3ln()2x y xdy dx dy dx x y x y +-==+--或.……5分 (3)求曲线)0(112>+=x xy 的拐点. 解：22223231,2(1)(1)x x y y x x -'''=-=++. ……2分 令0y ''=,解得x =.因在x =的左右邻近"y 变号,故x =是拐点的横坐标.所以曲线的拐点是3)4.……5分 (4)计算 ⎰-dx x x2)1(ln . 解：原式1ln 1xd x =-⎰ln 11(1)x dxxx x =---⎰……2分 10ln 11()11x dxx x x =-+--⎰……4分 ln |1|ln 1x x C x x-=++-.……5分 (5)见【 数学二 第四（2）题 】四、(本题满分9分)在椭圆12222=+by a x 的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中0,0a b >>）.解：设00(,)P x y 为所求之点，则此点处的切线方程为00221xx yya b+=. ……2分令0x =，得该切线在y 轴上的截距20b y .令0y =，得该切线在x 轴上的截距2a x . ……4分于是所围图形的面积为2200011,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.……6分 求S的最小值时，不妨设00A x y ==22b A a '=. ……7分令0A '=,解得在(0,)a 内唯一驻点0x =……8分由A '在0x =右侧为负，得知0x =A 的极大点，即S 的极小点.所以0x =S 为最小，此时0y =,即为所求之点.……9分 五、(本题满分9分)证明：当0x >时，有不等式 21π>+x arctgx . 解：考虑函数1()arctan ,02f x x x x π=+->.……2分 有2211()0,01f x x x x '=-<>+. ……4分 所以()f x 在(0,)+∞上是单调减少的.……5分 又lim ()0x f x →+∞=……7分知当10,()arctan 02x f x x x π>=+->时. ……8分 即1arctan 2x x π+>. ……9分六、(本题满分9分)设dt t t x f x⎰+=11ln )(, 其中0,x >求 1()().f x f x+解：111ln ()1xt f dt xt =+⎰. 令1t y =，得11ln ()(1)x y f dy x y y =+⎰. ……3分 于是111ln ln ()()(1)(1)x x t t f x f dt dt x t t t +=+++⎰⎰111()ln (1)(1)x tdtt t t =+++⎰……5分 1111()ln 11x tdt t t t =+-++⎰……7分 21ln 1ln 2x t dt x t ==⎰. ……9分七、（本题满分9分）【 同数学二 第四、（3）题 】 八、(本题满分9分)求微分方程ax e y y y =+'+''44之通解，其中a 为实数.解：特征方程为2440r r ++=，特征根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x y C C x e -=+ .……2分 当2a ≠-时，设非齐次方程的特解为*()ax y x Ae =， ……3分代入原方程，可得21(2)A a =+,*21()(2)axy x e a =+. 当2a =-时，设非齐次方程的特解为*21()xy x A x e 2-=.代入原方程，得12A =,*21()2x y x x e 2-=.……8分故通解为212222121()2(2)()()()22x axx C C x e e a a y x x y x C C x e a --⎧++≠-⎪+⎪=⎨⎪=++=⎪⎩，当，当.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)极限n →∞=2(2)设函数()f x 有连续的导函数，0)0(=f 且b f =')0(，若函数00,sin )()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧+=x x A xx a x f x F 在0x =处连续，则常数A ＝ a + b .(3)曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 4.5 .(4)若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件04321=+++a a a a (5)一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则射手的命中率为2/3二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设函数x e tgx x x f sin )(⋅⋅=，则)(x f 是 （B ）（A ）偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2)设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x a f x +=， 且有b f =')0(,其中,a b 为非零常数，则 (D)（A ）()f x 在1x =处不可导（B ）()f x 在1x =处可导，且a f =')1(（C ）()f x 在1x =处可导,且 f (1)b '= （D ）()f x 在1x =处可导，且 f (1)ab '=. (3)向量组s ααα,,21⋅⋅⋅⋅线性无关的充分条件是(A)s ααα,,21⋅⋅⋅⋅均不为零向量(B) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意两个向量的分量不成比例(C) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线形表示 (D) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中有一部分向量线形无关(4)设A ，B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是(A)(A)P (A+B )= P (A )(B)P(AB )=P(A )(C)P (A B )= P (B )(D)P (B -A )=P (B )-P (A )(5)设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是 (C )(A )X =Y(B ){}0P X Y ==(C ){}P X Y ==21(D ){}1P X Y ==三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求函数()I x =dt t t t xe ⎰+-12ln 2在区间[2,e e ]上的最大值.解：由222ln ln ()0,[,]21(1)x x I x x e e x x x '==>∈-+-, ……1分可知()I x 在2[,]e e 上单调增加,故222ln max ()(1)e e x e e t I x dt t ≤≤==-⎛⎜⎠21ln 1e e tdt --⎛⎜⎠22ln 1111e e e e t dt t t t =-+⋅--⎛⎜⎠……3分 22121ln11e e t e e t -=-+--11ln ln(1)11e e e e e e+=+=+-++. ……5分(2)计算2y Dxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解：原式2302yy y edy xdx+∞-=⎰⎰……2分 20111()249y y y e dy +∞-=-⎰……3分 205572144y ye dy +∞-==⎰.……5分(3)求级数的∑∞=-12)3(n nn x 收敛域. 解：21n a n=,121(1)n a n +=+，212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+, ……2分 因此当131x -<-<，即24x <<级数收敛. ……3分当2x =时，得交错级数211(1)n n n ∞=-∑；当4x =时，得级数211n n∞=∑，二者都收敛，于是原级数的收敛域为[2,4].……5分(4)求微分方程x e x x y y sin )(ln cos -=+'的通解解：cos cos sin (ln )xdxxdx x y e x e e dx C --⎰⎰=⋅⋅+⎰……3分 sin (ln )x e xdx C -=+⎰……4分 sin (ln )x e x x x C -=-+.……5分四、(本题满分9分)某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R （万 元）与电台广告费用1x (万元) 及报纸广告费用2x (万元) 之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=. （1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5 万元, 求相应的最优广告策略.解：(1) 利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210x x x x x x =++---……1分 由12121248130,820310x x x x x x ππ∂∂=--+==--+=∂∂……2分 解得10.75x =(万元),2 1.25x =(万元). 因利润函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处的二阶偏导数为:2222211224,8,20A B C x x x x πππ∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂. ……3分 故有26480160,40B AC A -=-=-<=-<，……4分 所以函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处达到极大值，亦即最大值.……5分(2)若广告费用为1.5万元，则只需求利润12(,)x x ππ=在12 1.5x x +=时的条件极值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5)L x x x x x x x x x x λλ=++---++-……7分令120,0,0L L L x x λ∂∂∂===∂∂∂，有121212481308203101.50x x x x x x λλ--++=⎧⎪--++=⎨⎪+-=⎩……8分由此可得10x =，2 1.5x =，即将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.……9分五、(本题满分6分)设)(x f 在闭区间[0,c]上连续,其导数)(x f '在开区间(0,)c 内存在且单调减少.(0)0f =，试应用拉格郎日中值定理证明不等式()()()f a b f a f b +≤+，其中常 数,a b 满足条件c b a b a ≤+≤≤≤0.证：当0a =时,(0)0f =有()()()()f a b f b f a f b +==+. ……1分当0a >时，在[0,]a 和[,]b a b +上分别应用拉格朗日定理,有()11()(0)()(),0,0f a f f a f a a aξξ-'==∈-；……3分 ()22()()()()(),,()f a b f b f a b f b f b a b a b b aξξ+-+-'==∈++-.……4分 显然120a b a b c ξξ<<≤<<+≤. 因()f x '在[0,]c 上单调减少，故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()f a b f b f a a a+-≤.……5分 故由0a >，有()()()f a b f a f b +≤+. ……6分六、(本题满分8分)已知线性方程组 1234512345234512345323022654332x x x x x ax x x x x x x x x bx x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩(1)问,a b 为何值时，方程组有解?(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时, 求出方程组的全部解.解：(1) 考虑方程组的增广矩阵1111111111321130012263012260000035433120000022a aa A bb a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭……2分当30b a -=且220a -=，即13a b ==且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等，故1,3a b ==时，方程组有解.……3分(2)当1,3a b ==时，有11111101152012263012263000000000000000000000000a a A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程组的同解方程组为13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩，故导出组的基础解系为123115226,,100010001v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……6分(3)令3450x x x ===，得原方程组的特解23000u -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是原方程组的全部解为1231234521153226010000100001x x u x c c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,c c c 为任意常数.……8分 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0=kA ，试证明矩阵E A -可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）.解：由0kA =及1k k E A E A A E A --+++=-()() ，得1k E A E A A E--+++=()() ……3分 可知E A -可逆，且有11()k E A E A A ---=+++ .……5分八、(本题满分6)设A 为n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，21,x x 是分别属于1λ和2λ的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.解：因11122212,,Ax x Ax x λλλλ==≠,故12121122()A x x Ax Ax x x λλ+=+=+……2分 设21x x +是A 的特征向量，则1212()()A x x x x λ+=+，即112212()x x x x λλλ+=+， 于是有1122()()0x x λλλλ-+-=.……4分由于12,x x 属于不同的特征值，所以12,x x 线性无关，故有120,0λλλλ-=-=，即12λλ=， 这与假设矛盾，因此21x x +不是A 的特征向量.……6分九、(本题满分4分)从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率：=1A { 三个数字中不含0和5 } ；=2A { 三个数字中含0但不含5 }解：3813107()15C P A C ==……2分 33982310214()15C C P A C -==. ……4分十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知X 和Y 的联合分布函数为：⎩⎨⎧≥≥+--=+---它其00,01),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x .(1)问X 和Y 是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.解 X 的分布函数1()F x 和Y 的分布函数2()F y 分别为：0.511,0;()(,)0,0x e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若，0.521,0;()(,)0,0y e y F y F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若……2分 显然12(,)()()F x y F x F y =，故X 和Y 独立，……3分 于是{0.1,0.1}{0.1}{0.1}P X Y P X P Y α=>>=>⋅>……4分 0.050.050.112[1(0.1)][1(0.1)]F F e e e ---=-⋅-=⋅=.……5分十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3 %，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：设X 为考生的外语成绩，由题设知2~(,)X N μσ，其中72μ=. ……1分由条件知{96}0.023P X ≥=，即9672{}0.023X P μσσ--≥=，亦即24()0.977σΦ=，由()x Φ的数值表，可见242σ=.因此12σ=.这样2~(72,12)X N .……4分所求概率为60728472{6084}{}{11}1212X X P X P P μμσσ----≤≤=≤≤=-≤≤(1)(1)2(1)120.84110.682=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.……7分数 学（试卷五）一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)【 同数学四 第一、(4) 题 】(5)已知随机变量(3,1),(2,1)X N Y N - ,且,X Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+,则Z ～ N (0,5) .二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)【 同数学四 第二、(2) 题 】(3)【 同数学四 第二、(1) 题 】(4)设A 为n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(A)(A) 1-n A(B) A (C) nA(D) 1-A(5)已知随机变量X 服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 (B )(A )n = 4，p = 0.6(B )n = 6，p = 0.4(C )n = 8，p = 0.3(D )n = 24，p = 0.1三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求极限dte t x x t x x 22)1(1lim20-∞→⎰+解：原式22222202(1)(1)limlim(12)xt x x x x x t e dt x e xex e→∞→∞++==+⎰……3分22(1)1lim (12)2x x x →∞+==+. ……5分(2)求不定积分dx x x x ⎰34sin 2cos . 解 443333cos cos cos1222sin 88sin cos sin 222x x x x x x dx dx dx x x x x ==⎰⎰⎰……2分3211sin sin sin 42282x x x x d xd --==-⎛⎛⎜⎜⎠⎠……3分 22111sin 828sin 2x x dx x-=-+⎛⎜⎜⎠……4分 21cot 428sin 2x x C x -=-+211csc cot 8242x xx C =--+.……5分 (3)设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ为可微函数，求 yz∂∂.解 将原式两边同时对y 求偏导，得2112()()()z z z z z y z y y y y y yϕϕ∂∂'=+-∂∂ ……3分 解出z y ∂∂，得 ()()()()2()2()z z z z z y z zy y yy y zzyz yz y yyϕϕϕϕϕϕ''--∂==∂''--. ……5分(4)【 同数学四 第三、(2) 题 】四、（本题满分9分）【 同数学四 第四题 】五、(本题满分6分)证明不等式1ln(()x x x +≥-∞<<+∞证：记()1ln(f x x x =++()ln(ln(f x x x x '=+=.……2分 令()0f x '=，知0x =为驻点.由()0f x ''=>……4分可知0x =为极小值点，亦即最小值点.()f x 的最小值为(0)0f =，于是，对于一切(,)x ∈-∞+∞,有()0f x ≥，即1ln(()x x x +≥-∞<<+∞. ……6分六、(本题满分4分)设A 为1010⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001010000 (0010000010)10,计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.解：1010000100().......................00011000A E λλλλλ---=--按第一列展开……1分101000100000100100010..............................................00010001101λλλλλλλ----－－－＝－……2分9101010()()1010λλλ=---=-.……4分七、(本题满分5分)设方阵A 满足条件TA A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵.试证明所对应的 特征值的绝对值等于1.证：设x 是A 的实特征向量，其所对应的特征值为λ，则Ax x λ=，即T T Tx A x λ=，于是有2T T T x A Ax x x λ=，即2T Tx x x x λ=，2(1)0T x x λ-=.……3分 因为x 为实特征向量，故0Tx x >，所以得210λ-=，即||1λ=.……5分八、（本题满分8分）【 同数学四 第六题 】九、（本题满分5分）【 同数学四 第九题 分值不同 】 十、(本题满分6分)甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 联合概率分布.解：X Y 和都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和(2,0.5).因此X Y 和的概率分布分别为：0120.640.320.04X ⎛⎫⎪⎝⎭，0120.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……3分故由独立性，知X Y 和的联合分布为6分十一、(本题满分7分)【 同数学四第十一题 】。
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1990年全国卷高考理科数学真题及答案
1990年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x =D．x=92．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）A．B．iC．D．3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=68．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线9．（4分）设全集I={（x ，y ）|x ，y ∈R}，集合M={（x ，y ）|=1}，N=（x ，y ）|y ≠x+1．那么等于（ ）A ．B ． {（2，3）}C ． （2，3）D ． {（x ，y ）|y=x+1}10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x 、y 满足（x+2）2+y 2=3，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，正三棱锥SABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30° 12．（4分）已知h ＞0．设命题甲为：两个实数a ，b 满足|a ﹣b|＜2h ；命题乙为：两个实数a ，b 满足|a ﹣1|＜h 且|b ﹣1|＜h ．那么（ ） A ． 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ． 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ． 甲是乙的充分条件 D ． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ． 24种 B ． 60种 C ． 90种 D ． 120种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ． 70个 B ． 64个 C ． 58个 D ． 52个 15．（4分）设函数y=arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ．又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ． y =﹣arctg （x ﹣2） B ． y =arctg （x ﹣2） C ． y =﹣arctg （x+2） D ． y =arctg （x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是_________ ．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于_________ ．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于_________ ．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________ ．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．参考答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．解答：解：∵∴∴故选A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化．2．考点：复数代数形式的混合运算．分析：把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，故选D．点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．4．考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．5．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω•+=2π，求出ω．解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，，π，，2π．6．考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．7．考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．8．考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．解答：解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．9．考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合M，再计算．解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．10．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．11．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．13．考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．考点：棱锥的结构特征．专题：压轴题；分类讨论．分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个故选C．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．15．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题．分析：根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）又∵图象C'与C关于原点对称则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．解答：解：∵a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．点评：本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．17．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数．解答：解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案为﹣20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．18．考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．分析：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入求出极限即可．解答：解：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入得===2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．19．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．解答：解：令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=﹣1∴当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．20．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V计算体积：V 1=h（s1+s+）①V=sh ②V2=V﹣V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分65分）21．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．解答：解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．22．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号．解答：解法一：由已知得sinα+sinβ=2sin cos=，cos，两式相除得tan=，tan（α+β）==点评：数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．23．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设SA=a，则AB=a，BC=SB= a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件．专题：压轴题；分类讨论．分析：由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．25．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则====．如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2．∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．26．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（﹣∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞﹣}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+a n2）2=（a12+a22+…a n2）+2（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）≤（a12+a22+…a n2）+[（a12+a22）+…+（a12+a n2）]+[（a22+a32）+…+（a22+a n2）]+…+[（a n﹣22+a n﹣12）+（a n﹣22+a n2）]+（a n﹣12+a n2）=n（a12+a22+…+a n2）．于是（a1+a2+…+a n）2≤n（a12+a22+…+a n2）当a1=a2=…=a n时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．。
1990高考数学全国卷及答案理
1990高考数学全国卷及答案理1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A(8)D (9)B (10)D(11)C(12)B (13)B(14)C（15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变力F所作的功
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1) 已知随机变量 的概率密度函数 ,则பைடு நூலகம்的概率分布函数
__ _____.
(2) 设随机事件 、 及其和事件 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若 表示 的对立事件,那么积事件 的概率 _0.3______.
设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且
.证明在 内至少存在一点 ,使得 .
证：因 且 不恒为常数，故至少存在一点 ，使得 于是 或
现设 ，则在 上因 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点 ，使得 对于 情形，类似地可证得此结果.
七、(本题满分6分)
设四阶矩阵
, ,
且矩阵 满足关系式 ,其中 为四阶单位矩阵, 表示 的逆矩阵, 表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .
因此，原方程的通解为
四、(本题满分6分.)
求幂级数 的收敛域,并求其和函数.
解：因为 所以
显然幂级数 在 时发散，故此幂级数的收敛域为
又
五、(本题满分8分)
求曲面积分 其中 是球面 外侧在 的部分.
解：令 其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有
而
所以
六、(本题满分7分)
(3) 设 为常数,则级数 ( C )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 收敛性与 的取值有关
(4) 已知 在 的某个领域内连续,且 , ,则在点 处
( D )
(A) 不可导 (B) 可导,且
(C) 取得极大值 (D) 取得极小值
(5) 已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解, 、 是对应齐次线性方
(3) 已知离散型随机变量 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即
,则随机变量 的数学期望 ___4____.
十一、(本题满分6分.)
设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 的方差 .
解： 的联合概率密度函数是 因此X的边缘概率密度函数是
程组 的基础解系, 为任意常数,则方程组 的通解(一般解)必是( B )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求 .
解：
(2) 设 ,其中 具有连续的二阶偏导数,求 .
解：
(3) 求微分方程 的通解(一般解).
解：特征方程为 的跟为 .对应齐次方程的通解为 ，其 中为任意常数.设原方程的特解为 代入原方程得 .
(5) 已知向量组 ,则该向量的秩是_____2________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设 是连续函数,且 ,则 等于 ( A )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 已知函数 具有任意阶导数,且 ,则当 为大于2的正整数时, 的 阶导数 是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
1990
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 过点 且与直线 垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.
(2) 设 为非零常数,则 =____ _________.
(3) 设函数 则 =________1_____.
(4) 积分 的值等于____ _________.
解：因 故
因此
八、(本题满分8分)
求一个正交变换,化二次型 为标准形.
解：二次型的矩阵A= ，
由 A的特征值为
对于 从而可取特征向量 及与P1正交的另一特征向量
对于 取特征向量
将上述相互正交的特征向量单位化，得
故在正交变换 下，二次型 .
九、(本题满分8分)
质点 沿着以 为直径的半圆周,从点 运动到点 的过程中受变力 作用(见图). 的大小等于点 与原点 之间的距离,其方向垂直于线段 且与 轴正向的夹角小于 ,求变力 对质点 所作的功.