【精选】浙江专用高考数学总复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课时作业
2019年高考数学总复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课时作业
第3讲 圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2017·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2017·绍兴一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大.答案 (0，－1)8.(2017·丽水调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课件文
平面解析几何
第3讲
圆的方程
1．圆的方程 标准 (x－a)2＋(y－ 方程 b)2＝r2(r>0)
(a，b) 圆心_______ r 半径为_______ D2＋E2－4F>0 条件：______________
一般 方程
x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0
D E － ，－ 2 2 圆心：____________
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( (2)方程 x2＋y2＝a2 表示半径为 a 的圆．( (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．( ) ) )
(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2， 0)为圆心， 3 为半径的圆． y (1)x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， y 所以设x＝k，即 y＝kx.
当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时 |2k－0| ＝ 3， 2 k ＋1 解得 k＝± 3(如图所示)． y 所以x的最大值为 3，最小值为－ 3.
1 2 2 r ＝ D ＋ E －4F 半径：_________________ 2
2. 点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系．
＞ r2. (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______
＝ r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______ ＜ r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
x2+y2=16.故选 B.
(2)(方法 1)
设 P(x,y).
∵圆心 C(1,1),点 P 是过 A 的弦的中点,∴ ⊥ .
又=(2-x,3-y), =(1-x,1-y),
(-8)2 + 2 ,化简整理得
∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.
∴P 点的轨迹方程为
解析 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=9,
且|a|=r=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.
增素能 精准突破
考点一
求圆的方程
典例突破
例1.(1)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点为圆心,2为半径的圆的方程是
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.
故选D.
= √2,解得 a=6 或 a=2,
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
(浙江专用)高考数学总复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课时作业
第3讲 圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )2 ＝2y ＋2x A. 2＝2y ＋2x .B 1＝2y ＋2x C.4＝2y ＋2x .D 解析 AB 的中点坐标为(0，0)，，22＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝|AB | 2.＝2y ＋2x 圆的方程为∴ 答案 A)(对称的圆的方程为x ＝y 关于直线1＝22)－y (＋21)－x (圆)嘉兴七校联考(2017·2. 1 ＝21)－y (＋22)－x (A. 1＝22)－y (＋21)＋x .(B 1＝21)－y (＋22)＋x (C.1＝22)＋y (＋21)－x .(D 22)－y (＋21)－x (圆∴，)1，′(2C 对称的点为x ＝y 关于直线)2，(1C 已知圆的圆心 解析 A.故选，1＝21)－y (＋22)－x (对称的圆的方程为x ＝y 关于直线1＝ 答案 A)(的取值范围是a 则实数，表示圆0＝1－a ＋2a 2＋ay 2＋ax ＋2y ＋2x 方程.3⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2)∪－，∞－(A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B. )0，2－(C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23D. .23＜a ＜2解得－，0＞3a24－a －1则，表示圆3a24－a －1＝2)a ＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2方程为 解析 答案 D上任一点连线的中点的轨迹方程是4＝2y ＋2x 与圆2)－，(4P 点)绍兴一中检测(2017·4.( )1 ＝21)＋y (＋22)－x (A. 4＝21)＋y (＋22)－x .(B 4＝22)－y (＋24)＋x (C.1＝21)－y (＋22)＋x .(D 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，则，)y ，x (M 的中点为PQ ，)0y ，0x (Q 设圆上任一点为 解析，4＝22)＋y (2＋24)－x (2即，4＝20y ＋20x 所以，上4＝2y ＋2x 在圆Q 因为点⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2.1.＝21)＋y (＋22)－x (化简得 答案 A外接圆的圆心到原ABC △则，)3，(2C ，)3，(0B ，)0，(1A 已知三点)卷Ⅱ全国(2015·5.点的距离为( )53A. 213B.253C.43D. ①，1＝x 的垂直平分线方程为BC 得线段，)3，(2C ，)3，(0B 由点 解析 的垂直平分线方程为AB 得线段，)3，(0B ，)0，(1A 由点 ②，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1233＝32－y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233外接圆的圆心坐标为ABC △解得，①②联立 B.故选.213＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332其到原点的距离为 答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________.＝1＋|b |＝r 半径，32＝－b 解得.4＋b2＝1＋|b |则，<0)b )(b ，(2坐标为C 设圆心 解析，52.254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32＋22)－x (的方程为：C 故圆 254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32＋22)－x ( 答案 的C 圆心，的面积取最大值时C 当圆，2k ＝－y 2＋kx ＋2y ＋2x ：C 已知圆)广州模拟(2017·7.坐标为________..的面积最大C 时圆0＝k 当，所以1.＋2k 34＝－21)＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2的方程可化为C 圆 解析 答案 (0，－1)的最M 那么过点，内的一点0＝y 2－x 4－2y ＋2x ：C 是圆)0，(1M 已知点)丽水调研(2017·8.短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.1－02－1＝CM k ∵，)1，(2C 的圆心为0＝y 2－x 4－2y ＋2x ：C 圆，垂直CM 的最短弦与M 过点 解析＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x－y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0三、解答题再，先画出图形，两两相交0＝1－y ＋x 2：3l ，0＝1＋y ：2l ，0＝y 2－x ：1l 已知三条直线9.求过这三个交点的圆的方程.连线构成直角C ，B ，A 三交点.互相垂直3l 与1l ，轴x 平行于2l 解三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0解方程组1).－，2－(的坐标是A 所以点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0解方程组 所以点B 的坐标是(1，－1). ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1是的中点坐标AB 线段 3.＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝|AB |又 .94＝21)＋y (＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12故所求圆的标准方程是 .并说明轨迹是什么图形，的轨迹方程A 求点，m ＝|AB||AC|且，2＝|BC |已知，中ABC △在10. 解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).－2m (整理得.（x －1）2＋y2m ＝（x ＋1）2＋y2得，m ＝|AB||AC|由0.①＝1)－2m (＋x 1)＋2m 2(－2y )1－2m (＋2x 1) .轴y 轨迹是，0＝x 方程是，1＝m ，时1＝2m 当 .4m2（m2－1）2＝2y ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m2＋1m2－1得，式配方①对，时1≠2m 当).的交点BC 除去圆与(为半径的圆2m|m2－1|，为圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋1m2－1，0的轨迹是以A 点，所以 能力提升题组 (建议用时：25分钟)的最2b＋1a 则，的周长0＝8－y 2－x 4－2y ＋2x 始终平分圆)>0b ，>0a 0(＝2－by 2＋ax 若直线11.小值为( )A.1B.52C.422＋D.3 解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， 2a b＋b a ＋3＝)b ＋a )(2b＋1a (＝2b＋1a ∴ ，22＋3＝b a ×2ab2＋3≥ ，2a b＝b a 当且仅当 .等号成立，时1－2＝a ，2－2＝b 即 .22＋3的最小值为2b＋1a ∴ 答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆)(则圆的方程为，52轴上截得的弦长为y 在，的半径 9＝23)＋y (＋22)＋x (A.25＝25)＋y (＋23)＋x (B. 499＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋73＋26)＋x (C. 499＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋73＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23D. 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为，上1＋x 2＝y 由圆心在直线.2b ＝2)b －y (＋2)a －x ( 得b ＝2a ＋1 ①，，52轴上截得的弦长为y 由此圆在 ，② 5＝2a －2b 得 A.故选9.＝23)＋y (＋22)＋x (所以所求圆的方程为).舍去(⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3得①②由答案 A其中，2|PA |＋2|PB |＝d 记.上的动点C 是圆P 设点，1＝24)－y (＋23)－x (：C 已知圆13.A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.20y ＋20x 2.＋)20y ＋20x 2(＝21)－0y (＋20x ＋21)＋0y (＋20x ＝2|PA |＋2|PB |＝d ，)0y ，0x (P 设 解析74.＝max d ∴，36＝21)＋(5＝max )20y ＋20x (∴，为圆上任一点到原点距离的平方 答案 74的图象与两个坐标轴有三)R ∈x (b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数设，中xOy 在平面直角坐标系14.个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.的图象与两个坐标轴只有两个交点b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，否则，≠0b 显然(1) 解(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.x ，故它与)b ，(0轴有一个非原点的交点y 的图象与b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，知≠0b 由－4因此方程的判别式，有两个不相等的实数根0＝b ＋x 2＋2x 从而方程，轴必有两个交点4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1).的图象与两b ＋x 2＋2x ＝)x (f 二次函数，于是.1－b 1±＝－x 得，0＝b ＋x 2＋2x 由方程(2)).b ，(0，)0，1－b ＋1－(，)0，1－b －1－(个坐标轴的交点是 的方C 将它们的坐标分别代入圆，过上述三点C 圆，0＝F ＋Ey ＋Dx ＋2y ＋2x 的方程为C 设圆程，得⎩⎨⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b2＋Eb ＋F ＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b.得，解上述方程组，≠0b 又 0.＝b ＋y 1)＋b (－x 2＋2y ＋2x 的方程为C 所以圆 (3)圆C 过定点，证明如下：＋20x 并变形为，的方程C 将该点的坐标代入圆，)b 不依赖于0y ，0x )(0y ，0x (过定点C 假设圆0(*).＝)0y －(1b ＋0y －0x 2＋20y －0x 2＋20y ＋20x 式得(*)结合，0＝0y －1必须有，都成立b 的≠0)b <1(b 式对所有满足(*)为使0.＝0y.过定点C 圆，因此.上C 均在圆)1，2－(，)1，(0点，经检验知⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1解得15.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的).4，(2A 及其上一点0＝60＋y 14－x 12－2y ＋2x ：M 圆 (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；.的取值范围t 求实数，TQ →＝TP →＋TA →使得，Q 和P 上的两点M 满足：存在圆)0，t (T 设点(3) ，5＝r 半径，)7，(6M 圆心，25＝27)－y (＋26)－x (的方程化为标准形式为M 圆(1) 解 ，0)＞b (2b ＝2)b －y (＋26)－x (的方程为N 设圆，由题意 5.＋b ＝（6－6）2＋（b －7）2且 1.＝21)－y (＋26)－x (的标准方程为N 圆，∴1＝b 解得 0.＝m ＋y －x 2即，m ＋x 2＝y 的方程为l 可设直线，∴2＝OA k (2)∵ ，52＝22＋42＝|OA |＝|BC |又 ，52＝25－5＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC|22＝d 的距离为l 到直线)7，(6M 的圆心M 圆，由题意 15.＝－m 或5＝m 解得，52＝|2×6－7＋m|22＋（－1）2即∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.，为平行四边形AQPT 则四边形，TQ →＝TP →＋TA →由(3) 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ，10≤（t －2）2＋42即，|≤10PQ |＝|TA |∴ .212＋2≤t ≤212－2解得 ].212＋2，212－[2的范围为t 故所求。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程练习 理(含解析)-人教版高三全册数学
第3讲 圆的方程[基础题组练]1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8.故选A.3．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．4．(2019·某某晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.5．(2019·某某省七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8，0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：选A.法一：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8，0)，所以直线AB 的方程为y－0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.法二：依题意，以OA 为直径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝165或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，即B (85，165)，因为A (8，0)，所以k AB ＝16585－8＝－12，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的X 围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. 答案：(0，4)7．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为________．解析：由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝58．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.[综合题组练]1．(应用型)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D.由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ， 所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．(创新型)设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2 B. 5 C.5－2 D.755－2 解析：选C.如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.3．(2019·某某模拟)一个圆的圆心在直线y ＝2x 上，且与x 轴的正半轴相切，被y 轴截得的弦长为23，则该圆的标准方程为________．解析：根据题意，要求圆的圆心在直线y ＝2x 上，设其圆心为(m ，2m )， 又由其与x 轴的正半轴相切，则m ＞0，则半径r ＝2m ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m )2＝4m 2，又由该圆被y 轴截得的弦长为23，则有4m 2＝3＋m 2， 解可得：m ＝±1，又由m ＞0，则m ＝1， 则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －2)2＝44．(应用型)(2019·某某模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：125．(应用型)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，某某数m 的取值X 围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.6．(创新型)在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.。
高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程讲义含解析0411133.docx
§9.3 圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1.二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2.已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件.3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.( ×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.( ×)题组二教材改编2.[P124A组T2]圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.3.[P132A组T3]以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x －3)2＋(y －1)2＝1 C.(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 D.(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4.[P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为______________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a ，0)， ∵点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2，0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－22)∪(22，＋∞) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6.(2018·浙江诸暨中学期中)点P (5a ＋1，12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A.|a |<1 B.a <113C.|a |<15D.|a |<113答案 D解析 由圆(x －1)2＋y 2＝1， 得圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，由点P 在圆(x －1)2＋y 2＝1内部得(5a ＋1－1)2＋(12a )2<1，解得|a |<113.7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ，1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去). ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选A.题型一 圆的方程例1 (1)已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a ，0)(a >0)，半径为r ， 则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋(0－0)2＝54， 所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________________________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 方法一 所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝(a －b －3)22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.①由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎨⎧a ＝1，b＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 跟踪训练1 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________. 答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.题型三 与圆有关的最值问题例3 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在本例的条件下，求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2.在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法. ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3). (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.1.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2.已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B.(x －1)2＋(y ＋2)2＝25 C.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D.(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2，2)点，只有B 项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2，2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3.(2018·浙江诸暨中学期中)已知直线l 为圆x 2＋y 2＝4在点(2，2)处的切线，点P 为直线l 上一动点，点Q 为圆(x ＋1)2＋y 2＝1上一动点，则|PQ |的最小值为( ) A. 2 B.22＋1 C.1＋ 2 D.23－1答案 B解析 由题意可得，直线l 为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －22＝0，圆心(－1，0)到直线l 的距离为d ＝|－1＋0－22|2＝2＋22，∴|PQ |的最小值为2＋22－1＝22＋1. 4.圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＋10y ＝0 B.x 2＋y 2－10y ＝0 C.x 2＋y 2＋10x ＝0 D.x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 5.圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y －1)2＝4 B.(x －2)2＋(y －2)2＝4 C.x 2＋(y －2)2＝4 D.(x －1)2＋(y －3)2＝4答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2，0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.6.如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，－1)∪(1，3)B.(－3，3)C.[－1，1]D.[－3，－1]∪[1，3]答案 D解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1，3].故选D.7.(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.8.(2019·杭州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________. 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1).9.若圆C 经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m ). 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.10.(2018·嘉兴测试)已知直角坐标系中A (－2，0)，B (2，0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是____________；轨迹为__________. 答案 x 2＋y 2－12x ＋4＝0 一个圆解析 设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |可知|PA |2＝2|PB |2，由两点间的距离公式得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，整理得x 2＋y 2－12x ＋4＝0，显然其对应的轨迹是一个圆. 11.已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值.解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3，3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C (3，3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ， 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________. 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 14.已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________. 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15.(2018·浙江省温州市高考适应性考试)已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，A (－5，0)，B (b ，0)(b ≠－5)，若|PA ||PB |＝λ(λ为定值)，则λb ＝________.答案 －1解析 设点P (x P ，y P )，∵|PA |＝λ|PB |，A (－5，0)，B (b ，0)， ∴(x P ＋5)2＋y 2P ＝λ2[(x P －b )2＋y 2P ]， ∴x 2P ＋y 2P ＋10x P ＋25＝λ2(x 2P ＋y 2P －2bx P ＋b 2). ∵P 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 2P ＋y 2P ＝1， ∴10x P ＋26＝λ2(1－2bx P ＋b 2)， ∴(10＋2b λ2)x P ＝λ2＋b 2λ2－26，①要使①式对x P ∈[－1，1]恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧10＋2b λ2＝0，λ2＋b 2λ2－26＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－15，λ2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，λ2＝1(不符合题意，舍去).∵λ>0，∴λ＝5，∴b λ＝－1.16.(2018·浙江省绍兴诊断)已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值. 解x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离.当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学一轮复习(浙江版)专题9.3圆的方程(讲)含解析
圆的方程【考纲解读】【知识清单】1 求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.2 圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：2．圆的一般方程．：（）.3.点到直线的距离：.【重点难点突破】考点1 求圆的方程【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.【答案】【解析】设，则，故圆C的方程为【1-2】已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．【答案】【解析】【1-3】的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．【答案】【解析】设所求圆的方程为：，则，解之得.所以所求圆的标准方程为：.【领悟技法】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．【触类旁通】【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆为，故选B.【变式二】【2016高考浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【综合点评】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．考点2 圆的方程综合应用【2-1】【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.【2-2】在圆上移动，试求的最小值．【答案】.【解析】由已知得，则，即()min所以的最小值为.【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．【答案】或【领悟技法】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.【触类旁通】【变式一】【2018届吉林省长春市普通高中一模】已知圆的圆心坐标为，则（）A. 8B. 16C. 12D. 13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.【变式二】在圆x2+y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差，那么n的取值集合为A． {4，5，6，7} B． {4，5，6}C． {3，4，5，6} D． {3，4，5}【答案】A【解析】【变式三】一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是 .【答案】【解析】先作出已知圆关于轴对称的圆，问题转化为求点到圆上的点的最短路径.结合图形可知，最短距离为点到圆心的距离与半径之差，即．【综合点评】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.【易错试题常警惕】易错典例：一条直线过点，且圆的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（）A.B.C.D.易错分析：忽视斜率不存在而致误．温馨提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围. 在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例1】【四川省宜宾县第二中学校2018届高考适应性】若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为，且，则的取值范围为 ________.【答案】学￥%&科网【解析】【典例2】已知圆方程.（1）求的取值范围；（2）若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值；（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2) ；（3）.【解析】试题分析： (1)圆的方程化为标准方程,利用半径大于,可得的取值范围；(2)直线方程与圆方程联立,利用韦达定理及,建立方程,可求的值；(3)写出以为直径的圆的方程,代入条件可得结论.。
2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第3讲圆的方程课时作业含解析新人教B版
圆的方程课时作业1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)答案 D解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，则圆心坐标为(0，－1)．2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 A解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．3．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上，设圆心的坐标为(a,0)，则半径r＝|a |.所以当E ＝F ＝0且D <0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，0，半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪D2，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A ．4．(2019·辽宁沈阳联考)已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a,0)(a >0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，故选D ．5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( ) A ．(－2，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1D ．不确定 答案 A解析 ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A ．6．(2020·湖北襄阳第一次联考)已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．RB ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，233C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0 答案 C解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，因为过点P 有两条切线，所以点P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233.故选C ．7．(2019·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定答案 C解析 ∵圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.故选C ．8．(2019·承德模拟)曲线x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)上的点到直线x －y －1＝0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ． 2B ．2C ．22＋1 D ．2－1答案 C解析 因为圆心(0,1)到直线x －y －1＝0的距离为22＝2>1，所以半圆x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)到直线x －y －1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0,0)到直线x －y －1＝0的距离，为12＝22，所以a －b ＝2＋1－22＝22＋1，故选C ． 9．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A ，B ，C 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)， 则y 1，y 2是方程y 2＋4y －20＝0的两根，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， 故|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16＋80＝4 6.10．(2019·厦门模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]答案 B解析 x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x ＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．11．(2019·宁夏六盘山模拟)已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为C ，若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的直线l 与此圆交于A ，B 两点，则当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．4x －2y －3＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋2＝0答案 A解析 圆心坐标为C (0,1)，当弦长|AB |最小时，∠ACB 最小，此时直线AB 与PC 垂直，k l ＝－11－120－1＝2，所以直线l 的方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0，故选A ． 12．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 ∵圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝25，∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝2×5－2＝2 3.∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12·BD ·EA ＋12·BD ·EC ＝12·BD ·(EA＋EC )＝12·BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D ．13．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1，3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________.答案 (0,4)解析 设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝(2＋1)2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4.14．已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________．答案 3解析 点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，又圆心C 的坐标是(1,1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.15．(2019·泰安模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 答案 34解析y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，∴y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由|2－k |k 2＋1＝1，得k ＝34，结合图形可知y －2x －1≥34，∴所求最小值为34.16．(2019·石家庄模拟)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝2，则圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，点C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
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第3讲 圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案 A2.(2017·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A.答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a24表示圆，则1－a －3a24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2017·绍兴一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x －4，y0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 A5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________.解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254. 答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1)8.(2017·丽水调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1).线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3.故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94. 10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB||AC|＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).由|AB||AC|＝m ，得（x ＋1）2＋y2＝m （x －1）2＋y2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m2＋1m2－12＋y 2＝4m2（m2－1）2. 所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋1m2－1，0为圆心，2m|m2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A.1B.5C.42D.3＋22 解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b的最小值为3＋22.答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C.(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1).(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b ).设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*).为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上.因此，圆C 过定点.15.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC|22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m|22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。