2017年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，,则( ) A.{}0=<A B x x B.A B =R C.{}1=>A B x x D.A B =∅【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<∴{}0AB x x =<,{}1A B x x =<,选A2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12 D.π4【解析】设正方形边长为2,则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=,圆的面积为2π1π⨯=,图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248= 故选B3. 设有下面四个命题( )1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ；2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ；3p :若复数12z z ，满足12z z ∈R ,则12z z =；4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .A.13p p ，B.14p p ，C.23p p ，D.24p p ，【解析】1:p 设z a bi =+,则2211a bi z a bi a b-==∈++R ,得到0b =,所以z ∈R .故1P 正确；2:p 若z =-21,满足2z ∈R ,而z i =,不满足2z ∈R ,故2p 不正确；3:p 若1z 1=,2z 2=,则12z z 2=,满足12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故3p 不正确；4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确；4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==，,则{}n a 的公差为( ) A.1 B.2 C.4D.8【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+=联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d 624d =4d =∴选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是( )A.[]22-，B.[]11-，C.[]04，D.[]13，【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=,于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤|又()f x 在()-∞+∞，单调递减121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤故选D6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A.15B.20C.30D.35【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15,∴2x 的系数为151530+=故选C 7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.16【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.1000A >和1n n =+B.1000A >和2n n =+C.1000A ≤和1n n =+ D.1000A ≤和2n n =+ 解 因为要求A 大于1000时输出,且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B 又要求n 为偶数,且n 初始值为0,“”中n 依次加2可保证其为偶故选D9已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( )A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C【答案】D【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x .注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+x 平移至π3+x , 根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π12.9. 已知F 为抛物线C :24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,AB DE +的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ.作1AK 垂直准线,2AK 垂直x 轴 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos PBF θ=+∴22221cos sin P P AB θθ==-, 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2θ+ 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =,即2P =.∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16,故选A10. 设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则()A.235x y z <<B.523z x y <<C.352y z x <<D.325y x z <<【答案】D【答案】取对数:ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<,故选D11. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,在接下来的三项式62,12,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N :100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 【答案】A【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,则n 组的项数和为()12n n +由题,100N >,令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=-- n 组总共的和为()2122212nnn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂,则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ()2log 3k n =+ →295n k ==，则()2912954402N ⨯+=+= 故选A二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

12. 已知向量a ,b 的夹角为60︒,2a =,1b =,则2a b +=________. 【答案】23【解析】()22222(2)22cos602ab a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴212a b +=13. 设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y =-的最小值为【答案】5-不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示由32z x y =-得322z y x =-,求z 的最小值,即求直线322zy x =-的纵截距的最大值 当直线322zy x =-过图中点A 时,纵截距最大 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得A 点坐标为(1,1)-,此时3(1)215z =⨯--⨯=-14. 已知双曲线2222:x y C a b-,(0a >,0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒,则C 的离心率为_______.23如图,OA a =,AN AM b ==∵60MAN ∠=︒,∴3AP ,222234OP OA PA a b -=-∴2232tan 34AP OPa b θ==-, 又∵tan b a θ=,∴223234b a a b =-,解得223a b = ∴22123113b e a =++15. 如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ,D 、E 、F 为元O上的点,DBC △,ECA △,FAB △分别是一BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起DBC △,ECA △,FAB △,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当ABC △的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:3cm )的最大值为_______.【答案】415【解析】由题,连接OD ,交BC 与点G ,由题,OD BC ⊥3OG =,即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =,则23BC x =,5DG x =-三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x =--+-=-2132ABC S x =⋅=△,则213ABC V S h =⋅=△令()452510f x x x =-,5(0,)2x ∈,()3410050f x x x '=-令()0f x '>,即4320x x -<,2x <,则()()280f x f =≤ 则45V =, ∴体积最大值为3三、 解答题:共70分。