第十五章--波动光学
大学物理波动光学一PPT课件
超快光谱技术
介绍超快光谱技术的原理、方法及应 用，如泵浦-探测技术、时间分辨光谱 技术等。
超短脉冲激光技术
详细介绍超短脉冲激光技术的原理、 实现方法及应用领域，如飞秒激光技 术、阿秒激光技术等。
未来光学技术挑战和机遇
光学技术的挑战
阐述当前光学技术面临 的挑战，如光学器件的 微型化、集成化、高性 能化等。
大学物理波动光学一 PPT课件
目录
• 波动光学基本概念与原理 • 干涉原理及应用 • 衍射原理及应用 • 偏振现象与物质性质研究 • 现代光学技术进展与挑战
01
波动光学基本概念与原理
光波性质及描述方法
光波是一种电磁波，具有波动性 质，可以用振幅、频率、波长等
物理量来描述。
光波在真空中的传播速度最快， 且在不同介质中传播速度不同。
01
02
03
04
摄影
利用偏振滤镜消除反射光和散 射光，提高照片清晰度和色彩
饱和度。
液晶显示
利用液晶分子的旋光性控制偏 振光的透射和反射，实现图像
显示。
光学仪器
如偏振光显微镜、偏振光谱仪 等，利用偏振光的特性进行物
质分析和检测。
其他领域
如生物医学、材料科学、环境 科学等，利用偏振光的特性进
行研究和应用。
01
牛顿环实验装置与步骤
介绍牛顿环实验的基本装置和操作步骤，包括凸透镜、平面镜、光源等
。
02
牛顿环测量光学表面反射相移
阐述如何通过牛顿环实验测量光学表面反射相移的原理和方法。
03
等厚干涉原理及应用
探讨等厚干涉的基本原理，以及其在光学测量和光学器件设计中的应用
。
多光束干涉及其应用
四川师范大学大学物理波动光学(13、14、15章)题解
第十三章 光的干涉13–1 在双缝干涉实验中，两缝分别被折射率为n 1和n 2的透明薄膜遮盖，二者的厚度均为e ，波长为λ的平行单色光垂直照射到双缝上，在屏中央处，两束相干光的位相差 。
解：加入透明薄膜后，两束相干光的光程差为n 1e –n 2e ，则位相差为e n n e n e n )(2)(22121-=-=∆λλλλφ13–2 如图13-1所示，波长为λ的平行单色光垂直照射到两个劈尖上，两劈尖角分别为21θθ和，折射率分别为n 1和n 2，若二者分别形成的干涉条纹的明条纹间距相等，则21,θθ，n 1和n 2之间的关系是 。
解：劈尖薄膜干涉明条纹间距为θλθλn n L 2sin 2≈=（ 很小） 两劈尖干涉明条纹间距相等221122θλθλn n =，所以 2211θθn n =或1221n n =θθ13–3 用一定波长的单色光进行双缝干涉实验时，欲使屏上的干涉条纹间距变大，可采用的方法是： ； 。
解：因为干涉条纹的间距与两缝间距成反比，与屏与双缝之间的距离成正比。
故填“使两缝间距变小；使屏与双缝之间的距离变大。
”13–4 用波长为λ的单色光垂直照射如图13-2示的劈尖膜（n 1＞n 2＞n 3），观察反射光干涉，从劈尖顶开始算起，第2条明条纹中心所对应的膜厚度e = 。
解：劈尖干涉（n 1＞n 2＞n 3）从n 1射向n 2时无半波损失，产生明条纹的条件为2n 2e = k ，k = 0,1,2,3…在e = 0时，两相干光相差为0，形成明纹。
第2条明条纹中心所对应的膜厚度为k = 1，即2n 2e = ，则22n e λ=。
13–5 若在迈克耳孙干涉仪的可动反射镜移动0.620mm 的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，则所用光波的波长为 。
解：设迈克耳孙干涉仪空气膜厚度变化为e ，对应于可动反射镜的移动，干涉条纹每移动一条，厚度变化2λ，现移动2300条，厚度变化mm 620.022300=⨯=λ∆e ，则 = 。
2024年大学物理波动光学-(带目录)
大学物理波动光学-(带目录)大学物理波动光学摘要：波动光学是大学物理课程中重要的组成部分，主要研究光的波动性质及其在介质中的传播规律。
本文主要介绍了波动光学的基本概念、波动方程、干涉现象、衍射现象、偏振现象以及光学仪器等，旨在为读者提供系统的波动光学知识，为进一步学习和研究打下基础。
一、引言波动光学是研究光波在传播过程中所表现出的波动性质的科学。
光波是一种电磁波，具有波动性、粒子性和量子性。
波动光学主要关注光的波动性质，研究光波在介质中的传播、反射、折射、干涉、衍射、偏振等现象。
波动光学在科学技术、工程应用、日常生活等领域具有广泛的应用，如光纤通信、激光技术、光学仪器等。
二、波动方程波动方程是描述波动现象的基本方程。
光波在真空中的传播速度为c，介质中的传播速度为v。
波动方程可以表示为：∇^2E(1/c^2)∂^2E/∂t^2=0其中，E表示电场强度，∇^2表示拉普拉斯算子，t表示时间。
该方程描述了光波在空间和时间上的传播规律。
三、干涉现象1.极化干涉：当两束相干光波在空间某点相遇时，它们的电场矢量方向相同，相互加强，形成明条纹；当电场矢量方向相反，相互抵消，形成暗条纹。
2.非极化干涉：当两束相干光波在空间某点相遇时，它们的电场矢量方向垂直，相互叠加，形成干涉条纹。
四、衍射现象衍射现象是光波传播过程中遇到障碍物或通过狭缝时产生的现象。
衍射现象的本质是光波的传播方向发生改变，使得光波在空间中形成干涉图样。
衍射现象可以分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射两种：1.菲涅耳衍射：当光波通过狭缝或障碍物时，光波在衍射角较小的情况下发生的衍射现象。
菲涅耳衍射的衍射图样与狭缝或障碍物的形状、大小以及光波的波长有关。
2.夫琅禾费衍射：当光波通过狭缝或障碍物时，光波在衍射角较大的情况下发生的衍射现象。
夫琅禾费衍射的衍射图样与狭缝或障碍物的形状、大小以及光波的波长有关。
五、偏振现象偏振现象是光波在传播过程中，电场矢量在空间某一方向上振动的现象。
大学物理物理学波动光学PPT课件
一束光分解为振动面垂直的两束光。
S2
E
2、杨氏双缝干涉实验装置
1801年，杨氏巧妙地设计了一种把单个波阵面分解为两个 波阵面以锁定两个光源之间的相位差的方法来研究光的干涉现 象。杨氏用叠加原理解释了干涉现象，在历史上第一次测定了 光的波长，为光的波动学说的确立奠定了基础。
3、双缝干涉的光程差
两光波在P点的光程差为 = r2-r1
?人的眼睛不能区分自然光与偏振光用于鉴别光的偏振状态的器件称为检偏器2偏振片是一种人工膜片对不同方向的光振动有选择吸收的性能从而使膜片中有一个特殊的方向当一束自然光射到膜片上时与此方向垂直的光振动分量完全被吸收只让平行于该方向的光振动分量通过即只允许沿某一特定方向的光通过的光学器件叫做偏振片
绪言
一、光学的研究内容 二、光的两种学说
薄膜干涉属于分振幅法
1、等倾干涉：
实验装置
在空气（或真空）中放入上
下表面平行，厚度为 e 的均 匀介质 n
光a与光 b的光程差为：
n(AB BC) (AD / 2)
光a有半波损失。
a
iD
b
n
A r
C e
B
由折射定律和几何关系可得出：
sin i nsin
AD ACsin i AC 2e tan n AB BC e / cos 代入 n(AB BC) (AD / 2)
光的干涉和衍射现象表明了光的波动性， 而光的偏振现象则显示了光是横波。光波作为 一种电磁波也包含两种矢量的振动，即电矢量 E和磁矢量H，引起感光作用和生理作用的是其 中的电矢量E，所以通常把E矢量称为光矢量， 把E振动称为光振动。
§8－1 光波及其相干条件
一、光波
1．光波的概念：
波动光学
p O
§2.单缝衍射 单缝衍射 一.实验装置 二.衍射条纹 衍射条纹 明纹等间距
I
2.平行光会聚在 的焦平 平行光会聚在L的焦平 平行光会聚在 面上.平行于主光轴的光 面上 平行于主光轴的光 会聚在O点 平行于副光轴 会聚在 点,平行于副光轴 的光会聚于P点 的光会聚于 点. 3.各子波在 点光程相 各子波在O点光程相 各子波在 点为亮条纹(中 同,故O点为亮条纹 中 故 点为亮条纹 央明纹). 央明纹
a sinθ = 0
(3)暗纹条件 暗纹条件: 暗纹条件 a sinθ = ±kλ，k = 1,2,3… 明纹中心条件: 明纹中心条件 λ a sinθ = ±(2k′ +1) ， 2 k′ =1 2,3… , 中央明纹中心: 中央明纹中心
a sinθ = 0
注:上述暗纹和中央明纹 中心)位置是准确的， (中心)位置是准确的， 其余明纹中心的位置较 上稍有偏离. 上稍有偏离. (4)中央明纹的角宽度 两 中央明纹的角宽度(两 中央明纹的角宽度 旁第一暗纹对应的角度) 旁第一暗纹对应的角度
1 2 1′ ′ 2′ ′
半波带 半波带
θ
a B 半波带 半波带 A
1 2 1′ ′ 2′ ′
把光程差δ分为的半波长 把光程差 分为的半波长 λ/2倍数进行分析 倍数进行分析. 倍数进行分析 a a sinθ = λ 时，可将缝分 两个“半波带” 为两个“半波带”
λ/2
两个“ 半波带” 两个 “ 半波带 ” 上发的 光在 P处干涉相消形成暗 3 . 当 a sinθ = 2 λ 可将缝分成三个“ 时 ， 可将缝分成三个 “ 半波带” 半波带”
缝较大时， 缝较大时，光是直线传 播的
惠更斯——菲涅耳原理 二. 惠更斯 菲涅耳原理 表述: 表述 : 波传到的任何一点 都可看作发射子波的波源, 都可看作发射子波的波源, 从同一波阵面上各点发射 的子波在空间某点相遇而 的子波在空间某点相遇而 相干叠加, 相干叠加,决定该点波的光强 . n
波 动 光 学
波动光学
三、 光的干涉
两个普通光源或者同一光源的不同部分发出的光 是不满足相干条件的.近代发展起来的激光光源是一种 受激辐射，光源中的各个原子或分子能发出振动方向 相同，频率相同，初相位一致的光波列，使得来自两 个独立的激光光源或同一激光光源上不同部分的光有 可能相干.按照波的叠加原理，当两列波在空间相遇时 发生干涉现象需满足振动频率相同，振动方向相同,相 位相同或相位差恒定.
一、 光波 1. 光波的概念
波动光学
光波是电磁波的一部分，仅占电磁波谱很小的一部分，它与无线 电波、X射线等其他电磁波的区别只是频率不同，能够引起人眼视觉 的那部分电磁波称为可见光.
光源发出的频率为1022～1026Hz的电磁波泛称为光.光包括红外 光、可见光和紫外光三部分.可见光的频率为3.9×1014~7.5×1014Hz. 在可见光范围内，不同频率的光将引起不同的颜色感觉，下表为各光 色与频率（或真空中波长）的对照，光在波长从小到大过程中呈现出 由紫到红等各种颜色.
波动光学
二、 光源
波动光学
大量原子受外来激励会处于激发状态.处于激发状态的原子是不稳定 的，它要自发地向低能级状态跃迁，并同时向外辐射电磁波. 由于原子发 光的无规则性，同一个原子先后发出的波列之间及不同原子发出的波列 之间都没有固定的相位关系，且振动方向和频率也不尽相同，这就决定 了两个独立的普通光源发出的光不是相干光，因而不能产生干涉现象， 如图13- 1（a）所示.图13- 1（b）所示为波列的叠加，两个独立光源中 原子1和原子2各自发出一系列的波列，当它们到达P点时，因为不符合相 干条件，所以不会产生干涉.故两个独立的光源不能构成相干光源，不仅 如此，即使是同一个光源上不同部分发出的光，也不会产生干涉.
15波动光学
第十五章波动光学(Wave Optics)光学研究光的传播、本性以及它和其他物质相互作用。
几何光学：以光的直线传播规律为基础，主要研究各种成像光学仪器的理论波动光学：研究光的电磁性质和传播规律，特别是干涉、衍射和偏振的理论量子光学：以光的量子理论为基础，研究光与物质相互作用的规律重点：(1)相干光的获得、相干条件、光程、透镜、半波损失；(2)杨氏双缝干涉（相干条件、条纹特点）；(3)等倾干涉、薄膜干涉（相干条件）；(4)等厚干涉、劈尖（相干条件、条纹特点）、牛顿环（相干条件、圆环半径）、迈克尔逊干涉仪、一些应用；(5)菲涅耳半波带法、单缝衍射（衍射公式、条纹特点）；(6)圆孔衍射（艾里斑半角宽度）、光学仪器的分辨率、最小分辨角；(7)衍射光栅的光栅方程、缺级、光谱的宽度；(8)光的偏振状态（自然光、线偏光、部分偏振光）、偏振片的起偏与检偏、马吕斯定律(9)反射光和折射光的偏振、布儒斯特定律(10)双折射§15—1 相干光 一、相干波1．相干波源：频率相同、振动方向相同、位相差恒定 干涉现象：两列相干波相遇时，某些地方始终振动加强，另一些地方始终振动减弱的现象。
2．P 点的振动是两个同方向同频率简谐振动的叠加由简谐振动的矢量表示法可知，合振动的振幅与两个分振动的位相差有关πϕk 2±=∆),2,1,0( =k 时，A 最大 干涉相长 πϕ)12(+±=∆k ),2,1,0( =k 时，A 最小 干涉相消由波函数)2c o s (])(c o s [ϕλπωϕω+-=+-=r t A u r t A y 可得，P 点的两分振动的相位差为：)(21212r r ---=∆λπϕϕϕ如果两相干波源的初相位相等21ϕϕ=，相干条件简化为： 波程差12r r r -=∆λk r ±=∆),2,1,0( =k 相长 2)12(λ+±=∆k r ),2,1,0( =k 相消二、相干光 1．光是一种电磁波电磁波是横波，E 、H都与传播方向垂直对人眼、感光仪器起作用的是E 矢量，因此E 矢量称为光矢量，E矢量的振1S 2S P1r 2r动称为光振动。
波动光学
Contents
波动光学
光的干涉
光的衍射
光的偏振
杨氏实验
薄膜干涉
单缝衍射
圆孔衍射
衍射光栅
偏振态
双折射
旋光性
光的干涉 Optical interference
一、波的基本性质
二、光程和光程差
三、杨氏实验
四、洛埃镜
五、薄膜干涉
一、 波的基本性质
The basic nature of the wave
这些条纹都与狭缝平行，条纹间的距离彼此相等.
光的干涉示意图
2、实验分析
屏 P
Experimental Analysis
S1 S
r1
Ө
x
r2
d
ΔL
S2
L
x L r2 r1 d sin d L
3、实验结论Experimental results
明纹
S1
●
P
o
●
S
O
0
S2
I
d:两狭缝的距离
杨氏实验
Young's Experiment
1、实验描述 2、实验分析
3、实验结论
1、实验描述
杨氏实验的前提条件：获得两束相干波源 任何两个独立光源都不是相干光源 同一光源不同部分发出的光波
能级跃迁辐射
E2
Experiment description
波列
= (E2-E1)/h
E1 波列长L
这表示干涉条纹整体向下平移了10mm.
四、洛埃镜
Lauer Mirror
一个光源直接发出的光和它在平面镜上反射的光构 成相干光源，能在屏上产生明暗相间的干涉条纹。
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第十五章 波动光学一、基本要求1．了解获得相干光的方法。
掌握光程的概念以及光程差和相位差的关系。
能分析、确定杨氏双缝干涉条纹及薄膜等厚干涉条纹的位置，了解迈克尔逊干涉仪的工作原理。
2．了解惠更斯—菲涅耳原理。
理解分析单缝夫琅禾费衍射暗纹分布规律的方法。
会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。
3．理解光栅衍射公式和基本应用。
4．理解自然光和偏振光。
理解布儒斯特定律及马吕斯定律，了解双折射现象，了解偏振光的获得方法和检验方法。
二、本章要点1．双缝干涉明暗条纹的位置),2,1,0212 =⎪⎩⎪⎨⎧+±±=k k dD k d D x （暗明λλ相邻明（暗）纹之间的间距 λdD x =∆ 2．光程和光程差 光程nr =光程差1122r n r n -=δ3．薄膜等厚干涉（1）劈尖⎪⎩⎪⎨⎧-=+=暗纹明纹λλλδ21222k k ne k ),3,2,1( =k 两相邻明（暗）纹对应的薄膜厚度差为n e e e k k 21λ=-=∆+（2）牛顿环 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=暗纹明纹λλλδ21222k k e k ),3,2,1( =k 利用牛顿环实验可以测量透镜的半径R 。
4．薄膜等倾干涉⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=暗明λλλδ2122sin 222122k k i n n e ),3,2,1( =k当入射光垂直入射时，有⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=暗明反λλλδ212222k k e n ),3,2,1( =k 5．夫琅禾费单缝衍射⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+±±=)(2120sin 近似明纹暗纹中央明纹λλθk k a ),3,2,1( =k中央亮纹宽度 λaf x 20=∆ 其它各级明纹的宽度 λaf x =∆ 6．光栅衍射明纹满足光栅方程 λθk b a ±=+sin )( ),3,2,1,0( =k当满足光栅方程的明纹与单缝衍射的暗纹重合时，出现缺级现象。
7．光的偏振（1）利用偏振片产生偏振光自然光通过偏振偏后变成偏振光，且光强减半。
马吕斯定理α20cos I I =（2）反射和折射时光的偏振自然光照射媒质界面时，可把它分解成平行于入射面的光振动和垂直于入射面的光振动。
它们在界面反射和折射的程度是不同的，所以反射光和折射光都是部分偏振光。
实验发现，反射光中的垂直振动多于平行振动，折射光中的平行振动多于垂直振动。
布儒斯特定律：当入射角满足120n n tgi =时，反射光变成线偏振光，且光矢量垂直入射面。
（3）光的双折射现象 当光射向各向同性媒质时，折射光只有一条。
但当光射向各向异性介质时，折射光分成两束，叫双折射现象。
两束折射光线分别叫做寻常光（o 光）和非常光（e 光）。
o 光和e 光都是线偏振光。
o 光的光矢量垂直于它的主平面，e 光的光矢量平行于它的主平面。
三、例题15-1 频率为ν的单色光在一媒质中的波速为u ，如果光在此媒质中传播了距L ，则相位改变了u L /2πν。
解：位相改变u L u L t /2/πνωωϕ==∆=∆15-2 两束强度都为I 的相干光在空间叠加后，最大光强处的光强是I 的4倍。
解：两束光叠加后的合光强为ϕ∆++=cos 22121I I I I I 合最大光强处，πϕk 2=∆，1cos =∆ϕ，考虑到I I I ==21，所以最大光强为I I 4=合15-3 真空中两个相干点光源1S 和2S 的初相相同，光波波长为λ，,11d P S =22d P S =，若1d 与2d 分别在折射率为1n 与2n 的媒质中，则在Ｐ点的相位差为λπ/)(22211d n d n -。
若在P S 2中再插入一片折射率为n 、厚度为x 的透明薄片，则1S 和2S 到Ｐ点的光程差是11222)(d n x n n d n --+=δ。
解：两束光到达Ｐ点的相位差λπλδπϕ221122d n d n -==∆ 插入薄片后，两束光到达Ｐ点的 11222)(d n x n n d n --+=δ15-4 做杨氏双缝实验，第一次在空气中进行，第二次在折射率为n 的水中进行。
其它条件不变，与前者相比，后者的条纹将变密（填变疏，变密，或不变）。
后者相邻明条纹间距是前者的n /1倍。
15-5 杨氏双缝实验装置中，在双缝的中垂面上放一平面镜Ｍ，如图所示。
此时屏上干涉情况与原来双缝干涉比较，有两点不同，即在平面镜以下没有干涉条纹和明暗条纹位置相反（因为有位相突变）。
15-6 一束平行单色光垂直照射到两狭缝21S S 所在的平面上。
现先后用折射率为1n 和2n 的两块等厚薄透明介质覆盖1S 缝，发现原先中央明纹处分别成为第5级和第7级暗纹，则1n ＜2n 。
（填＜或＞或=）解：在双缝干涉条纹中，暗纹位置在ndD k x 2)12(λ-=处，同一位置x 处，条纹级数越高，n 也越大。
15-7 汞弧灯发出的光通过一块绿色滤光片后，垂直照射到相距mm 60.0的双缝上，在距双缝m 5.2远处的屏幕上出现干涉条纹。
现测得屏上第二级和零级两明条纹中心的距离为mm 54.4，求入射光的波长。
解：明纹位置满足λθδk D x d tg d r r =⋅=⋅=-=12 λdD k x ⋅= 由题意可知，当mm x k 54.4,2==，所以波长为)(8.544105.2260.054.43nm kD xd =⨯⨯⨯==λ 15-8 在双缝实验中用一块很薄的云母片（58.1=n ）覆盖其中的一条缝。
这时屏幕上的第五级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明条纹的位置。
如果垂直入射光的波长为nm 550，求这块云母片的厚度。
解：设云母片的厚度为e ，则有λ5)1(=-e n)(1074.4158.15505153nm n e ⨯=-⨯=-=λ 15-9 在双缝实验中用nm 440和nm 550两种波长的平行光垂直照射双缝装置，两缝相距mm 4.0，屏到双缝的距离为m 3，求两光的明条纹第一次重迭处（中央明纹除外）到屏中心（中央明纹）的距离。
解：两光的明条纹重叠时满足2211sin λλθk k d ==所以=====810454405501221λλk k 第一次重叠时，51=k ，42=k ，所以11λk D x d= mm nm k d D x 5.16)(1065.144054.03000711=⨯=⨯⨯==λ 15-10 如图所示，在洛埃镜实验中，狭缝光源S 和它的虚光源S '在镜左端之左边cm 20，并处于同一平面内，镜长cm 20，在镜的右边边缘处放置一毛玻璃光屏。
如S 到镜面的垂直距离为mm 0.2，使用波长为m 7102.7-⨯的红光。
求第二条明纹的中心到镜面右边缘的距离。
解：洛埃镜与杨氏双缝试验类似。
由题意可知，双缝间距mm d 0.4=，光源到屏的距离cm D 50=，入射光波长m 7102.7-⨯=λ。
屏上形成明纹的条件是光程差满足λλλθδk D x d d =+⋅=+=22sin 所以，第二条明纹的中心到镜面右边缘的距离()()m d D k x 43271035.1100.421050102.7122212----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=-=λ15-11 一折射率为2n 、厚度为e 的透明均匀薄膜，两侧媒质折射率为1n 与3n ，且1n ＞2n ＞3n 。
一束波长为λ的单色平行光从折射率为1n 的媒质中垂直照射在薄膜上，则发生干涉的两束透射光的光程差等于2/22λ+e n 。
15-12 折射率5.11=n 的玻璃上有一层折射率8.12=n 的薄膜，波长为λ的单色光垂直从空气照到薄膜上，要使尽可能多的能量透过薄膜，薄膜的最小厚度应为6.3/λ。
解：透射光加强时满足2=δλk e n =2 22n k e λ=当1=k 时，膜最薄，此时膜厚为 6.38.1222min λλλ=⨯==n e15-13 在棱镜（52.11=n ）表面涂一层增透膜（30.12=n ），为使该增透膜适用于nm 600波长的光垂直照射，膜的厚度至少应为多少？解：由于是增透膜，所以透射光加强。
有λλk e n =+222 λ22)2/1(n k e -= 当1=k 时，膜最薄，此时膜厚为)(4.11530.1460042min nm n e =⨯==λ15-14 一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上，所用光源的波长可以连续变化，只观察到nm 5001=λ和nm 7002=λ这两个波长的光在反射中消失。
油的折射率为30.1=n ，玻璃的折射率为50.11=n ，试求油膜的厚度。
解法一：因为1λ和2λ这两个波长的光在反射中消失，所以22112122122λλ+=+=k k ne 因为21λλ<，所以21k k >，即121+≥k k 。
令221+=k k ，则在1k 和2k 之间还存在另一个整数1121+=-=k k k ，满足λ2122+=k ne 式中的λ处于1λ和2λ之间，满足干涉极小。
显然这与题意矛盾，所以必有121+=k k 。
考虑到2/)12(2/)12(2211λλ+=+k k ，得31=k 22=k所以膜厚为)(1.67350030.1413241211nm n k e =⨯⨯+⨯=+=λ 解法二：由题意得 22112122122λλ+=+=k k ne 5712121221==++λλk k 因为121+k 和122+k 均为奇数，所以它们可能的取值为=+121k 7、21、35··· =+122k 5、15、25···又因为在nm 500和nm 700之间没有其它的干涉极小，所以121+k 和122+k 之间没有奇数，因此7121=+k ，5122=+k ，即31=k 22=k故)(1.67350030.1413241211nm n k e =⨯⨯+⨯=+=λ 15-15 在光学冷加工车间中经常用牛顿环快速检测工件（透镜）表面曲率是否合格。
作法如下：将标准件（玻璃验规）覆盖在待测工件之上，若工件曲率不合格，则两者形成空气膜(如图)，因而出现牛顿环。
若下压验规时，光圈扩大，则表示透镜曲率偏大（填“偏大”或“偏小”）。
解：若工件曲率偏大（即曲率半径偏小小），则牛顿环中心为暗斑，下压玻璃验规时，二者之间的空气膜厚度减小，要使相邻两条纹对应的空气膜厚度之差保持不变，条纹必须向外扩大。
若工件曲率偏小（即曲率半径偏大），则牛顿环中心明暗不确定，但最外一圈一定是暗环，下压玻璃验规时，二者之间的空气膜厚度减小，要使相邻两条纹对应的空气膜厚度之差保持不变，条纹必须向内缩小。
15-16 波长λ为的单色光从上面垂直照射如图装置，反射光的干涉图样如图上方所示，则模具与透镜表面间的气隙厚度不会超过（Ａ）。