控制系统的时域数学模型
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2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第1讲 控制系统的时域数学模型
例.试列出图示弹簧-阻尼器-质量的机械位移系统的 运动方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
F m f
k
x
解：图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，K为弹性系数。先对 质量块进行受力分析，然后 根据牛顿定理，可列出该系 统的微分方程如下：
m x f x Kx F
x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和K的单位分别为： , N .s / m, N / m kg
例：在例2-8中，若已知 L 1H , C 1F , R 1 ，且电容上初始电 u0 (0) 0.1 i0 ( 1A 压 ，初始电流 V ，电源电压0) 0.。试求电 路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 ui (t ) 1V u0 (t ) 解：在前例中已求得网络微分方程：
令 x x x0 K ( df ( x) / dx) x0
y Kx
略去增量符号
y f (x)
y Kx
K (df ( x) / dx) x0 是比例系数，是函数f ( x)在A点的切线斜率。
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作 状态是可行的。原因：
自动控制系统在正常情况下都处于稳定的工作状 态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致， 控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望 值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减 小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏 差一般不会很大，只是“小偏差”。 在建立控制系统数学模型时，通常是将系统的 稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运 动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输 入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程 所描述的系统特性。
y
y0
df dx x0 y f (x)
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（1） 确定输入和输出量 （2） 依据定律列写原始方程
（3） 消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。
例题：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
ui 输入
uo 输出
由②：i C d，uo dt
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
➢ 拉氏变换求解法：
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表
达式，即为所求微分方程的解。
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程；
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
w Mc
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是w ，输入量是ug，扰动量是 M c
fx
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图
mx 和质量块受力分析图。图中，m为质量，
图1
图2
f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
d2x m dt2
F
f
dx dt
kx
整理得
d2x m dt2
f
dx dt
kx
F
这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
②
代入①得：
LC
d 2uo dt2
RC
duo dt
uo
ui
控制系统的微分方程
例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程
La ua ia
Ra
wm Jm fm
Ea SM
负载
MC
取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出 是转速w
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：kg、N s / m、N / m
二、控制系统微分方程的建立
1、步骤
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
wm
(t)
1 Ce
ua
(t)
例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在 输入量为外力F，输出量为位移x。
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和
Fk
F k x 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何
相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸
m
m
收系统的能量并转变为热量而散失掉。
f
x
,
K1
R2 R1
u2
K 2 (
du1 dt
u1)
,
R1C ,
K2
R2 R1
ua K3u2
直流电动机
Tm
dw m dt
wm
Kmua
KC M C
减速器（齿轮系）
w
1 i
w
m
测速发电机
ut Ktw
消去中间变量
ut u1 u2 ua wm
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm
(iTm
K1K2K3Km Kt )
(i
K1K2K3Km Kt
)
K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt ) K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt )
三、线性定常微分方程的求解 ➢ 直接求解法：通解+特解
状态响应）
自由解+强迫解（零输入响应+零
dt
(Ra
fm
CmCe )wm (t)
Cmua
(t)
La
dM C dt
(t)
Ra M C
(t)
Ra
La J m fm CmCe
d 2wm (t)
dt2
La Ra
fm fm
Ra Jm CmCe
dwm (t)
dt
wm (t)
Ra
Cm fm CmCe
ua (t)
Ra
La fm CmCe
dMC (t) dt
u ⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ 1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc w
电动机
-
uf
测速
系统输出w 系统输入参考量 u g
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、 功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1 运放2 功放
u1 K1 (u g u f ) K1ue
ua
(t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dwm (t)
dt
fmwm (t)
Mm
M C (t)
若以角速度w m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
La J m
d 2wm (t)
dt 2
(La
fm
Ra J m )
dwm (t)
TL
La Ra
,
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dwm (t)
dt
wm (t)
K1ua
(t)
K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽 略不计，则上式可进一步简化
数学模型表示方法
时域模型
数学模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统的数学模型方法有分析法 （机理建模法）和实验法（系统辨识）。
分析法是根据系统各部分的运动机理进行 分析，列写相应的运动方程。
实验法是给系统施加测试信号，记录其输 出响应。
2-1 控制系统的时域数学模型
二、线性M C (t)
TLTm
d 2wm (t)
dt2
(TL
Ra
Ra fm fm CmCe
Tm
)
dwm (t
dt
)
wm (t)
K1ua
(t)
K3
dMC dt
(t)
K2M
C
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K1 Cm (Ra fm CmCe ) K2 Ra (Ra fm CmCe ) , K3 La (Ra fm CmCe ) ,
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 2-4 控制系统的信号流图
数学模型是描述系统内部物理量(或变 量)之间关系的数学表达式。 数学模型可 以有多种形式。在经典理论中，常用的数 学模型是微（差）分方程、传递函数、结 构图、信号流图、频率特性等；在现代控 制理论中，采用的是状态空间表达式。结 构图、信号流图、状态图是数学模型的图 形表达形式。
（3） 消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。
例题：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
ui 输入
uo 输出
由②：i C d，uo dt
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
➢ 拉氏变换求解法：
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表
达式，即为所求微分方程的解。
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程；
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
w Mc
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是w ，输入量是ug，扰动量是 M c
fx
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图
mx 和质量块受力分析图。图中，m为质量，
图1
图2
f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
d2x m dt2
F
f
dx dt
kx
整理得
d2x m dt2
f
dx dt
kx
F
这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
②
代入①得：
LC
d 2uo dt2
RC
duo dt
uo
ui
控制系统的微分方程
例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程
La ua ia
Ra
wm Jm fm
Ea SM
负载
MC
取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出 是转速w
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：kg、N s / m、N / m
二、控制系统微分方程的建立
1、步骤
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
wm
(t)
1 Ce
ua
(t)
例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在 输入量为外力F，输出量为位移x。
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和
Fk
F k x 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何
相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸
m
m
收系统的能量并转变为热量而散失掉。
f
x
,
K1
R2 R1
u2
K 2 (
du1 dt
u1)
,
R1C ,
K2
R2 R1
ua K3u2
直流电动机
Tm
dw m dt
wm
Kmua
KC M C
减速器（齿轮系）
w
1 i
w
m
测速发电机
ut Ktw
消去中间变量
ut u1 u2 ua wm
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm
(iTm
K1K2K3Km Kt )
(i
K1K2K3Km Kt
)
K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt ) K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt )
三、线性定常微分方程的求解 ➢ 直接求解法：通解+特解
状态响应）
自由解+强迫解（零输入响应+零
dt
(Ra
fm
CmCe )wm (t)
Cmua
(t)
La
dM C dt
(t)
Ra M C
(t)
Ra
La J m fm CmCe
d 2wm (t)
dt2
La Ra
fm fm
Ra Jm CmCe
dwm (t)
dt
wm (t)
Ra
Cm fm CmCe
ua (t)
Ra
La fm CmCe
dMC (t) dt
u ⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ 1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc w
电动机
-
uf
测速
系统输出w 系统输入参考量 u g
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、 功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1 运放2 功放
u1 K1 (u g u f ) K1ue
ua
(t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dwm (t)
dt
fmwm (t)
Mm
M C (t)
若以角速度w m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
La J m
d 2wm (t)
dt 2
(La
fm
Ra J m )
dwm (t)
TL
La Ra
,
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dwm (t)
dt
wm (t)
K1ua
(t)
K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽 略不计，则上式可进一步简化
数学模型表示方法
时域模型
数学模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统的数学模型方法有分析法 （机理建模法）和实验法（系统辨识）。
分析法是根据系统各部分的运动机理进行 分析，列写相应的运动方程。
实验法是给系统施加测试信号，记录其输 出响应。
2-1 控制系统的时域数学模型
二、线性M C (t)
TLTm
d 2wm (t)
dt2
(TL
Ra
Ra fm fm CmCe
Tm
)
dwm (t
dt
)
wm (t)
K1ua
(t)
K3
dMC dt
(t)
K2M
C
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K1 Cm (Ra fm CmCe ) K2 Ra (Ra fm CmCe ) , K3 La (Ra fm CmCe ) ,
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 2-4 控制系统的信号流图
数学模型是描述系统内部物理量(或变 量)之间关系的数学表达式。 数学模型可 以有多种形式。在经典理论中，常用的数 学模型是微（差）分方程、传递函数、结 构图、信号流图、频率特性等；在现代控 制理论中，采用的是状态空间表达式。结 构图、信号流图、状态图是数学模型的图 形表达形式。