高三数学 第80课时 导数的应用教案

课题：导数的应用教学目标：1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3.会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一） 主要知识及主要方法：1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.2.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.3.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.4.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f . （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 5.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.6.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .7.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.8.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析：问题1．()1（08届云南平远一中五模）函数)(x f y =在定义域)3,23(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为.A [)3,2]1,31[ -.B ]38,34[]21,1[ - .C [)2,1]21,23[ -.D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 ()2已知32()32f x x x =-+，()0,2x ∈的反函数为1()f x -，则.A 111322f f --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .B 111322f f --⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.C 111322f f --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.D 113522f f --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3（05大连一模）设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间[]2,2-内，则b 的取值范围为()2（08届高三浙江上虞市调研）已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3，（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.问题3．（07天津）已知函数2221()1ax a f x x -+=+()x R ∈，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．问题4．（07湖北）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（Ⅱ）求证：()f x ≥()g x （0x >）．问题5．利用导数求和：()121123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（0x ≠, *x N ∈）.()212323nn nn n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（*x N ∈）.（三）课后作业：1.已知函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个2.（06郑州一中等四校联考）若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <3.求满足条件的a 的范围：()1使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是()2使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是()3使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是4.证明方程330x x c -+=在[]0,1上至多有一实根.5.（07届高三陕师大附中八模）如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上,顶点坐标为(1,, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππ .C 2[0,][,)23πππ .D 2[,]23ππ6.（08届厦门双十中学高三月考）如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于 .A 98 .B 910 .C 916 .D 9287.（06天津）函数()f x 的定义域是开区间(),a b导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个8.（08届高三哈尔滨第三中学第一次月考）函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示， 且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a9.已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+10.设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间11.（08届高三福建质检）已知函数()2()ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值．()1求实数a 的值；()2若关于x 的方程5()2f x x b =-+ 在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；()3证明：对任意的正整数n ，不等式211ln n n n n++<都成立．（四）走向高考：12.（07陕西）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()xf x f x '+≤0． 对任意正数a b ,，若a b <，则必有.A ()af b ≤()bf a .B ()bf a ≤()af b .C ()af a ≤()f b .D ()bf b ≤()f a13.(07江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()f x ≥0，则(1)(0)f f '的最小值为 .A 3 .B 52 .C 2 .D 3214.（04全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数.A 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭.B (),2ππ .C 35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()2,3ππ15.（05重庆）曲线3y x =在点3(,)a a (0)a ≠处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为16，则a =16.（01全国）已知,m n 是正整数且1m n <<，求证：()()11n mm n +>+17.（07重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中a b ，为常数．（Ⅰ）试确定a b ，的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对任意0x >，不等式2()2f x c -≥恒成立，求c 的取值范围．18.（07海南）设函数2()ln()f x x a x =++（Ⅰ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2．19.（07全国Ⅰ）设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．20.（04全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间()1,4内为减函数，在区间()6,+∞内为增函数，试求实数a 的取值范围.。