高中数学不完全归纳法证明题
数学归纳法证明不等式
例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。
那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来店铺为你整理了数学归纳法证明不等式，一起来看看吧。
数学归纳法证明不等式的基本知识数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。
在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。
数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的例如一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何n∈N+, an=(n2-5n+5)2=1都成立，那是错误的.事实上，a5=25≠1.因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。
形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：①1是一个自然数;②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.例如用数学归纳法证明(1+1)n(n∈N+)的单调性就难以实现.一般来说，n从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.数学归纳法证明不等式例题。
不完全归纳法的例子和注意事项
不完全归纳法的例子和注意事项不完全归纳法，英文名为“Incomplete Induction”，是数学中一种重要的证明方法。
它与完全归纳法相似，但证明的是比完全归纳法更广泛的结论。
在应用中，不完全归纳法也十分常用。
本文将以不完全归纳法的例子和注意事项为题，列举一下，以帮助读者更好地理解这种证明方法的应用。
1. 证明所有自然数的和公式：1+2+3+...+n=(n(n+1))/2不完全归纳法证明该公式的基本思路如下：先证明当n=1时公式成立，然后假设当n=k时公式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2，接着证明当n=k+1时公式也成立。
2. 证明对于任意正整数n，它的二进制表示中1的个数是奇数或偶数对于这个问题，不完全归纳法的证明思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k的二进制表示中1的个数是奇数或偶数。
接着证明当n=k+1时结论也成立，即k+1的二进制表示中1的个数也是奇数或偶数。
3. 证明任意正整数n都可以表示为三个整数的平方和这里的“平方和”指的是三个数的平方和。
不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k可以表示为三个整数的平方和。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
4. 证明任意正整数n都可以表示为若干个连续正整数之和不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k可以表示为若干个连续正整数之和。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
5. 证明n个点的完全图至少有一条边是跨越中心点的不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当n=3时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，即k个点的完全图至少有一条边是跨越中心点的。
接着证明当n=k+1时结论也成立。
6. 证明在一个有向图中一定存在一个点，从该点出发可以到达所有其他点不完全归纳法证明该结论的思路如下：首先证明当有向图只有一个点时结论成立，然后假设当有向图有k个点时结论成立，即存在一个点，从该点出发可以到达所有其他点。
数学归纳法
即当n=k+1时等式也成立 时等式也成立 1) + 1][2(k + 1) + 1] = 6
1 2 2 练习：证明： + 2 + ⋯ + n = n (n + 1) 1 4
3 3 3
1 例3已知数列 , 计算S1，S 2 , S 3，S 4， (3n - 2)(3n + 1) 猜想S n 表达式并证明. 过程
用数学归纳法证明： 例1.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明
1 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n( n + 1) ( n ∈ N + ) 2
用框图表示就是： 验证n=n0时命题 成立 若n=k(k≥n0)时命题成立， 证明n=k+1时命题成立
命题对从n0开始所有的 正整数都成立
用数学归纳法证明： 例1.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n + 1) (n ∈ N + ) 2 1
递推依据
6.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明
首项是a1公差是d的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d 前n项和的公式是sn=na1+ n ( n − 1 ) d
7.用数学归纳法证明：3 + 23 +…+ n3 = 1 n2 (n +1)2 用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1
(2).假设 假设n=k时命题成立 即 假设 时命题成立
1 1 1 k + +⋯+ = 1• 2 2 • 3 k • ( k + 1) k + 1
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。
典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。
例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
不完全归纳法的不合适例子
不完全归纳法的不合适例子（实用版）目录一、引言二、不完全归纳法的定义和作用三、不完全归纳法的不合适例子四、结论正文一、引言不完全归纳法是数学归纳法中的一种形式，它是由归纳法的基本思想演变而来的。
不完全归纳法的主要作用是证明一些无法通过完全归纳法证明的数学问题。
然而，不完全归纳法并非适用于所有问题，它也存在一些不合适的例子。
本文将探讨不完全归纳法的不合适例子，并分析其原因。
二、不完全归纳法的定义和作用不完全归纳法是一种证明方法，它主要分为两个部分：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是用来证明基础情况成立的，而归纳步骤则是用来证明归纳假设成立的。
不完全归纳法的主要作用是证明一些无法通过完全归纳法证明的数学问题。
三、不完全归纳法的不合适例子不完全归纳法虽然可以解决一些特殊的数学问题，但它并非适用于所有问题。
以下是不完全归纳法的一个不合适例子：问题：证明对于任意正整数 n，都有 n^2 > n。
解：我们可以通过不完全归纳法来证明这个问题。
基础步骤：当 n=1 时，1^2=1>1，成立。
归纳步骤：假设当 n=k 时，k^2>k 成立。
我们需要证明当 n=k+1 时，(k+1)^2>(k+1) 成立。
然而，这个例子并不适合使用不完全归纳法。
因为当 n=2 时，2^2=4，而 2<4，即 n^2 不一定大于 n。
因此，不完全归纳法在这个问题上并不适用。
四、结论不完全归纳法虽然可以解决一些特殊的数学问题，但它并非适用于所有问题。
对于一些特定的问题，我们需要寻找其他的证明方法。
课件2 ：2.3 数学归纳法
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
2.3 数学归纳法(1)
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明：
1）当n = 1式，a1 = a1 +(1-1)d = a1 ,结论成立
2)假设n = k式结论成立，即a k = a1 +(k -1)d ∵ a k+1 = a k + d 那么 ∴ a k+1 = a1 +(k -1)d + d = a1 + kd = a1 +[(k +1)-1]d 所以n=k+1时结论也成立 综合1）、2）知a n = a1 +(n -1)d成立.
一、归纳法：对于某类事物，由它 的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归 纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
一般
完全归纳法
特点: 由特殊
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
(n∈N*)
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立 若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
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數學歸納法的迷思
數學歸納法可說是高中數學裡最令同學納悶的一部份了，數學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟:
1、 步驟1:證明n=1時，敘述成立。
(不一定從1開始)
2、 步驟2:假設n=k 時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立
由數學歸納法得證，n 為任意自然數時都成立。
完整寫出以上2步驟，並且遇到數學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數學歸納法的最基本要求。
只是能操作數學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k 和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k 成立呢?」這是學習數學歸納法常會出現的疑問，所以再複習一下數學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數的序數理論，包含5條公理:
(1)1是一個自然數
(2)每一個自然數a 都有一個後繼元素
(3)1沒有生成元素
(4)如果a 與b 的後繼元素相等，則a=b
(5)若一個由自然數所組成的集合S 包含1，並且當S 包含某一自然數a 時，它一定也含有a 的後繼元素，則S 就包含有全體自然數。
數學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。
數學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k 成立⇒n=k+1成立(步驟2)。
就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數學歸納法的原理。
同學在學習數學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種:
(一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n n 22<，N n ∈為例:
1、 當1=n 時，1221<，成立
2、 設k n =時k k 22<成立；當1+=k n 時
1
2122)12(22)1(2222221--=--->++-⋅=+-+k k k k k k k k k k 01)2(>--=k k ⇒122)1(+<+k k ，由數學歸納法得証。
以上證明犯了很明顯的錯誤，就是01)2(>--=k k 的條件必須3≥k ，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，4,3,2=n ，均不符合，
n n 22<，N n ∈，所以本題的起始值應從n=5開始才成立。
若題目沒事先設好條件5≥n ，恐怕就會落入這樣的謬誤。
(二)證明n=k+1成立時，與假設n=k 成立完全無關
數學歸納法第二步驟假設n=k 時成立推至n=k+1時成立是ㄧ個遞推步驟，所以n=k+1成立的証明必須建立於n=k 成立的基礎上，不能單獨證明n=k+1成立，但這也是同學證明時常犯的錯誤，例如:證明19.0<(這個結論是錯的)
假設n 代表小數點後9的個數
1、 n =1時0.9<1成立
2、 設n=k 時0.999….9<1(k 個9)成立；則當n=k+1時0.999…..9<1(k+1個9)成立，
由數學歸納法得証。
以上證明所犯的錯誤就是忽略n=k 時與n=k+1時的遞推關係，上述證明並無遞推關係。
再舉另一個例子:
N n n n n ∈+≥+≥∀,52)1(,22
1、 n =2時，5229)12(2+⋅==+成立
2、 設n=k 時52)1(2+≥+k k 成立；當n=k+1時
5)1(2)11(2-+-++k k =
)2(0)1)(3(325224422≥>-+=-+=---++n k k k k k k k ，由數學歸納法得証。
以上證明結論雖然正確，但是根本不需用到數學歸納法，況且步驟2沒利用到n=k 與n=k+1之間的遞推關係，所以誤用了數學歸納法。