数学归纳法证明不等式

例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
应用数学归纳法时特别注意：
则当 n＝k＋1 时，左边＝1· [(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－ 22]＋„＋k[(k＋1)2 －k2]＋(k＋1)[(k＋1)2 －(k＋1)2]＝1· 2 (k －12)＋2(k2 －22)＋„＋k(k2 －k2)＋1· (2k＋1)＋2(2k＋1) 1 4 1 2 ＋„＋k(2k＋1)＝ k ＋－4k ＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋„＋ 4 k(2k＋1) 1 1 4 ＝4(k＋1) －4(k＋1)2.(为什么？) ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)，(2)得等式对一切的 n∈N*均成立．
[解析] 27－1 127 26 ＝ 64
1 1 1 ∵1＋ 2 ＋ 4 ＋„＋ 7－1 ＝ 2
1 1－27
1 1 ＝2－ 26 ＝ 1－2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
二、填空题 4．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝ (n＋3)(n＋4) (n∈N*)，当 n＝1 时，左边应为______． 2
a＋b＋c＝0 16a＋4b＋c＝3 81a＋9b＋c＝18
下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，由上可知等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 1(k2－ 1 4 1 2 1 )＋2(k －2 )＋„＋k(k －k )＝ k － k ， 4 4
2 2 2 2 2
[例5]
是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12) ＋2(n2－22)＋„＋n(n2－n 2)＝an4＋bn2＋c对一 切正整数n成立？证明你的结论．
先取n＝1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学 归纳法证明对一切的n∈N*，a，b，c所确定的等式都成 立．
[分析]
[解析]
分别用 n＝1,2,3 代入解方程组 1 a＝4 1 ⇒ b＝－4 c＝0
[证明]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ，右边＝ 1×3 3
1 1 ＝ ，左边＝右边，所以等式成立． 2×1＋1 3 (2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ ， 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 则当 n＝k＋1 时，
1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) (2k＋1)(2k＋3) k(2k＋3)＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 (2k＋1)(2k＋3) (2k＋1)(2k＋3) 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ . (2k＋1)(2k＋3) 2k＋3 2(k＋1)＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
[例 2]
用数学归纳法证明：
1 1 1 1 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n≥2)． 2 3 n n
[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，在 由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放 缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归 纳法证明不等式的常用技巧之一．
[证明]
1 5 1 3 1° n＝2 时，1＋22＝4<2－2＝2，命题成立． 当
练习:
1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1) ＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时， 左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3， 所以左边为1＋2＋3.故应选C.
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1 1 1 1 n 2． 用数学归纳法证明1·＋2·＋3·＋„＋ ＝ 2 3 4 n(n＋1) n＋1 (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项 是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )
三、解答题 6．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋„＋(2n－1)2＝ 1 n(4n2－1)． 3
[证明]
(1)当 n＝1 时，左边＝12＝1，
1 右边＝ ×1×(4－1)＝1，等式成立． 3 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立， 12＋32＋52＋„ 即 1 2 ＋(2k－1) ＝ k(4k2－1)． 3 则当 n＝k＋1 时，2＋32＋52＋„＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 1 1 ＝ k(4k2－1)＋(2k＋1)2 3
[解析] 1 k(k＋1)
1 1 当 n＝k 时，等式左边＝ ＋ ＋„＋ 1· 2· 2 3
1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1·＋2·＋„＋ ＋ 2 3 k(k＋1) 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 1 1 127 3．用数学归纳法证明不等式 1＋2＋4＋„＋ n－1> 64 成 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9 B．8 D．10 ( )
[解析] 当n＝1时，n＋3＝4， 所以等式左边为1＋2＋3＋4.
5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为 1·2·3·4＋2·3·4·5＋„＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)， 从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为 ________．
[解析] 当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5 ＋„＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)． 当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋„ ＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)， 所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k ＋3)(k＋4)．
[例4] 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两 点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域． [分析] 本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆 的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成 了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域 的划分的．
[证明] (1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N * )时命题成立，即k个圆将 平面分成k2－k＋2个区域．则当n＝k＋1时，第k ＋1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k ＋1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区 域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋ 1个圆将平面分成k 2－k＋2＋2k个区域，即(k＋ 1)2－(k＋1)＋2个区域，故当n＝k＋1时，命题也 成立． 由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，命题都成立．
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
例2、用数学归纳法证明: An 5n 2 3n1 1(n N * ) 能被8 整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak 5 2 3 是8的倍数. Ak 1 5k 1 2 3k 1 5(5k 2 3k 1 1) 那么: 4(3k 1 1) 5 Ak 4(3k 1 1)
2k 2
2
y
2k 2
2
x x y y
2 2k 2
2k 2k 2k
2k
x ( x y ) y ( x y ) x ( x y ) y ( x y)(x y) x2 ( x2k y 2k )、y 2k ( x y)(x y) 都能被x+y整除.
1.数学归纳法定义：
证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： 第一个值n0(n0∈N*) 时 ①(归纳奠基)证明当n取 命题成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立， ②(归纳递推)假设 证明当n＝k＋1时命题也成立 ． 只要完成这两步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。
(1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n 有关的 命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不 可．