同弧所对的圆周角相等证明
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半(怎么证明)之欧阳地创编
证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。
圆周角的定理
圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。
3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。
圆公共弦定理证明
圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
圆的十八个定理是什么
圆的十八个定理是什么定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中心活动。
扩展资料圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的'连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
圆周角6个定理
圆周角6个定理
圆周角定理是指在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
该定理也称为圆周角定理或圆心角定理。
除此之外，还有以下五个圆周角定理:
1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 相等的圆周角所对的弧也相等。
3. 半圆所对的圆周角是直角。
4. 90 度的圆周角所对的弦是直径。
5. 在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
这些圆周角定理对于解决几何问题非常有用，例如可以用同弧所对的圆周角相等来证明等腰三角形的判定定理。
圆周角定义及定理
圆周角的定义是：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
其特点可归纳为：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
这两个条件缺一不可。
圆周角定理为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
具体来说，定理有三方面的意义：
圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中；
它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧；
具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
此外，还有以下推论：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
直径(半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦为直径。
如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角定理及推论
4.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交 DC于F．求证：∠AMD=∠FMC．
3．提示：连接MB．因为AB是⊙O的直径，所以 提示： 提示 ∠AMB=∠
从而∠AMD=∠FMC．
5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一 条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F， DB交AC于G．求证：AF=FG．
2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 如图， 中 、 垂直相交于点 如图 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度 ，求证： ＋ ＝ 度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＋ ＝ ∠ ＝2∠2+2∠ABD ∠ ∠ ＝2（∠2+∠ABD） （ ∠ ） ＝2 ×900 ＝1800
3.如图，在梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°，以A为圆心 ，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点， 并交BA延长线与G，求弧BF的度数
练习
求圆中角X的度数
120° O A
.
B A
70° x
O X
.
推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，他们所对的弧一定 相等。
推论2
直径（半圆）所对的圆周角是 直角
推论3
如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三 角形是直角三角形
圆周角 定理及推论
圆周角定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
几何语言：
圆周角定理推论
E
圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
D 8 7 A 2 1 E 5 3 B 4 6 C
作图探索证明 问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过 圆心O吗？为什么？
A
E A O B C
A
B C
C
O
A
O E
B
圆周角定理的推论：
推论1 同弧或等弧所对的圆 周角相等；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆（或直径）所对的 圆周角是直角； 90°的圆周角 所对的弦是直径.
2.填空题: A (1)如图所示, ∠BAC= ∠BDC ,∠DAC=∠DBC .
B
D
C A
(2)如图所示,⊙O的直径 AB=10cm,C为⊙O上一 点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O
C
B
分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦 ,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大 小有什么关系?为什么?
A
●
O
C
D
B
2.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°, 求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
⌒ ⌒ 3.如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的 中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形.
如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径, ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
O
A C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
正弦定理证明方法
正弦定理证明方法正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2: 用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了2一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA3用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2* c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证4满意答案好评率：100%正弦定理步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半证明过程
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半证明过程好嘞，咱们来聊聊“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这个问题。
听起来可能有点晦涩，但其实就像喝水一样简单，慢慢来就好。
想象一下咱们在画一个大圆圈，哎呀，圆圈可真美啊。
然后在这个圆圈里，咱们画个两条线，把圆圈分成了几部分。
一个是圆心角，另一个就是同弧所对的圆周角。
嘿，这里就有趣了。
圆心角是从圆心出发，两条边分别指向圆的边缘，就像在做开幕式的舞蹈，真是气势磅礴。
可圆周角就不一样了，听起来可能有点小家子气，其实也不然，圆周角是那个弧的另一边的角度，位置在圆周上。
就像你在舞台上跳舞，观众在旁边看，大家都在关注那一片炫目的风景。
现在你可能会问，这俩角到底有什么关系？让我告诉你，这个关系就像兄弟情谊，亲密无间。
其实圆心角的度数是怎么来的呢？它代表的是从圆心出发，两条边所形成的夹角，数量上来说，当然是一个大数字。
可是同样的弧，如果从圆周看，就像换了个视角，结果出来的角度就成了一半。
哈哈，简直就是兄弟里的“小弟”，虽然小，但可是稳得很。
让我们再深入点，想象一下，有一条弧，这条弧把两个角连接起来。
圆心角是最大的，所有的光芒都在它身上，像是在派对上闪耀的明星。
而同弧所对的圆周角，就像是那位在后台默默奉献的小伙伴，虽然不那么显眼，但没有他，这场派对根本无法进行。
有人可能会觉得，这样的比例真是巧妙，恰到好处。
这就是大自然的规律，天衣无缝。
你知道吗，圆周上每一个角度的大小，其实都是由那个圆心的角度所决定的。
就好比说，一条路的宽度是由两边的建筑物决定的，圆心角就像是建筑物，给出了支撑。
而圆周角则是在这条路上行驶的车，虽然它只是看似在旁边，但它的方向和速度都得听命于那边的建筑，明白了吗？所以，我们再来捋一捋这个概念。
想象一把剪刀，圆心角是剪刀的两片刀刃张开的程度，而同弧所对的圆周角就像是剪刀底下的台面，稳稳地支撑着刀刃。
两者一体，缺一不可。
想象一下，若没有圆心角的支撑，圆周角就无从谈起；反之亦然，若没有圆周角，圆心角也显得苍白无力。
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同弧所对的圆周角相等证明
证明弧所对的圆周角相等：
1、定义：
(1) 圆周角：围绕一个圆心定义两个弧段对应一条切线，连接圆心点两点之间距离和圆半径之间的角度。
(2) 弧：圆上除了切线和直径之外的部分，是形状角的集合，用来计算圆周角的的重要参数。
2、证明思路：
根据上面定义，圆周角是一种形象角度，不同弧之间的圆周角大小是根据弧的长度来定的。
同台圆上的两个弧的长度是相等的，所以它们所对应的圆周角应当也是相等的。
3、数学证明：
假设给定一个圆O，\O_1 \ \& \ \O_2 两个弧组成。
弧O_1、O_2所围绕圆O的周长分别为L_1 和L_2 。
根据圆周公式，周长和圆周角大小之间的关系式为：
L_1=2 \pi r \ cos \phi_1
L_2=2 \pi r \ cos \phi_2
其中，L_1、L_2分别对应O_1、O_2的圆周角，r为圆心半径，\phi_1、\phi_2为弧O_1、O_2上所对应的圆周角。
若 L_1=L_2，则根据关系式可得：
2 \pi r \ cos \phi_1 = 2 \pi r \ cos \phi_2
可知，cos \phi_1 = cos \phi_2
再根据余弦定理，可知：
\phi_1 = \phi_2
上述，已经数学上得到证明：
当两条弧O_1、O_2 相等时，它们所对应的圆周角\phi_1与\phi_2也相等。
4、总结
已经用数学的原理证明了两个弧所对应的圆周角是相等的，即当两条弧O_1、O_2相等时，它们的圆周角也相等，即\phi_1=\phi_2。
因此，同一圆上的两个弧的圆周角是相等的，证毕。