圆周角定理的证明
直径所对圆周角为90度定理(3篇)
第1篇一、引言圆周角是圆中的重要概念之一，它是指圆周上任意两点所夹的角。
在圆中，许多性质和定理都与圆周角有关。
其中，直径所对圆周角为90度定理是圆周角性质中的重要定理之一。
本文将详细介绍该定理的定义、证明过程以及在实际问题中的应用。
二、定理内容直径所对圆周角为90度定理：设圆O中，AB为直径，P为圆上任意一点，连接AP、BP，则∠APB=90°。
三、证明过程证明一：圆内接四边形性质证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆内接四边形性质，圆内接四边形的对角互补，即∠APB+∠AOB=180°。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB+90°=180°。
（4）解得：∠APB=90°。
证明二：圆周角定理证明（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。
在圆上取一点P，连接AP、BP。
（2）证明：根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半。
（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。
代入上述等式得：∠APB=∠AOB/2=90°/2=45°。
（4）又因为∠APB是圆周角，所以∠APB=∠AOB=90°。
四、定理应用1. 圆周角定理的应用在解决与圆周角有关的问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来求解。
2. 构造圆周角在解决实际问题中，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角。
例如，在求解直角三角形中，我们可以利用圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角，进而求解直角三角形的边长。
3. 判断圆心位置在解决一些几何问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来判断圆心的位置。
例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过判断圆周角是否为90度来确定圆心的位置。
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
《圆周角定理》课件
[例2] 如图所示,已知点A,B,C为圆上三个点,且∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠CAB.
[导学探究]
由圆周角定理可得∠AOB=2∠
可得结论.
ACB
,∠BOC=2∠
CAB ,从而根据∠AOB=2∠BOC
证明:因为∠AOB 和∠ACB 对着,
所以∠AOB=2∠ACB.
因为∠BOC 和∠CAB 对着,
所以∠BOC=2∠CAB.
因为∠AOB=2∠BOC,
所以 2∠ACB=2×2∠CAB,
即∠ACB=2∠CAB.
[例3] 如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E在对角线AC上.
(1)若∠CBD=35°,∠CDB=30°,求∠BAD的度数;
[导学探究]
1.题(1)由同弧所对圆周角相等,可得∠CAD=∠
3.圆周角
第1课时
圆周角定理
一、圆周角
,并且两边都和圆 相交 的角叫做圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都 相等 ,都等于 90° (直角).
1.顶点在
圆上
二、圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
一半 .相等的圆周角所对的弧 相等
相等 ,都等于该弧所对的圆心角的
.
探究点一
直径、半圆所对的圆周角
AC= -= - =8.
因为 PE⊥AB,所以∠APE=90°.
又因为∠ACB=90°,所以∠APE=∠ACB.
又因为∠PAE=∠CAB,
所以△AEP∽△ABC.
所以 = ,
×
即 =
.
所以 PE= = .
探究点二
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。
在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。
让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。
在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。
我们使用的单位是弧度，而不是度数。
弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。
现在，我们来看一个圆周上的任意角A。
假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。
我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。
这个等式是圆周角定理的基本公式之一。
接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。
假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。
因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。
这个结论可以进一步推广到任意个角度。
假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。
这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。
圆周角定理证明
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3。
课件3：一 圆周角定理
再见
点评：当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相似．
3．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E， 求证：ABEE＝ABDC.
︵︵ 证明：由AB＝AB， 得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，即ABEE＝ABDC.
4．如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求 证∠ACB＝2∠BAC. 分析：利用圆周角定理证明． 证明：∵∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
►变式BC＝4 cm,则OD ＝__2_c_m____． 2.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD＝4,BD＝8,圆 O的半径r＝___5_____．
题型二 证明问题
例2 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证： ∠BAE＝∠DAC. 分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直 角．因此，连接BE，得到∠ABE＝90°.同时，在△ABE与 △ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论 得以证明． 证明：如图，连接BE.
一 圆周角定理
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等. 推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的 弦是直径
题型一 角、弦、弧长计算
例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB,求此弦所对 的圆周角. 解析：如图所示，
【正解】根据题意画出大致示意图如图所示，∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角，∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角． ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，∴∠D＝150°， ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°，所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点：对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一 条弦所对的圆周角应有两种情况．
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我们如何来证明圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条 弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角，
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
例题：
求圆中角X的度数
D
C 120° O X A （2）
. O
70° x
C
.
A
（1）
B
B
∴∠AOC=∠B+∠A.
A
C
●
∵OA=OB，
∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
O
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
A D O
我们可以转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●
C
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
=1 ∠COD, 2
B
∴ ∠ABC=
1 ∠AOC. 2
同样我们可以写出这个命题：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A 同样可以转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD ∴
1 =2
C B
●
O
∠AOD,∠CBD
1 = 2
∠COD,
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
我பைடு நூலகம்同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
即
A C
●
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
1 ∠ABC = ∠AOC. 2