初三数学圆周角定理及其运用

B
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
2、如图，在⊙O中，AB为直径，⌒CB = ⌒CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A C
●O
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
B C A2 B A2 C12 0 6 2 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
A C D B C D .
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2A B 2 1 0 52 (c m )
2
2
C
D
∴AB∥CD
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C1 C2
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1 ∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC =
1 ∠AOC.
2
AD C
●O
能写出这个命题吗?
B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第三种情况：如果圆心不在圆周角 的一边上,结果会怎样?
A
C
• 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
小有什么关系?
A C
A C
A C
●O
●O
●O B
B B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑第一种情况：
• 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB
A
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A ED
O
C
C
O
初三数学圆周角定理及其运用
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。 能仿照圆心角的定义，
给下图中象∠ACB 这样的角下个 定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
B A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1 ∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
பைடு நூலகம்
你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B E
O DC
• 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆 心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大
O.
X BA
B
A
B
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C G
A
O
在同圆或等圆中，如果两个
F 圆周角相等，它们所对的弧
B
E
一定相等．
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A
B
如图,
若
⌒
AC
=
⌒
BD
则 ∠ D=∠A
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
归纳：
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
在同圆或等圆中，相等的圆周 A 角所对的弧相等
·O
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x