圆周角定理及其运用
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
圆周角的定理
圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。
3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。
4 圆周角定理及其推论的应用
O
A
D
几个与圆周角相关的结论： 1.圆的内接平行四边形是矩形； 2.圆的内接梯形是 等腰梯形 ； 3.圆内两条平行弦所夹的弧 相等 ； 4.圆的内接四边形的对角互补.并且一 个外角等于它的内对角.
关于圆周角定理的训练（1）
1.OA是圆O的半径，以OA为直径的 圆C与圆O的弦AB交于点D，判断AD 与BD的关系,说明理由.
要点： 1.顶点在圆上 2.两边与圆相交
二、探索与圆周角有关的性质 1、直径所对的圆周角
如图，线段AB是⊙O 的直径，点C是⊙O上任 意一点（除点A、B） 那 A 么∠ACB就是直径AB所 对的圆周角.想想 看,∠ACB会是怎么样的 角？为什么呢？
.1.gsp
C
1 2
O
B
推论1：
直径所对的圆周角等于90°（直角） . 反过来也是成立的，即: 90°的圆周角所对的弦是直径..
三 与圆周角有关的辅助线：
过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：
构造直角三角形； 构造同弧所对的圆周角(等角)
.gs p
练习二 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,∠A= . ︵ ︵ 2．如图,在⊙O中,AB＝ AC,∠ABC＝70°.∠BOC=
3.在⊙O中,弦BC=2,∠A=30°,则⊙O的半径为 4. 在⊙O中,弦BC=2,∠A=45°,则⊙O的半径为
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°. 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°， ∴∠A＝∠DCE. B A
O
D
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们 把∠A叫做∠DCE的内对角.
画图分析几个相关的结论： 1.圆的内接平行四边形是 ； 2.圆内两条平行弦所夹的弧 ； 3.圆的内接梯形是 ；
初三数学圆周角定理及其运用
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
2、如图，在⊙O中，AB为直径，⌒CB = ⌒CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A C
●O
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
九年级数学圆周角定理
圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
圆周角定理的应用
圆周角定理的应用圆周角定理是圆中的一个非常重要的定理，通过它，我们可以在求角度、算线段等方面有所作为。
我们一起来看几例。
一、求出相关角度。
圆周角定理揭示了它和同弧所对的圆心角度数之间的关系。
例1如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为多少分析：观察图形，发现∠C和∠AOB都是AB所对的角，一个是圆周角，另一个是圆心角，根据圆周角定理可得出结论。
解：因为∠C和∠AOB都是AB所对，则∠AOB＝2∠C，得∠AOB＝68°。
评：理解定理，运用定理。
例2如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，若∠A=14°，∠E＝12°，则∠DOB的度数为多少分析：观察图形，∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧，问题可解。
解：∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧BD，所以∠DOB＝2（∠A＋∠E）＝52°。
评：寻求已知和求知之间的联系。
二、求相关线段之间的关系通过圆周角定理，可找出相关线段所在三角形中角度之间的关系，从而可进一步加以探索。
例3 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE∥BA交⊙O于E。
求证：AC＝DE。
分析：因为相等的圆周角所对的弦相等，则要证AC＝DE，只需证∠DAE ＝∠ADC。
证：连结AE、DC，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，因为DE∥BA，所以∠BAD＝∠EDA，所以∠DAC＝∠EDA，因为EC公共，所以∠EAC＝∠EDC，所以∠DAC＋∠CAE＝∠ADE＋∠EDC所以∠DAE＝∠ADC，所以AC＝DE。
评：通过寻求同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角与弦等元素之间的对应关系，寻求解题思路。
例4 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O 的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．求证：AB·AC=AD·AE分析：本题要证明的结论是“等积式”，•通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．上式可改成AB AEAD AC，则寻求△ADC∽△ABE。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的奇妙世界中，圆周角定理是一个非常重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决许多与圆相关问题的大门。
圆周角的定义首先要搞清楚。
圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
简单来说，就是一个角的两边与圆有交点，同时角的顶点也在圆上。
圆周角定理表述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这看似简单的一句话，却蕴含着丰富的数学内涵。
为了更好地理解这个定理，我们来看几个例子。
假设有一个圆，圆心为 O ，弧 AB 所对的圆心角为∠AOB ，所对的圆周角为∠ACB 。
根据圆周角定理，∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
那为什么会有这样的定理呢？我们可以通过一些推理来证明它。
首先，当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，比如圆心 O 在边 CB 上，此时∠AOB 是圆心角，因为 OA ＝ OC ，所以∠A ＝∠C ，从而得出∠AOB ＝ 2∠ACB ，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 AO 并延长交圆于点 D ，那么∠AOB 被分成了∠AOD 和∠DOB 。
因为∠AOD 对应的圆周角是∠ACD ，∠DOB 对应的圆周角是∠DBC ，且∠ACB ＝∠ACD ＋∠DBC ，所以∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 AO 并交圆于点 E ，同样可以通过类似的方法证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB 。
圆周角定理有很多重要的推论。
比如，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
这些推论在解决实际问题中非常有用。
比如说，在一个圆中，如果知道了一条弦是直径，那么马上就能得出它所对的圆周角是直角，这在求解三角形的边长、角度等问题时常常能提供关键的线索。
再比如，在一个复杂的几何图形中，如果有多个同弧或等弧所对的圆周角，那么就可以利用它们相等的关系来进行等量代换，从而简化问题的求解过程。
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
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半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． 在同圆或等圆中，相等的圆周 角所对的弧相等
A
O
·
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A
C
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） A、70°； B、110°； B C、90°； D、120°
A E D O C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 。
C O
A
B
练 习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
A
O
第二课时 应用
• 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3.90°角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
规律： 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
A
1
8 7
6
C
2 3
B
4
5
归纳：定理
定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推 论
C2 C1 C3
24.1.4
圆周角
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理 由。 P
P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?
分析:连接OA,OB,
⌒ ⌒ ∵AB=AB
∴∠C =1/2∠AOB = ∴ ∠ACB的度数等于它所 对的弧AB的度数的一半.
C
A
· O
B
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大 小有什么关系？为什么？ C
O B A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角） A 和∠BAD的大小。
O B C D
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点 F不与点A重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类 A 三角形，并说明理由。
O
·
D
F C
B
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎 样的关系？为什么？
A p Q O B
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
课本
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.