圆周角定理及推论
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
《圆周角定理的推论》课件
所以 AB 为☉O 的直径.
探究点二
圆周角定理的推论2
[例2] 如图所示,AB为☉O的直径,CF⊥AB于点E,交☉O于点D,AF交☉O于点G.求证:
∠FGD=∠ADC.
[导学探究]
1.根据圆内接四边形的性质,可得∠ACD+ ∠AGD =180°,从而可得∠FGD= ∠ACD .
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角,这一
结论在探求角的相等或互补关系时常常用到.
点击进入
训练案
BE=DE,求证:AB为☉O的直径.
[导学探究]
,则∠DAE= ∠BAE
90° .
2.欲证 AB 为☉O 的直径,可证明∠AEB=
1.连结 AE,由 BE=DE 可得=
.
证明:如图所示,连结 AE,
因为 BE=DE,
所以=.
所以∠DAE=∠BAE.
因为 AB=AC,
所以 AE⊥BC.
第2课时
圆周角定理的推论
一、圆周角定理的推论
直径
1.90°的圆周角所对的弦是
2.圆内接四边形的对角 互补 .
.
二、外接圆、内接多边形
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆叫做这个多边形的
个多边形叫做这个圆的 内接多边形 .
外接圆 ,这
探究点一
圆周角定理的推论1
[例1] 已知等腰△ABC的顶点A,B在☉O上,AC=AB,AC,BC分别交☉O于点D,点E,若
2.根据垂径定理,可得=
,则∠ADC=
∠ACD
,从而可得结论.
证明:因为四边形 ACDG 内接于☉O,
所以∠ACD+∠AGD=180°.
圆周角定理及其推论
在圆中，画一个角使其顶点在圆上， 并且两边都与圆还有另一个交点。
A A
A
A
你能仿照圆心角的定义给这个角起个名并下个定
义吗?
圆周角：顶 角点 叫在 圆圆 周上角，。两边都与圆还有另一个公共点的
圆中BC所对的圆周角与圆心角有几种位置关系？
A
O.
B
C
A
.OO
B
C
B
C
A
O.
C B
例.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD＝60°,∠ADC＝70°。求∠APC的度数．
解 ：连接BC, ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝ 90 ° ∵∠ACD＝60° ∴ ∠DCB ＝30°.
又 ∵ ∠BAD＝ ∠DCB=30° Nhomakorabea ∠APC＝∠BAD+∠ADC ＝30°+70° ＝100°．
C A OP B
D
直径条件常构造：90°的圆周角
知识内容：
圆周角定义 圆周角定理
推论1 推论2
数学思想方法： 类比思想、分类思想、划归方法等
1、习题24.3第2题、第3题． 2、《同步练习》24.3同步一
3、试找出下图中所有相等的圆周角
D
∠1=∠5
A1
87
3
2
6
54
B
C
∠2=∠6
∠3=∠7 ∠4=∠8
4、如图，AB是⊙O的直径，请问：
① ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
② 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，则 ∠AOB= 180°。
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角定理 课件
AD＝BD＝5
3 2 cm.
在 Rt△AOD 中，OD＝
OA2－AD2
＝
5 2
cm，所以
∠OAD＝30°，
所以∠AOD＝60°.
所
以
∠AOB
＝
2∠AOD
＝
120
°
，
所
以
∠ACB
＝
1 2
∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以劣弧A︵EB的度数为
︵ 120°，优弧ACB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
所以 OG∥CF.所以∠AOB＝∠FCB，(2 分) 所以∠DAO＝90°－∠AOB， ∠FBC＝90°－∠FCB，(4 分) 所以∠DAO＝∠FBC.(6 分)
(2)连接 AB，AC， 因为 BC 为直径， 所以∠BAC＝π2， 又因为 AD⊥BC， 所以∠BAD＝∠BCA，(8 分)
︵︵ 又因为AB＝AF， 所以∠ABF＝∠BCA，(9 分) 所以∠ABF＝∠BAD， 所以 AE＝BE.(10 分)
类型 2 利用定理及推论进行证明(规范解答)
[典例 2] 如图所示，BC 是半圆 O 的直径，AD⊥BC， ︵︵
垂足为 D，AB＝AF，BF 与 AD、AO 分别交于点 E、G. (1)证明：∠DAO＝∠FBC； (2)证明：AE＝BE.
︵︵ [规范解答] (1)连接 FC，OF，因为AB＝AF，OB ＝OF， 所以点 G 是 BF 的中点， OG⊥BF. 因为 BC 是⊙O 的直径， 所以 CF⊥BF.(1 分)
反过来，弧的度数相等，它们所对圆心角的度数也相 等.2.由于圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周 角的度数等于它所对弧的度数的一半．
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
圆心角圆周角定理推论笔记
圆心角圆周角定理推论笔记一、圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等二、圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。
（不在同圆或等圆中其实也相等的。
注：仅限这一条。
）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。
三、圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
1、弦：连接圆上任意两点的线段。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
24.3.1圆周角-定理及推论 沪科版
O A B
化 归 完全归纳法
O
A B
分类讨论
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半
C
O A B
1、已知∠AOB＝75°, 求：∠ACB
2、已知∠AOB＝120°，
O B
C
求：∠ACB
A
3、已知∠ACD＝30°, 求：∠AOB
O
C
4、已知∠AOB＝110°, B 求：∠ACB
A
O
E O1 C
C 在同圆或等圆中
如图，⊙O1和⊙O2是等圆， 如果弧AB＝弧CD，那么 ∠E和∠F是什么关系？反 过来呢？
A
D B
O2
F
推论1 在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。 B C
A
C
O
B
D
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C E D A O B
什么时候圆周角是直角？
反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什 么性质？反过来呢？
AD是ΔABC的高，AE是
ΔABC的外接圆直径。 求证：AB· AC＝AE· AD。
A
O
经验： •构造直径上的圆周 角，是常用的辅助线
B E
D
C
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
圆周角定理推论
E
圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
D 8 7 A 2 1 E 5 3 B 4 6 C
作图探索证明 问题讨论 1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗? 2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过 圆心O吗？为什么？
A
E A O B C
A
B C
C
O
A
O E
B
圆周角定理的推论：
推论1 同弧或等弧所对的圆 周角相等；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆（或直径）所对的 圆周角是直角； 90°的圆周角 所对的弦是直径.
2.填空题: A (1)如图所示, ∠BAC= ∠BDC ,∠DAC=∠DBC .
B
D
C A
(2)如图所示,⊙O的直径 AB=10cm,C为⊙O上一 点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O
C
B
分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦 ,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大 小有什么关系?为什么?
A
●
O
C
D
B
2.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°, 求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
⌒ ⌒ 3.如图⊙O中,D、E分别是AB和AC的 中点, DE分别交AB和AC于点M、N; 求证:△AMN是等腰三角形.
如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径, ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
O
A C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 / 6
24.1.4圆周角
第1课时圆周角定理及推论
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证
明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键
2 / 6
1．重点：
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：
运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：
探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：
（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知
问题：
如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设
E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的
3 / 6
A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠
EAF、∠
EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
4 / 6
（2）如图，圆周角∠ABC的两边
AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：
连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠
ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边
AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：
连结O
A、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，?同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、
（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
5 / 6
分析：
BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC 的中点，?只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：
BD=CD
理由是：
如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材P92思考题．
2．教材P93练习．
四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠
A、∠
B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：
===2R．
分析：
要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
6 / 6
证明：
连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBCxx，sinD=，即2R= 同理可证：
=2R，=2R ∴===2R
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。