2019中考数学知识点-圆周角定理及其推论
九年级下册数学圆周角定理
九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。
二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。
2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。
3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。
4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。
5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。
6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。
2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。
3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。
4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。
这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。
圆周角定理的推论及圆内接四边形
1、圆周角定理的推论（1）同圆或等圆中,相 等的圆周角所对弧相等.（2）半圆或直径所对 的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直 径。 2、圆内接四边形的有关概念: 如果一个多边 形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外 接圆． 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对 角互补.
1.圆周角 顶点在 圆上 ,并且两边都与圆 相交 的角. 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的 一半
小练习
图1
图2
图3
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC= ____ ,理由是____； 2、如图2，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°， 则∠D=____，∠AOB=_ ___． 3、如图3，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
∴∠BCD=180°-∠A=111°， ∴∠DCE=180°-∠BCD=69°．故选A．
3.已知如图，在圆内接四边形ABCD中， ∠B=30°，则∠D=__1_5_0_°．
解析:∵圆内接四边形ABCD中，∠B=30°， ∴∠D=180°-30°=150°．故填150°．
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
证明：如图所示，连接OB，OD. ∵∠A所对的弧 BCD
为,
∠C所对的弧为 BAD ,
又∵ BCD 和 BAD 所对的圆心角的和是周角，
∴∠A+∠C= 3600 =180°.
2
同理∠B+∠D=180°.
圆周角定理的推论课件
图 3－4－6
圆周角定理的推论
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[ 解 析 ] 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠DBC ＝ ∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB， 再利用圆周角定理得出∠DAE 与∠DAC 相等．
解：∠DAE 与∠DAC 相等． 理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
6
[解析] 连接 AD，由 AB 是⊙O 的直径得到∠ADB＝90°，再 根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角 定理即可得到∠C 的度数．
解：连接 AD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
∵∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠DCB＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝DCB，
∴∠DBC＝∠DAE.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.
圆周角定理的推论
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[归纳总结]圆内接四边形性质的推广： 圆内接四边形的对角互补，外角等于与它相邻的内角的对角．因此常利用圆 内接四边形的性质，结合圆周角定理及其推论来探求角的相等关系或互补关 系．在进行有关计算或证明时，常添加辅助线构造圆周角或圆内接四边形．
圆周角定理的推论
17
圆周角定理的推论
7
观察与思考
如图,在⊙O中,∠ABD =110°,求∠C的大小.
A B
四边形ABCD的四个点都在 ⊙O上，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做 C 四边形的外接圆。
D
思考：1、∠ABD与∠C有怎样的关系？ 2、由此我们可以得到怎样的结论？
九年级数学圆周角定理
圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
圆周角定理 课件
如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长 线交它的外接圆于点 E.
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似． (2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小． 【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝ AD·AE.
又 S＝12AB·ACsin∠BAC 且 S＝12AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.
1．解答本题(2)时关键是利用 AB·AC＝AD·AE 以及面积 S ＝12AB·ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值．
圆周角定理
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 等于它所 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 同弧或等弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ； 同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的 弧 也相等． (3)推论 2： 半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度 又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式 相等．
如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若∠BAC＝50°，则
圆周角定理的推论2及圆
圆周角定理的推论2及圆
圆周角定理是几何学中的重要定理，它指的是：在任意三角形中，其三个内角的和为180°；而在任意园形内，相应的三角形所有内角的和为园周角，即360°，这就是圆周角定理。
圆周角定理是根据三角形和圆形的基础知识来说明的，其中三角形在几何学中是一种重要的几何体，其有三个角度。
任意三角形中，其三个角度的和是180°，而圆则是一个完整的圆形，因而其一个圈中包含了好多条边缘，所有的角度的和就是360°，这也正好等于园周角。
圆周角定理的推论2是：如果三点不在一条直线上，则这三点可以构成一个三角形，而在三角形内，其三个内角的和为180°；另一方面，一个圆中包含了很多条边缘，而它们如果组成三角形，那么它们的和是360°，因此，三角形内角的和等于园周角的和，就是圆周角定理。
因此，圆周角定理的推论2的意义在于，它使得对于所有的园形，可以很容易构绘出来，也可以更方便地计算出其内部的角度数。
圆周角定理的推论2也可以用来帮助解决许多几何问题，比如求椭圆的长短轴长度等。
总而言之，圆周角定理是一个重要的定理，它反映了三角形和圆形之间的关系，并由此推论出了圆周角定理的推论2，使得求解复杂几何问题更加容易，不仅提高了几何的计算应用，而且也成为了几何学的一大宝贵知识。
圆周角定理推论2和3
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
解法1：
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
解法2：
练习：
5.如图，圆心角∠AOB=100°，
则∠ACB=___。
O A C B
⌒ ⌒ 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
Байду номын сангаас
一半，那么这个三角形是直角三角 形．
小结:
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和都圆
另有一个交点的角叫圆周角.
推论1.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆
周角所对的弧相等。
推论2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径
∠CAD=______ 25° ；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20° _；
例题
例3如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 8 6 在Rt△ABC中， 10 A B 2 2 2 2
BC AB AC 10 6 8
∵CD平分∠ACB，
O
·
D
AD BD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
例题4、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的 一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：△ABC
九年级圆周角定理知识点
九年级圆周角定理知识点圆周角是在数学几何中的一个重要概念，它与圆形的内角和外角有着密切的关系。
在九年级的几何学学习中，圆周角定理是一个不可或缺的内容。
在本文中，将详细介绍九年级圆周角定理的知识点。
1. 圆周角的定义在一个圆上，连接圆心和圆上两点，所对的角被称为圆周角。
圆周角的尺寸是以弧度为单位进行度量的。
一个完整的圆周角等于360°或2π弧度。
这意味着一个圆周角的度数恰好等于所对弧的弧度数。
2. 圆周角定理圆周角定理是指，在同一个圆中，对应于相同弧的圆周角相等。
换句话说，如果两个圆周角对应于同一个圆上的相同弧，那么这两个角的大小是相等的。
圆周角定理可以用数学表达式来表示：∠AOC = ∠ABC其中∠AOC和∠ABC分别表示对应于相同弧AC的两个圆周角的度数。
3. 圆周角的相关性质除了圆周角定理，还有一些与圆周角相关的性质需要了解。
（1）圆周角定理的逆定理：如果两个角对应于同一个圆上的不同弧，那么这两个角的度数是不等的。
（2）圆周角等于直径角：一个圆上的直径所对应的圆周角恰好等于180°或π弧度。
（3）圆周角的其他性质：圆周角与圆上的弧长有关，根据圆周角的度数可以计算对应的弧长。
4. 圆周角定理的应用圆周角定理是解决各种几何问题的重要工具。
通过应用圆周角定理，我们可以求解关于弧长、角度和半径之间的问题。
例如，可以通过已知弧长计算对应的圆周角，或者通过已知角度计算对应的弧长。
在现实生活中，圆周角定理也有一些实际应用。
例如，在建筑工程中，可以利用圆周角定理来测量圆形表面的角度和长度。
在天文学中，圆周角定理也被广泛用于计算天体的运动轨迹和距离。
总结：本文详细介绍了九年级圆周角定理的知识点。
圆周角的定义和圆周角定理是理解和应用圆周角的基础。
此外，我们还学习了圆周角的其他性质和一些实际应用。
通过掌握这些知识，我们能够更好地理解和解决与圆周角相关的几何问题。