人教版九年级上册数学：圆周角定理的推论和圆内接多边形(公开课课件)
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全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《圆(复习课件)》公开课课件
符号语言：
04
基础巩固（圆心角与圆周角）
圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的判断方法：观察顶点是否在圆心。
圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的特征： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交。
05
基础巩固（弧、弦、圆心角之间的关系）
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
基础回顾
02
热考题型
03
直击中考
CONTENTS
基础回顾
01
基础巩固（圆的概念）
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A所形成的图形叫做圆。
其中，固定的端点O叫做圆心。
线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
02
基础巩固（圆的特征）
【特征一】圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。
( n 2) 180
正n边形的一个内角的度数是____________;
n
360
中心角是___________;
n
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
正n边形的周长为 P=na （P为正n边形的周长，α为边长）
正n边形的周长为 S
A
B
1
Pr （S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，
①三角形内切圆半径公式： r
C
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
ab
a +b- c
.
或r =
②特殊的直角三角形内切圆半径公式：r =
a+b+c
人教版九年级上册数学《圆周角》圆研讨说课复习课件
窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠ACB和∠AOB)谁的视
角大呢？
圆周角 圆心角
猜想一下 有什么发现？
测量与猜测 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想 ∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 36 BOC 72
BAC 1 BOC 2
01 推导与论证
Ye
圆心O在∠BAC 的一边上
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
探究新知
知识点 1 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
探究新知
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º.
想一想：如何证明你的猜想呢？
探究新知
证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
探究新知
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
第二关
第三关
第四关
01
一级 根据图中的条件直接写出∠A的度数．
倒数10 秒钟
解：45°，40°，30°．
02
︵︵ 如图，AB＝BC，∠D＝35°，
则∠E＝ 3355°° ．
Hai
二级 如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，求
∠ACB的度数．
解：∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝40°．
人教版九年级数学上册《24章 圆 24.1 圆的有关性质 圆周角定理的推论和圆内接多边形》优质课课件_20
2、提问：在圆上固定一条弧，这条弧所对的 圆周角有无数个，怎样分类呢？
方3、法猜：想寻：找同等弧腰所三对角的形圆基周本角模与型圆，心角大小 有圆什心么在关角添的系一加呢边辅？上助圆线心构在造角的基内本部模型圆. 心在角的外部
E
小红旗 D
图1
图2
图3
4、证明：图1中 因为OC=OB，所以∠C=∠B
所以∠C=1/2∠AOB
图2中 同理可得： ∠ACD=1/2∠AOD,∠BCD=1/2∠BOD
所以∠ACD+∠BCD=1/2(∠AOD+∠BOD) 即∠ACB=1/2∠AOB
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角都 相等，都等于这条弧所 对圆心角的一半。
1.求圆中角X的度数
.O C
70° x
A
B
D
C 120°
O.
X B
A
2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
C
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
P
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A
ED O
B
C
畅所欲言：
今天你学到了什么知识？ 体会到了什么？
圆周角定理
1、 认识圆周角 。 2、 探索并证明圆周角定理。 3、 体会分类归纳、构建模型的
数学思想。
1、等腰三角形一底角等于顶点处的一个外角的 一半。 D
小红旗
C
A
B
2、圆心角。
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角． ∠ACB与∠AOB有是什同么弧关所系对呢的？圆我周角 们和怎圆么心研角究这个问题呢？
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习教学课件
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习教 学课件
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
练习： 人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习教学课件
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
B
A
B
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习教 学课件
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• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有 什么关系？为什么？
C
O
新人教版九年级数学上册《圆周角》精品课件
对的弧的度数的一半.
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
【想一想】1.如下左图，比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小.
C D A O E
E
B
A
O B
F D
C ＝CD ， 2.如上右图，如果 AB 那么∠E和∠F是什么关系？
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,∴∠ACB= 1×180°= 90°. 2
∴ △ABC 为直角三角形.
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想． 分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转 化成一系列的简单问题或已证问题．
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°
B
O C A
2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆 周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC 等于（ B ）.
C
A.30°
B.60°
自学指导
认真看书85-88页，独立完成以下问题， 看谁做得又对又快？ 1、什么是圆周角，它和圆心角有区别吗？ 2、圆周角定理是什么？它的推论呢？ 3、什么是圆内接多边形？圆内接四边形四个 角之间有什么关系？
一、 情境导入
二、 先学环节 教师释疑
C
C
B
A C
人教版初中九年级上册数学《圆周角》精品课件
8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
知识点3 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧： ∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
∴ BAC BDC.
同弧所对的圆周角相等．
O
B
C
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
80° .
4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC， ∠AOC=78°，求∠DAB的度数． 解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B. 又∵∠B= 1 ∠AOC=39°. ∴∠DAB=239°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个 点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB= 60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.