圆周角定理及推论
24.1.4.1圆周角定理及其推论教案
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作，整体表现积极。但也有个别小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象，这可能是因为我对讨论主题的引导不够明确。在以后的教学中，我需要更明确地给出讨论要求和方向，以提高讨论的效率。
学生小组讨论环节，大家对于圆周角定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点。但在分享成果时，我发现部分学生的表达能力和逻辑思维还有待提高。因此，我打算在后续的教学中，加强对学生表达能力的训练，鼓励他们多思考、多交流。
在总结回顾环节，学生对圆周角定理及其推论有了更深刻的认识，但仍有一些疑问。我会在课后及时解答这些问题，并关注学生在课后作业中的表现，以便了解他们对这一知识点的掌握情况。
a.圆周角定理的证明过程，使学生理解定理背后的原理。
b.圆周角定理推论的推导过程，特别是对圆内接四边形性质的理解。
c.通过典型例题，展示如何将圆周角定理及其推论应用于解题。
2.教学难点
本节课的难点内容如下：
（1）圆周角定理的理解：学生对圆周角与圆心角关系的理解可能存在困难，需要通过实例、图示等方式进行详细解释。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.4.1圆周角定理及其推论(教案)
一、教学内容
本节课我们将学习人教版八年级下册第十章《圆》中的3.4.1节：圆周角定理及其推论。教学内容主要包括以下两部分：
1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-应用圆周角定理：学生需要学会将圆周角定理应用于解决实际问题，例如计算圆周角或圆心角，确定直径和弦的关系等。
-掌握推论的应用：学生应能熟练应用推论，如判断半圆或直径所对的圆周角是直角，以及90°的圆周角所对的弦是直径。
举例：在证明圆周角定理时，教师应重点讲解如何通过圆心角和弧的关系推导出圆周角，以及如何利用这个关系解决具体问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理的基本概念。圆周角定理是指在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是相等的，并且等于这条弧所对的圆心角的一半。这个定理在几何学中占有非常重要的地位，它可以帮助我们解决许多与圆有关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，我们将展示圆周角定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
圆周角定理推论
圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。
也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。
即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。
例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。
圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。
其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
一、什么是圆周角定理：
圆周角定理是一种几何定理，它指出了一个三角形与它所多接的弧线之间满足的某种关系，即：圆周上相邻的弧线之间的集合所形成的内角之和等于180度。
即可简写为：当三条线接触同一个圆的时候，它们共组成的内角之和是180度。
二、圆周角定理的推论
（1）中点定理：在任意一个多边形内，任意一边都和多边形内心连接构成一个角，这个角的度数相加一定为180度。
三、圆周角定理的适用范围
圆周角定理可用于描述任意一个多边形关于圆周角的位置关系，主要用于计算圆周角的大小，以及计算多边形中不同角的大小。
圆周角定理在平面几何中有着重要的应用，即它是描述多边形的重要定理，熟练的掌握和复习这个定理有助于更
好的理解多边形的内容。
圆周角定理及其推论
在圆中，画一个角使其顶点在圆上， 并且两边都与圆还有另一个交点。
A A
A
A
你能仿照圆心角的定义给这个角起个名并下个定
义吗?
圆周角：顶 角点 叫在 圆圆 周上角，。两边都与圆还有另一个公共点的
圆中BC所对的圆周角与圆心角有几种位置关系？
A
O.
B
C
A
.OO
B
C
B
C
A
O.
C B
例.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD＝60°,∠ADC＝70°。求∠APC的度数．
解 ：连接BC, ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝ 90 ° ∵∠ACD＝60° ∴ ∠DCB ＝30°.
又 ∵ ∠BAD＝ ∠DCB=30° Nhomakorabea ∠APC＝∠BAD+∠ADC ＝30°+70° ＝100°．
C A OP B
D
直径条件常构造：90°的圆周角
知识内容：
圆周角定义 圆周角定理
推论1 推论2
数学思想方法： 类比思想、分类思想、划归方法等
1、习题24.3第2题、第3题． 2、《同步练习》24.3同步一
3、试找出下图中所有相等的圆周角
D
∠1=∠5
A1
87
3
2
6
54
B
C
∠2=∠6
∠3=∠7 ∠4=∠8
4、如图，AB是⊙O的直径，请问：
① ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
② 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，则 ∠AOB= 180°。
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
24.1.4圆周角圆周角定理及推论(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理及推论在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：解释圆周角，说明只有当两个圆周角都在同一个圆内时，它们对应的弧才相等。
-难点2：圆周角推论的应用。学生可能难以理解圆周角与其所对圆心角之间的具体关系，不知道如何在实际问题中应用这一推论。
-举例：通过构造具体的图形，如圆心角为120度的圆弧，让学生找出对应的圆周角，并验证确实等于60度，从而加深理解。
另外，小组讨论环节，我觉得学生的参与度很高，但在分享讨论成果时，有些学生表达得不够清晰。为了提高学生的表达能力和逻辑思维，我打算在后续的教学中，多设置一些类似的活动，并给予他们更多的指导和鼓励。
在课程总结时，我注意到部分学生对圆周角定理在实际问题中的应用仍然感到困惑。为了解决这个问题，我想在下一节课引入一些更具挑战性的问题，让学生在实际问题中运用所学知识，从而加深他们对圆周角定理及推论的理解。
-难点3：在复杂的几何图形中识别和运用圆周角定理及推论。学生在面对复杂的图形时，可能无法正确识别圆周角，或者不知道如何应用已知的定理和推论。
-举例：给出包含多个圆周角和圆心角的复合图形，指导学生如何一步步识别出关键的圆周角，并利用定理和推论来解决问题。
一 圆周角定理
是半圆的直径,P是半圆上的 例３，如图，BC是半圆的直径 是半圆上的 如图， 是半圆的直径 一点,过 的中点Ａ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ａ，作 一点 过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证 求证： 为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证： ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ Ａ
圆周角定理
圆周角的定义： 圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都 与圆相交的角。 与圆相交的角。 圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对 弧的度数的一半。 弧的度数的一半。 推论1：同弧（或等弧） 推论 ：同弧（或等弧）上的圆周角相 等。 同圆或等圆中， 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。 相等。 推论2：半圆（或直径） 推论 ：半圆（或直径）上的圆周角等 于90度。 度 反之， 度的圆周角所对的弦为直径 度的圆周角所对的弦为直径。 反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦ Ｄ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ， 如图， ABC内接于 ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证 于点Ｈ，求证： ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证： ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ ）ＯＡＡＨ＝１ ＡＢ （２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
Ａ Ｂ D ． Ｏ Ｈ Ｃ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC， 外接圆⊙O的弦AE BC于点 求证： ⊙O的弦AE交 于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图， 是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆 的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径 求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A
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一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明
【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：
图1
连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：
图2
连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
和）
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图3
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠OCA（）
∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）
【证明】情况4：圆心角等于180°：
圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=
2
1∠BOC（BC弧）
∠OCB=∠OBC=
2
1
∠AOC（AC弧）
∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB
【证明】情况5：圆心角大于180°：
图5
圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，
∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）
∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB
∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB
二、圆周角定理的推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
其他推论?
①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。
E
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半?。
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等?。
?。
④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。