圆周角定理及其推论2

特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆还另有一个交点.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
二、课前热身
（第 1 题）
3.说出命题”圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由. 4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD
D C
A
B
5.如图，P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=60°。 A P · O B
B
●
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
三、新知探究
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心用于找相等的弧
求证：△ABC是等边三角形
C
6.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D
A
B
7. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
E C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
六、拓展探究
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证: ⌒ ⌒
圆周角和圆心角的关系（第二课时）学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题. 学习重点:圆周角定理几个推论的应用. 学习难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．学习方法:指导探索法.
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆还另有一个交点的角叫圆周角.
100º
O C
B
（B）60º 的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O （D）120º 的弧所对的圆周角是60º A B
C
三、新知探究
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º ，弦BC经过圆心O 吗？为什么？ A D A
EC=2 EA
C E A
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱO B
2. 已知BC为半圆O的直径， AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？ F
A M E B D O C
小结
1. 【圆周角的定义】顶点在圆上，两边都与圆相交，这样的角叫圆周角。 2. 【圆周角的性质】（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 90°的圆周角所对的弦是圆的直径（2）一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；（3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；
100º ，所对的圆周角等于 1、 100º 的弧所对的圆心角等于 _______
_______ 50º 。
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则
36º 或144º 。这弦所对的圆周角度数为________________
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º ，则∠BOC=________ 。 64º 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º ，则∠AOB=______。 A 5、下列命题中是真命题的是（ D ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
四、例题讲解
A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE B D E C
五、当堂清
1.试找出图中所有相等的圆周角.
2.在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－ 30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

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圆周角定理课件

与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
1.如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点
O(0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 弧上一点，则
cos∠OBC 的值为
()
A.12
B.
3 2
解：∵ AB＝ AC ， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ BD＝ BD，∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴ACDD＝BEDD，即63＝E5D. ∴ED＝2.5 (cm)．
3.如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：△A B E ∽△A DC； (2)若△ABC 的面积 S＝1AD·AE， 2 求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
C.3
D.4
5
5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
又因为∠CBO 与∠CDO 为圆弧 CO 所对的圆周角，所以∠CBO＝∠CDO. 又因为 C(0,5)，所以 OC＝5. 在 Rt△CDO 中，CD＝10，CO＝5，根据勾股定理得 OD＝ CD2－OC2＝5 3. 所以 cos∠OBC＝cos∠CDO＝OCDD＝5103＝ 23，故选 B.
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件．
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.

3.5.2 圆周角定理的推论2 课件(共18张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学

都等于

∠AOB
E
∠C=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等.
反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是否
也相等？
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
做一做
如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.
C
找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
D
1
2
∠1=∠ABD
.O
3
∠2=∠CAB
∠2=∠CBD
A
B
例1 已知：如图，△ABC内接于圆O，∠ACB=2∠ABC，点D平
Ⴃ
分.求证：AC=BD.
D
【提示】
B
先构造等弧所对的圆周角，再利用
圆周角定理的推论是解题关键.
A
C
证明：连结CD.

Ⴃ
Ⴃ
∵ = ，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，
例3 如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门PQ
进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两种
射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙，
由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择第____种射门方式．
二
例4
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
解：已知：AB，CD是⊙O的两条弦，且
以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑，船与暗礁区
的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠ACB=50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，

圆周角2

F A M E B D O C
小结：小结：
1、圆周角定理：圆周角定理：
(1)同弧或等弧所对的圆周角都相等, (1)同弧或等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧同弧或等弧所对的圆周角都相等所对的圆心角的一半. 所对的圆心角的一半. (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。同圆或等圆中
用于找相等的弧
(2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。同圆或等圆中
圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：
用于判断某个圆周角是否是直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； (1) 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 (2) 90°的圆周角所对的弦是直径。
为直径的圆交BC于交于以AB为直径的圆交于D,交AC于E, 为直径的圆交求证：求证：⌒ ⌒ BD=DE
A E D C
证明：连结证明：连结AD.
书上P123:10 书上P123:10
是圆的直径，在圆上， ∵AB是圆的直径，点D在圆上，是圆的直径在圆上 ∴AD⊥BC， ⊥ ，又∵AB=AC，，
用于判断某条线是否过圆心
如图：AB是的是的⊙ 的直径， CD与例1、如图：AB是的⊙O的直径，弦CD与AB 相交于点E 相交于点E，∠ACD=60°,∠ADC=50°,求 ACD=60° ADC=50° CEB的度数的度数。 ∠CEB的度数。
C
60° °
O A
E
50° ° 60° °
B
强调：强调：
B
●
O
C
图1
图2
半圆)所对的命题:直径(半圆所对的圆周角是_____. 直径半圆所对的_______ 直角所对的弦是____. 命题: 90 的圆周角所对的弦是直径

垂径定理和圆周角圆心角

一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

2.1 圆周角定理课件(人教A选修4-1)(2)

返回
本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
返回
[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
返回
[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
返回
[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝＝＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .
∴∠EOC＝80° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
返回
[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
返回
[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.

3.4.2圆周角定理的推论2,3(教案)

二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，使其能够通过观察、操作和推理，理解并应用圆周角定理的推论2和推论3。
2.提高学生的逻辑推理能力，使其能够运用所学知识进行严密的数学推理，证明圆周角定理的推论。
3.增强学生的问题解决能力，使其在解决实际问题时，能够运用圆周角定理及其推论进行分析和求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角定理推论2，3的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对推论2，3的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理推论2，3在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆周角定理推论2，3的理解程度有所不同。有些学生能够迅速掌握推论的原理，并在实际问题中灵活运用；而部分学生则对这两个推论之间的关系感到困惑。针对这种情况，我认为在今后的教学中，需要注意以下几点：
1.强化直观教学：通过动态演示、实物操作等方式，让学生更直观地感受圆周角定理推论2，3的内涵。这样有助于学生形成清晰的几何直观，从而更好地理解这两个推论。

苏科版九年级上册圆周角定理的推论(第2课时)

第2章对称图形——圆
2.4 第2课时圆周角定理的推论
知识回顾
问题1：什么是圆周角？
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
D
B
E
O
●
A
C
问题2：圆周角与圆心角有什么样的数量关系？
圆周角定理：
①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
55°，求∠D90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
课堂小结
直径所对的圆周角是直角
圆周角
定理的
推论
90°的圆周角所对的弦是直径
A
由∠BAC=90°，
可知∠BOC=180°,
∴BC是⊙O的直径.
B
●
O
图2
C
归纳总结
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
问题
回归到最初的问题，你能确定圆形模具的圆心吗？
例题讲授
例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD
E
O
50°
D
B
例2 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足
(
(
为D，AE＝AB，BE分别交AD、AC于点F、G．判断△FAG的形状，
并说明理由．
解：△FAG是等腰三角形.
∵ BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是直角).
∴∠AB +∠AGB＝90°.

沪科版数学九年级下册圆周角定理及其推论

∴ BD DE. A
O
E
B DC
8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB
所对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
(1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 ACB 上任取
一点 C，连接 CA，CB.
∵ AB＝OA＝OB，
∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°． ∴∠ACB＝ 1 ∠AOB＝30°. 即弦 AB 所对2的圆周角等于 30°.
图①
(2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 AB 上任取一点
D，连接 AD，OD，BD.
则∠BAD＝ 1 ∠BOD，∠ABD＝ 1∠AOD.
∴∠BAD＋∠2 ABD＝
1 2
(∠BOD＋2∠AOD)＝
同 (1) 可知∠AOB＝60°，
1 2
∠AOB.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°.
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，
∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
C
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°.
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PB
= 100°.
D
∵ BAC 1 BOC，BDC 1 BOC，
2
2
∴∠BAC =∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
AB
CD EF， COD EOF.
A 1 COD， B 1 EOF，
2

高中数学 2.1 圆周角定理教案选修4-1

一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？【提示】不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°，故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°，又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°，所以△APD 是直角三角形．则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP，由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ，所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。