圆周角的概念及定理
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角定理课件
(2)∠BOC＝____7_0°，理由是
__同__弧__所__对__的__圆__周__角__等__于__该__弧__所__对_ __的__圆__心__角__的__一__半__.___________.
DAC 1 DOC . 2
∴ DAC DAB 1 (DOC BOD) ， 2
即BAC 1 BOC. 2
议一议
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
思考
C
A
O
B
如图,AB是直径,则∠ACB=＿9＿0＿°。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
∵ ∠BAC＝∠BFC （同弧
B
所对的圆周角相等）．
A
D
F
E O
C
请你说一说 这节课你有哪些收获和困惑？ 圆周角定义及定理。
课后作业 课本P89第3题，P90第14题； 练习册P7∠BAC的内部或外部时， BAC 1 BOC 的关系还成立吗?
2
思考与探索
证明：作直径AD．
∵BAD 1 BOD ，
2
DAC 1 DOC． 2
∴ BAD DAC 1 (BOD DOC ) ， 2
即BAC 1 BOC ．
2
思考与探索
证明：作直径AD．
∵BAD 1 BOD ， 2
思考与探索
3．当圆心O在∠BAC的一边上时，圆周角 ∠BAC与圆心角∠BOC之间有怎样的数量关系？ 你能证明你的发现吗?
思考与探索
4．BAC 1 BOC ．
证明：
2
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
圆周角的三个定理和三个推论
圆周角的三个定理和三个推论
圆周角是几何学中非常重要的课题，它测量了连续弧线绕圆心一周所形成的面积，它表征了圆弧路径的大小。
圆周角的三个定理和三个推论很重要，下面将对
它们做一些详细的介绍。
第一个定理是“极角定理”，它声明了一个角的圆心角（圆周角），它的大小
是由圆弧的长度和此弧端点从圆心到他们之间的距离决定的。
它可以为求解圆周角提來许多帮助。
第二个定理，“同余角定理”，它认为圆弧A，B，C，D上的三个角相同，即
A＝B＝C＝D，那么圆的圆周必然相同为∠ACD。
这一定理使圆周角更容易求解。
第三个理定，“圆周角定理”，它宣称，对于任意两个圆心角相同的多边形的
每一条边，其角的总和为360°，或等于2π。
这一定理可以用来计算更复杂的圆
上的角度和圆周角。
此外，圆周角有三个重要推论，第一个是“梯形定理”，它保证了梯形是可以
分解为两个相同的三角形，梯形的内角和周围角之和等于360°，即弧度为2π。
第二个推论是“饼图定理”，它保证了由一个圆形分割成多个部分形成的饼图，其总弧度之和等于2π，在此饼图中，各部分所占的弧度数可以根据各部分的大小
来计算。
最后一个推论是“三角形定理”，它给出了一个三角形，它的三条边和三个内
角的总和等于180°，或与弧度等于π。
这三个推论可以用来计算更复杂的圆周角。
总之，圆周角的三个定理和三个推论对于几何学是非常重要的，它们可以帮助
我们很好地计算出更复杂的圆周角，这对于研究几何领域是很有帮助的。
人教版初三数学上册24.1.4圆周角的概念和圆周角定理
1.形成概念
问题5：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点C?观察并比较∠ACB 与∠AOB 由和异同？
我们知道，∠AOB 叫做AB 所对的圆心角，类似地，我们把∠ACB 叫做AB 所对的圆周角
教材定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
2.剖析概念、应用概念
问题6：判断下列图形中所画的∠P 是否为圆周角？并说明理由。
探究定理：
问题7：在同一个圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，那么一条弧所对的圆周角有几个呢？
结论：（1）一条弧所对的圆周角有无数个；（2）优弧和劣弧所对的圆周角大小不同 问题8：∠ACB 与∠AOB 有怎样的关系？
问题9：当点C 移动到C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 时，圆周角与圆心角的数量关系改变没？ 结论：无论移动点C 、还是点C 1 始终有
∠ACB=2
1∠AOB ，即一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半 问题10：通过观察、猜想、我们得到上面的结论，那么如何证明结论呢？
问题11.观察点C 在移动过程中，圆心O 与∠ACB 有哪些位置关系？
结论：有三种情况，
圆心在圆周角的一边上时；圆心在圆周角的内部时；圆心在圆周角的外部
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
证明定理。
圆周角定义及定理
圆周角的定义是：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
其特点可归纳为：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
这两个条件缺一不可。
圆周角定理为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
具体来说，定理有三方面的意义：
圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中；
它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧；
具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
此外，还有以下推论：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
直径(半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦为直径。
如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆心角圆周角定理推论笔记
圆心角圆周角定理推论笔记一、圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等二、圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。
（不在同圆或等圆中其实也相等的。
注：仅限这一条。
）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。
三、圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
1、弦：连接圆上任意两点的线段。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角的概念和圆周角定理
24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它给出了圆内任意一对弧所对应的圆周角相等的条件。
本文将通过推理和证明，解释圆周角定理的原理和应用。
我们来回顾一下圆周角的概念。
圆周角是由两条弧所夹的角，其中一条弧是圆上的一段弧，另一条弧是连接该圆上两个端点的弦。
我们将这两条弧所夹的角称为圆周角。
下面，我们来证明圆周角定理。
假设在一个圆上有两条弧AB和CD，它们所对应的圆周角分别为∠AOB和∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD。
我们连接线段AC和BD，将圆分成了两个扇形OAC和OBD。
由于扇形是圆的一部分，所以扇形OAC的圆心角等于∠AOB，扇形OBD的圆心角等于∠COD。
我们要证明的是∠AOB = ∠COD，即证明扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
接下来，我们来证明线段AC和BD所夹的角等于圆心角。
首先，我们连接线段AO和BO，线段OC和OD，得到了两个三角形AOB和COD。
由于AO = BO，OC = OD，而且∠AOB和∠COD都是直角，所以三角形AOB和COD是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO，∠CDO = ∠COD。
而且，三角形AOB和COD的两个直角边分别是AO和BO，OC和OD，它们的长度相等。
根据等腰直角三角形的性质，我们知道∠BOA = ∠DOA，∠AOC = ∠COA。
现在，我们来看看扇形OAC和OBD的圆心角。
根据扇形的定义，圆心角等于弧所对应的圆周角的两倍。
所以扇形OAC的圆心角等于∠BOA，扇形OBD的圆心角等于∠DOA。
由于∠BOA = ∠DOA，所以扇形OAC的圆心角等于扇形OBD的圆心角。
根据我们之前的推理，我们已经证明了扇形OAC和OBD的圆心角相等。
由于圆周角是由扇形的圆心角所对应的，所以我们可以得出结论：圆周角∠AOB = ∠COD。
通过上述的推理和证明，我们证明了圆周角定理的正确性。
圆周角定理的应用非常广泛，特别是在解决与圆相关的角度问题时，它可以帮助我们简化计算和推导的过程。
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教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课
教学目标知识和能力
1.了解圆周角与圆心角的关系.
2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
3.能运用圆周角的性质解决问题.
过程和方法
1.通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
2.通过观察图形，提高学生的识图能力.
3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.
4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题.
情感态度
价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
教学难点发现并论证圆周角定理.
教学准备教师多媒体课件
问题与情境师生行为设计意图
[活动1 ]
演示课件或图片：
问题1
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角( 和)有什么关系?
问题2
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗?
教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.
教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.
教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题.
教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究.
教师关注：
1.问题的提出是否引起了学生的兴趣;
2.学生是否理解了示意图;
3.学生是否理解了圆周角的定义;
4.学生是否清楚了要研究的数学问题.
从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学.
将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法.
引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
[活动2]
问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?
问题2
同弧(弧AB )所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的?
教师提出问题，引导学生利用度量工具(量角器)动手实验，进行度量，发现结论.
在活动中，教师应关注：
1.学生是否积极参与活动;
2.学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确.
由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现.教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化.
1.拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动;
2.改变圆心角的度数;
3.改变圆的半径大小.
活动2的设计是为引导学生发现.让学生亲自动手，利用度量工具(如半圆仪、)进行实验、探究，得出结论.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系.
[活动3]
问题1
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? (课件：折痕与圆周角的关系)
问题2
当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论?
问题3
另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢?
教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论.
教师关注：
1.学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果;
2.学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系.
教师巡视，请学生回答问题.回答不全面时，请其他同学给予补充.
教师演示圆心与圆周角的三种位置关系.
教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论.
学生写出已知、求证，完成证明.
教师关注：
1.学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来;
2.学生能否证明出结论.
学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动.启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化.
教师关注：
1.学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化;
2.学生添加辅助线的合理性;
3.学生是否会利用问题2的结论进行证明.
教师讲评学生的证明，板书圆周角定理.数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学.通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题.活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度.
问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题.培养学生思维的深刻性.
问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般.学会运用化归思想将问题转化.并启发培养学生创造性的解决问题.
[活动4]
问题1
半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?(课件：圆周角定理推论)
问题2
90°的圆周角所对的弦是什么?
问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗?
∠ABC=30°
∠A’B’C’=30°
问题4
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗?为什么?
问题5
如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角? 问题6
如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长.
学生独立思考，回答问题，教师讲评.
问题1提出后，教师关注：
学生是否能由半圆(或直径)所对的圆心角的度数得出圆周角的度数.
问题2提出后，教师关注：
学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径.
问题3提出后，教师关注：
学生能否得出正确的结论，并能说明理由.
教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件.
问题4提出后，教师关注：
学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等.
问题5提出后，教师关注：
学生是否准确找出同弧所对的圆周角.
问题6提出后，教师关注：
1.学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD;
2.学生能否将要求的线段放到三角形里求解;
活动4的设计是圆周角定理的应用.通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用.
问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论.问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件.问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移.问题5、6是定理的应用.即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解.教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果.
[活动5]
问题
通过本节课的学习你有哪些收获?
教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容.
教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握.
教师布置作业.
通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.
增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解.
课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展.
作业
设计必做教科书P87：选做教科书P89
教学反思。