圆中角的关系
平行线的夹角与内角和几何形中的角度关系
平行线的夹角与内角和几何形中的角度关系在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线之间存在着丰富的几何性质和角度关系，其中包括夹角与内角和的关系。
本文将探讨平行线的夹角与内角和以及与几何形中的角度关系。
一、平行线的夹角与内角和关系1. 定义夹角是指两条直线或线段之间的角度。
当两条直线平行时，它们之间的夹角称为平行线夹角。
在同一平面的平行线夹角有以下几个重要性质：2. 相关定理（1）同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，对于任意一对同位角，它们的度数相等。
同位角可以划分为内同位角和外同位角。
（2）内同位角性质：两条平行线被一条交线所切割时，交线两侧的内同位角互补，即其度数之和等于180°。
这是由同位角定理保证的。
（3）同旁内角性质：两条平行线被一条交线所切割时，同旁内角互补，即其度数之和等于180°。
同旁内角是指交线同侧的内角。
3. 应用示例示意图：（图a）在图a中，AB和CD是两条平行线，线段AE与CD相交于点E。
我们可以利用上述定理来推导出平行线夹角与内角和的关系。
（1）夹角和：夹角AED和角AEC之和等于180°，即m∠AED +m∠AEC = 180°。
（2）夹角相等：由同位角定理可得知，角AED和角BEF是同位角，它们的度数相等，即m∠AED = m∠BEF。
（3）内角和：角AED和角AEC构成了内同位角，根据内同位角性质可得知它们的度数之和等于180°，即m∠AED + m∠AEC = 180°。
（4）推导：将（1）和（3）结合可以得到m∠AEC = m∠BEF，进而推导出夹角AEC与夹角AED的度数相等。
二、几何形中的角度关系平行线的夹角与内角和是几何形中的重要概念，在圆、三角形、四边形等几何形中都有一些相关的角度关系。
1. 圆中的角度关系（1）圆心角：一条弧所对的圆心角等于其所对的弧的两个端点所构成的夹角。
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)
圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升）【学习目标】1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【重点梳理】重点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．3.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．重点解说：(1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交.(2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外面．（以下列图）重点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° .BACOD重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC．【思路点拨】此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与分析】证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ．∴AB BD CD BD ，即AD BC ，∴AD ＝ BC．证法二：如图②，连OA、 OB、 OC、 OD，∵ AB ＝ CD，∴∠ AOB＝∠ COD．∴∠AOB－∠ DOB＝∠ COD－∠ DOB，即∠ AOD＝∠ BOC，∴AD ＝ BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等经常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，一定借助已知的等弦进行推理．贯通融会：【变式】以下图，已知AB 是⊙ O的直径， M、 N 分别是 AO、 BO的中点， CM⊥AB， DN⊥ AB．求证： AC BD ．【答案】证法一：如上图所示，连OC、 OD，则 OC＝ OD，1OA，ON1OB，∵ OA＝OB，且OM22∴OM＝ ON，而 CM⊥ AB， DN⊥ AB，∴Rt △ COM≌Rt △ DON，∴∠COM＝∠ DON，∴AC BD．证法二：以下列图，连AC、 BD、 OC、 OD．∵M 是 AO的中点，且 CM⊥ AB，∴ AC ＝OC，同理 BD＝ OD，又 OC＝OD．∴ AC ＝BD，∴AC BD．种类二、圆周角定理及应用2.（ 2015?南京二模）如图， OA 、 OB 是⊙ O 的半径且 OA ⊥OB ，作 OA 的垂直均分线交⊙ O 于点C、 D ，连结 CB、 AB ．求证：∠ ABC=2 ∠ CBO．【答案与分析】证明：连结OC、 AC ，如图，∵CD 垂直均分 OA ，∴ OC=AC ．∴OC=AC=OA ，∴△ OAC 是等边三角形，∴∠ AOC=60 °，∴∠ ABC=∠ AOC=30°，在△ BOC 中，∠ BOC= ∠AOC+ ∠AOB=150 °，∵OB=OC ，∴∠CBO=15 °，∴∠ABC=2 ∠ CBO．【总结升华】此题考察了圆周角定理以及线段垂直均分线的性质和等边三角形的判断与性质，娴熟的掌握所学知识点是解题的重点 .贯通融会：【变式】如图， AB 是⊙ O的弦，∠ AOB＝ 80°则弦 AB所对的圆周角是.【答案】 40°或 140° .3. 如图， AB是⊙ O的直径， C、 D、 E 都是⊙ O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】 90° .【分析】如图，连结OE，则【总结升华】把圆周角转变到圆心角.贯通融会：【变式】（2015?玄武区二模）如图，四边形∠ABO=30°，则∠ D=．ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC、 BO，已知∠ CAB=36°，【答案】 96°；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠ OBC=∠OCB，∴∠ OBC= （180°﹣∠ BOC） = （180°﹣ 72°） =54°，∴∠ ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠ D+∠ABC=180°，∴∠ D=180°﹣ 84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙ O上三点 A、 B、 C，∠ ACB=60°， AB=m，试求⊙ O的直径长 .【答案与分析】以下图，作⊙O的直径 AC′，连结C′ B，则∠ AC′ B=∠ C=60°又∵ AC′是⊙ O的直径，∴∠ ABC′ =90°即⊙ O的直径为.【总结升华】作出⊙ O的直径，将60°、直径与 m都转到一个直角三角形中求解 .贯通融会：【变式】如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ C＝ 45°， AB＝4，则⊙ O的半径为（）．A．2 2 B ． 4C．23D．5【答案】 A.种类三、圆内接四边形及应用5.已知，如图，∠ EAD是⊙ O的内接四边形 ABCD的一个外角，而且 BD=DC.求证： AD均分∠ EAC.E DAOB C【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠ DCB，依据等腰三角形的性质获得∠DBC=∠ DCB，依据圆周角定理可得∠ DBC=∠ DAC，因此等量代换可求得∠EAD=∠ DAC，即 AD均分∠ EAC.【答案与分析】证明：∵∠ EAD与∠ DAB互为邻补角，E D ∴∠ EAD+∠ DAB=180° .A∵四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，∴∠ DAB+∠ DCB=180° .O∴∠ EAD=∠ DCB.又∵∠ DBC与∠ DAC是DC所对的圆周角，B C∴∠ DBC=∠ DAC,∴∠ EAD=∠ DAC.即 AD均分∠ EAC.【总结升华】此题考察圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要仔细审题，注意转变思想的合理运用 .贯通融会：【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（） .A.150°B. 160 °C.170 °D.165 °DA OC【答案】 C.BE。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
圆心角的对应关系
圆心角的对应关系
圆心角是指以圆心为顶点的角，它的对应关系主要有以下几种： 1. 圆心角相等的定理：如果两个圆心角所对的弧相等，则这两个圆心角的大小也相等。
2. 垂直弧定理：一条直线垂直于某个弧的中心时，它所对应的圆心角为直角。
3. 夹在同弧上的圆心角相等：如果两个圆心角在同一弧上，则它们的大小相等。
4. 夹在相交弦上的圆心角互补：如果两个圆心角夹在相交的弦上，则它们的和为180度。
5. 弧分角定理：如果一条弧被分成了两段，那么它们所对应的圆心角的大小之比等于这两段弧的长度之比。
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圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)
圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.ODCBA2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55° 【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°， ∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数； （2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC ， ∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°； （2）证明：∵EC=BC ，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）DABCOA ．2B ． 4C ． 4D ．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4． 故选：C ．类型三、圆内接四边形及应用5．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ：∠B ：∠C=2:3:4，求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴ ∠A ：∠B ：∠C ：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ，∠D=3x ， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三：【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（）.A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.C。
圆圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件1 - 【本讲教育信息】
【本讲教育信息】一. 教学内容：圆（二）圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件二. 教学要求1、理解圆周角的概念及其相关性质，并能熟练地运用它们进行论证和计算。
2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。
三. 重点及难点重点：圆周角定理及其推论，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
难点：圆周角定理的证明，不在同一直线上的三个点作圆的方法。
四. 课堂教学［知识要点］知识点1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
说明：圆周角的两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦，二者缺一不可。
知识点2、圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
说明：（1）定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半。
（2）不能忽略“同一条弧”这个基本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。
知识点3、圆周角定理的推论推论1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB。
说明：（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立如图1所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所对的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ACB与∠ADB，∠AEB与∠ACB却不相等。
（2）此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
如图（2）中所示，如果∠ACB ＝∠DFE ，那么⋂⋂=DE AB推论2、直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如图3所示，若AB 为直径，则∠ACB ＝90°，若∠ACB ＝90°，则AB 为直径。
知识点4、过三点的圆由圆的定义可知，圆有两个要素，一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
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圆中角的关系
1.同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半
2.同弧（或等弧）所对的圆周角相等
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径
4.弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
5.圆的切线垂直于经过切点的半径
6.过圆外一点引两条切线，连接该点与圆心的线段平分两条切线所成的角
7.圆内接四边形对角互补
2.如图，AC AB 、为圆O 的两条弦，延长CA 到点D ，使AB AD =，若 25=∠ADB ，则BO C ∠的度数
为__________
3.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 至点D ，使CB DC =，延长DA 与圆O 的另一个交点为E ，连接OC CE AC ,,，则下列判断正确的是（ ）
.A EAB ACE ∠=∠ .B BCE ACE ∠=∠ .C BCE AOC ∠=∠ .D EAB CAB ∠=∠
4.如图，长方形ABCD 内接于圆O ，3,1==BC AB ，K 是劣弧DC 上一点，则DCK ABK ∠-∠的度数为（ ）
.A 55 .B 60 .C 65 .D 70。