同弦所对的圆周角相等证明过程
圆周角的定理
圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。
3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。
同弦所对的圆周角相等或互补证明
同弦所对的圆周角相等或互补证明圆周角是指圆周上两点间所对的角，它们的度数恰好为360度。
在圆周上，同弦所对的圆周角有一个很重要的特点：它们要么相等，要么互补。
下面我们来证明这个结论。
1. 同弦所对的圆周角相等假设圆周上有一条弦AB，它所对的两个圆周角分别为∠AOB和∠ACB。
我们需要证明的是，这两个角相等。
我们可以通过作圆心角来得到∠AOB的度数，即2∠AOC。
同理，我们可以得到∠ACB的度数为2∠ADC。
因为弦AB将圆分成了两个部分，所以∠AOC和∠ADC之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：2∠AOC + 2∠ADC = 360度化简后得到：∠AOC + ∠ADC = 180度而∠AOC和∠ADC分别是∠AOB和∠ACB的一半，因此可以得到：∠AOB = ∠ACB也就是说，同弦所对的圆周角相等。
2. 同弦所对的圆周角互补同样地，假设圆周上有一条弦AB，它所对的两个圆周角分别为∠AOB和∠ACB。
我们需要证明的是，这两个角要么相加为180度，要么相等。
我们可以先假设∠AOB和∠ACB相等，即：∠AOB = ∠ACB那么，我们可以得到以下等式：∠AOB + ∠ACB = 2∠AOB由于∠AOB和∠ACB是同弦所对的圆周角，它们的度数之和为360度，也就是：∠AOB + ∠ACB = 360度将上述两个等式联立，得到：2∠AOB = 360度化简得到：∠AOB = 180度这意味着同弦所对的圆周角∠AOB和∠ACB互补。
如果∠AOB和∠ACB不相等，那么我们可以假设∠AOB大于∠ACB，即：∠AOB > ∠AC B那么，我们可以得到以下等式：∠AOB - ∠ACB = ∠ABD其中，∠ABD是弦AB上的一条切线所对的角。
我们知道，圆上的切线与半径垂直。
因此，∠ABD和∠ACB之和为180度。
也就是说，我们可以得到以下等式：∠AOB - ∠ACB + ∠ACB = 180度化简得到：∠AOB = 180度这意味着同弦所对的圆周角∠AOB和∠ACB互补。
圆周角定理
证明：作辅助线
O
DCB
1 2
DOB
1 2
3
1 2
1
A
DCB 3
（12 DOB 1）
4
1 2
2
即 所对的圆周角是它所对圆心角的1/2
C
3 4
B
二、圆周角与圆心角的关系
C
C
O
O
O
C
A
B
A
B
A
B
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半.
·10
O
B
∵CD平分∠ACB，
D
∴AD= BD. ∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课后练习 1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
练习2：
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
2
∴AO=BO=CO.
A
· O
B
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径, ∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
合作交流
如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
地调学校数学教研组
预习与反馈
知识回顾 ：
圆周角定理
∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是
解析几何中证明四点共圆的四种方法
解析几何中证明四点共圆的四种方法作者：徐加生来源：《新高考·高三语数外》2010年第04期圆具有丰富的几何性质,它与三种圆锥曲线之间有着千丝万缕的内在联系.圆的性质的应用是近几年高考命题中体现“在知识交汇点设计问题”这一思路的良好素材,应引起我们足够的重视.本文介绍证明四点共圆问题的四种方法,供同学们参考.一、直接求出圆的方程例1设0=1和双曲线x2cosθ-y2sinθ=1有四个不同的交点.(1) 求θ的取值范围;(2) 证明这四个交点共圆,并求该圆半径的取值范围.解析(1) 将方程x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1联立,解得x2=sinθ+cosθ,y2=cosθ-sinθ.由两曲线有四个交点,知x2>0,y2>0. 又0(2) 由(1)得x2+y2=2cos θ0二、利用圆系方程来判断例2由抛物线y2=2px(p>0)外一点P引抛物线的两条割线PAB,PCD,其倾斜角分别为α,β,且α+β=π,问A,B,C,D四点能否共圆?解析设点P 坐标为(a,b),又直线PAB的斜率为tan α,直线PCD的斜率为tan β(显然α,β均不等于0与),故而直线PAB的方程为y-b-tanα(x-a)=0,直线PCD的方程为y-b-tanβ(x-a)=0.又α+β=π,于是将两方程相乘(合并),可得直线PAB, PCD合并起来的轨迹方程为(y-b)2-tan2α(x-a)2=0.又抛物线的方程为y2-2px=0,故A,B,C,D四点坐标都满足方程(y-b)2-tan2α(x-a)2+λ(y2-2px)=0,即tan2αx2-(λ+1)y2-2(atan2α-pλ)x+2by+a2tan2α-b2=0.令λ+1=-tan2α且4(atan2α-pλ)2+4b2-4(a2tan2α-b2)>0,则上述方程表示圆,故而当点P 坐标适当时,A,B,C,D四点可以共圆.三、证明同弦所对的圆周角相等或互补例3设A,B是双曲线x2-=1上的两点,N(1,2)是线段AB的中点.如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=2,y1+y2=4.将前两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2);将后两式代入,得=1,即直线AB的斜率为1,故易得直线AB的方程为x-y+1=0.因为CD是线段AB的垂直平分线,故易得直线CD的方程为x+y-3=0.将直线AB的方程x-y+1=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点A(-1,0)和B(3,4)(不妨设);将直线CD的方程x+y-3=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点C(-3-2,6+2)和D(-3+2,6-2)(不妨设).则=(-2-2,6+2),=(-2+2,6-2),=(-6-2,2+2),=(-6+2,2-2).容易计算得cos∠CAD==0,cos∠CBD==0,故∠CAD=∠CBD=90°.于是无论点A,B在直线CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.例4设A,B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.(1) 确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;(2) 试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D四点在同一个圆上?并说明理由.解析(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则3+=λ,3+=λ,x1+x2=2,y1+y2=6.将前两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0;将后两式代入,得=-1,即直线AB的斜率为-1,故易得直线AB的方程为x+y-4=0.将直线AB的方程代入椭圆的方程,整理得4x2-8x+16-λ=0 ①,故Δ=64+16(λ-16)>0,得λ>12,即λ的取值范围为[12,+∞).(2) 因为 CD垂直平分线段AB,所以直线CD的方程为y-3=x-1.将其代入椭圆的方程,整理得4x2+4x+4-λ=0 ②.解方程①、②,可得A1+,3-,B1-,3+,C-+,+,D--,-,则AC2 =2+2,AD2 =2+2,所以AC2+AD2=2(λ-3).又CD2=(λ-3)+(λ-3)=2(λ-3),故AC2+AD2=CD2,所以AC⊥AD.同理,BC⊥BD.于是无论A,B在CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.所以只要λ>12,总有A,B,C,D四点共圆.点评在解例3和例4时,都是先求出A,B,C,D四个点的坐标,然后以CD为弦,求出角CAD和CBD,并发现它们既相等又互补,于是得出A,B,C,D四点共圆.只是在求角时,例3利用向量数量积的定义,例4利用余弦定理(勾股定理是余弦定理的特例). 注意,如果两个角相等而不互补,则两点须在弦的同侧;如果两个角互补而不相等,则两点须在弦的异侧.四、找圆心证半径相等例5设p>0是一常数,若直线x-2y-2p=0与抛物线y2=2px交于A,B两点,又O为抛物线的顶点,C(0,4p)为定点,判断A,B,O,C四点是否可以共圆?解析若A,B,O,C四点共圆,则此圆的圆心应该是弦AB的垂直平分线与弦OC的垂直平分线的交点.设A(x,y),B(x,y),则它们的坐标同时满足方程x-2y-2p=0和y2=2px,将二式联立,消去x,得y2-4py-4p2=0.而弦AB的中点H的坐标为,,即H(6p,2p),则弦AB的垂直平分线方程为2x+y-14p=0.又弦OC的垂直平分线方程是y=2p,故圆心即为点H.又可得AB====4p,而易得OH=2p,CH=2p,即有OH=CH=AH=BH.所以A,B,O,C四点可以共圆.1. 已知椭圆+=1的两个焦点分别为F,F,问椭圆上是否存在点P,使△PFF的面积为1?若存在,这样的点P有几个?这些点P是否可能在同一个圆上?1. 由椭圆+=1,得FF=2c=2 .又由△PFF的面积S=|FF||y|=1,得|y|=1,即△PFF边FF上的高为1.而椭圆短半轴长为,故由椭圆的对称性,知满足条件的点有四个,P,P,P,P .且这四点到原点距离相等,故这四点共圆.。
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
证明同一条弦对应的圆周角相等
证明同一条弦对应的圆周角相等1. 引言哎，大家好！今天我们来聊聊一个看似神秘但其实蛮简单的几何问题——同一条弦对应的圆周角怎么都相等。
这不光是数学中的一个好玩小知识，也能让你在下次看圆形的时候多点自信。
我们先用几个小故事来把这个问题捋清楚，不妨把它当作一个游戏来玩。
2. 圆周角的基本概念2.1 圆周角是啥？简单来说，圆周角就是圆上任意两点连线所形成的角。
比如说你在一个圆形的披萨上选择两个切点，你在这些切点画出来的角度就是圆周角了。
举个例子，想象一下你在圆上标记了两个点，然后用这些点画个“弦”（就是连接这两个点的线）。
这个弦会把圆切成两个弯弯的部分，每个弯弯部分的中心角，就是你要关注的圆周角。
2.2 弦的概念弦啊，就是圆上的两个点之间的那条直线。
要是你对比一下，这些弦会把圆分成许多小块，每块里面都藏着不同的角。
这些角有时候可能看起来似乎是随意的，但实际上，圆周角有一个非常酷的属性——它们总是相等的，只要弦相同。
是不是有点神奇？别急，我们马上就来揭开这个神秘的面纱。
3. 证明过程3.1 画图帮助理解你可以先拿一张圆的草图，画出一个圆形，然后在圆上画一条弦。
比如你在圆上找了两个点A和B，用直线连接它们，形成一条弦AB。
接着，在圆的另一边找两个点C和D，同样用直线连接成另一条弦CD。
你会发现，这两条弦其实是一样的，只不过位置不同而已。
这样，你就有两个弦——AB和CD。
接下来，我们看看这些弦对应的圆周角。
3.2 圆周角的关系现在，我们要对比弦AB和CD所对应的圆周角。
我们可以用圆心角来帮忙解释。
圆心角是指圆心到弦两端点所形成的角。
圆心角跟圆周角有一种非常神奇的关系：圆心角的大小是圆周角的两倍。
听上去有点绕，但实际上，这意味着什么呢？就是说，只要两条弦一样长，它们所对应的圆周角也必然是相等的。
这个结果可以通过简单的几何推理和圆的性质得到。
4. 总结好了，我们的“几何大冒险”到这里也差不多要结束了。
你现在知道了，同一条弦对应的圆周角其实相等，这不仅是几何中的一个美妙定理，还能让你在数学中增加一些趣味。
圆周角
A
· O
B
练 习
1.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
A
O
1 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的 位置关系是________。
OC与BD的位置关系是________。 2 在上题中,若AC = 2cm,则AD = __cm。
P A
F
Q
B
证明：⑴延长AP与圆交于点E，连结BE。
∵圆周角∠AEB和∠AMB所对的弧都是 AB ⌒
∴∠AEB=∠AMB=α
∵∠APB是△BPE的外角 ∴∠APB＞∠AEB， 即∠APB＞α ⑵设AQ交圆于点F，连结FB。
E P
M
F
Q
∵圆周角∠AFB和∠AMB所对的弧都 A 是 AB ⌒
∴∠AFB=∠AMB=α。 ∵∠AFB是△BFQ的外角， ∴∠AEB＜∠AFB
圆的认识
复习：
1、圆心角的定义。 （顶点在圆心的角） 2、圆心角的度数与所对弧的度数之间
关系。 （相等）
如图： BOC
n
则弧BC也为n。
延伸 圆心角定理整体理解： (1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦 (4) 弦心距
量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。
B 知 一 得 三
α
Oα
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
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同弦所对的圆周角相等证明过程同弦所对的圆周角相等证明过程
圆是几何学中的重要概念，在圆中，有一个定理叫做“同弦所对的圆周角相等”。
在本文中，我们将详细讨论这个定理的证明过程以及其重要性。
证明过程：
假设在一个圆中，有两条弦AB和CD，并且它们相交于点E，于是可以发现，在两条弦所构成的图形中，存在两个相似的三角形。
具体来说，分别是∆AEB和∆CED。
由于它们是相似的三角形，所以可以得到：
AE/CE = BE/DE （对应边成比例）
∠AEB=∠CED（对应角相等）
而在同一个圆中，两个相似的三角形所夹的弧所对应的圆周角是相等的，因此弧AB和弧CD所对的圆周角也是相等的。
证毕。
上述证明过程是一个简单的几何学证明过程，其基本思想是利用相似三角形之间的对应边成比例和对应角相等的关系来推导同弦所对的圆周角相等。
这个定理具有重要意义，因为它可以用来解决一些几何问题。
例如，如果一个正多边形外接于一个圆，那么多边形各顶点所对的圆周角都是相等的，这是同弦所对的圆周角相等这一定理的一个重要应用。
此外，同弦所对的圆周角相等这一定理还可以应用到实际问题中，例如在绘制或修建圆形建筑物时，可以使用这一定理来计算墙体的旋转角度。
综上所述，同弦所对的圆周角相等定理是几何学中一个重要的定理，它的证明过程简单而容易理解，同时具有广泛的应用价值。