圆周角知识总结及证明1
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
《圆周角的定义及定理》
02 圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：圆周角定理是几何学中的基本定理之一，它表述了圆周角与其所夹弧 所对的中心角之间的关系。具体来说，对于同圆或等圆中的任意一个圆周角，其 所夹的弧所对的中心角等于这个圆周角。
圆周角定理的证明
总结词：逻辑严密
详细描述：圆周角定理的证明过程涉及到了角的相等性质和圆的性质。首先，通过角的相等性质，将 圆周角所夹的弧所对的中心角平分，得到两个相等的角。然后，利用圆的性质，证明这两个相等的角 与圆周角相等。
多少倍？
题目2
如果一个圆周角等于45度， 它所对的弦等于半径的多少倍
？
题目3
在圆中，如果一个圆周角等于 90度，它所对的弦与半径的
比值是多少？
综合练习题
总结词
考察圆周角定理与其他知识的综合运用
题目1
在圆中，如果一个圆周角等于60度，它所 对的弦与半径的比值为多少？同时求出这 个弦所对的弧的度数。
题目2
在圆或圆弧上选择一个点，作为 角的顶点。
通过该点和圆心画出射线，作为 角的边。
圆周角的分类
根据圆心与角的边的位置关系， 可以将圆周角分为三种类型： 优弧圆周角、劣弧圆周角和直 角圆周角。
根据角的度数，可以将圆周角 分为锐角、直角、钝角和优角 等类型。
根据角的数量，可以将圆周角 分为单角和复角等类型。
03 圆周角定理的推论
推论一：直径所对的圆周角是直角
总结词
直径所对的圆周角是直角，这是 圆周角定理的一个直接推论。
详细描述
根据圆周角的定义，我们知道直 径将圆分成两个相等的部分，因 此直径所对的圆周角必然是直角 。
推论二
总结词
在同一个圆或相等的圆中，如果两个 圆周角的大小相等，那么这两个圆周 角所对的弧也相等。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，圆周角的两个特征：一是顶点在圆上；二是两边都与圆相交。
例如，图中的∠APB 就是一个圆周角。
二、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
为了更好地理解这个定理，我们来看下面的例子。
假设圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，圆周角是∠ACB。
连接 OC，将∠AOB 分成两个角，即∠AOC 和∠BOC。
因为 OA ＝ OC，OB ＝ OC（圆的半径相等），所以∠OAC ＝∠OCA，∠OBC ＝∠OCB。
则∠AOC ＝ 180° 2∠OAC，∠BOC ＝ 180° 2∠OBC。
所以∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝ 180° 2∠OAC ＋ 180° 2∠OBC ＝ 360° 2（∠OAC ＋∠OBC）又因为∠ACB ＝ 180°（∠OAC ＋∠OBC）所以 2∠ACB ＝ 360° 2（∠OAC ＋∠OBC）即∠ACB ＝ 1/2∠AOB圆周角定理是圆中非常重要的一个定理，它为我们解决很多与圆相关的角度问题提供了依据。
三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角∠ACB 和∠ADB 相等。
这是因为它们所对的圆心角都是∠AOB，根据圆周角定理，它们都等于∠AOB 的一半，所以相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
我们来看半圆所对的圆周角。
在圆 O 中，半圆 ACB 所对的圆周角是∠ACB。
因为半圆所对的圆心角是 180°，所以根据圆周角定理，∠ACB ＝ 1/2 × 180°＝ 90°。
反过来，如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦就是直径。
假设∠ACB ＝ 90°，连接 AB，因为三角形 ABC 是直角三角形，所以 AB 是斜边，又因为圆中直径是最长的弦，所以 AB 是直径。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的世界中，圆周角定理是一个非常重要的概念，它为我们解决与圆相关的几何问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解圆周角定理的奥秘。
圆周角的定义首先得搞清楚。
圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
比如说，在一个圆中，顶点在圆上的角，如果它的两条边都与圆相交，那这个角就是圆周角。
圆周角定理指出：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这是个关键且核心的定理。
为了更好地理解这个定理，咱们来看几个具体的例子。
假设在一个圆中，有一段弧 AB，那么不管在圆周上取哪个点作为顶点，形成的圆周角的度数都是相等的，并且都等于弧 AB 所对圆心角的一半。
这个定理的证明其实也不难。
我们可以通过连接圆心和圆周角的顶点，然后利用三角形的内角和定理以及圆心角和圆周角之间的关系来进行推导。
圆周角定理有很多重要的推论。
比如，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
为什么说半圆（或直径）所对的圆周角是直角呢？因为半圆所对的圆心角是 180°，根据圆周角定理，它所对的圆周角就是 90°，所以是直角。
而 90°的圆周角所对的弦是直径，这是因为圆周角是 90°，那么它所对的圆心角就是 180°，而圆心角所对的弦就是直径。
在实际的解题应用中，圆周角定理及其推论的作用可大了。
比如，在证明一些直角三角形与圆的关系时，就经常会用到“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这个推论。
再比如，当我们已知圆周角的度数，要求圆心角的度数时，就可以直接运用圆周角定理来计算。
还有，在计算与圆相关的角度问题时，如果能够巧妙地运用圆周角定理，往往能够使问题变得简单明了。
另外，圆周角定理也和其他的几何定理相互关联。
比如，它和圆的内接四边形的性质定理就有着密切的联系。
圆的内接四边形的对角互补，而当其中一个角是圆周角时，通过圆周角定理和对角互补的性质，我们可以解决很多关于角度计算和证明的问题。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 圆周角 第1课时 圆周角定理及推论
证明：由圆周角定理推出∠ A ＝∠ C ，∠ D ＝∠B ，
在△ ADM 和△ CBM 中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ADM ≌△ CBM （ASA）.∴ AM ＝ CM .
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定理的 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 直角
推论 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
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图例
90°直径ຫໍສະໝຸດ 圆周角内容图例
①在圆中，利用“直径所对的圆周角是直
解题
角”构造直角三角形解题.
策略
②一条弦所对的圆周角有两种情况：相等
或互补.
当堂检测
1. 如图，已知圆心角∠ BOC ＝78°，则圆周角∠ BAC
的度数是（ C
）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
第1题图
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2. 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，若∠ A ＝
30°，则∠ B 的度数为（ B
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 15°
）
第2题图
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3. 如图， AB ， BC 是☉ O 的弦， AB ＝3，∠ ACB ＝
30°，则☉ O 的半径等于（
A. 1.5
B. 3
C. 4.5
D. 6
）
B
第3题图
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圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。
在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。
让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。
在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。
我们使用的单位是弧度，而不是度数。
弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。
现在，我们来看一个圆周上的任意角A。
假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。
我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。
这个等式是圆周角定理的基本公式之一。
接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。
假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。
因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。
这个结论可以进一步推广到任意个角度。
假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。
这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。
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圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：
同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
定理证明
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
定理推论：
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角
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