(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《定积分与微积分基本定理》理 新人教B版
高三数学一轮复习知识点归纳与总结：定积分与微积分的基本定理
届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：定积分与微积分的基本定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第十四节定积分与微积分基本定理[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143 C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33 |21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143.(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21 ＝12＋12＝1. (2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x＋cos x)4π＋(－cos x－sin x) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.[自主解答]∫10－x2＋2x d x表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2x d x＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．解：∫20－x2＋2x d x表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2x d x＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝∫x02sin⎝⎛⎭⎫π4－t d t＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－t|x0＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－x－2cosπ4＝sin x＋cos x－1＝2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4－1≤2－1，当且仅当sin⎝⎛⎭⎫x＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰错误!未找到引用源。
【聚焦典型一轮复习题】高三数学理科(人教B)一轮复习课件：定积分与微积分基本定理(49ppt)
点 面 讲 考 点
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第16讲 定积分与微积分基本定理
点面定积归 分纳 上下 总限 结、被 求积 曲函 边数 图， 形把的求面解积的的面关积键转是化画为出定草积图分，的 确 讲计算． 考 点
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双 向
[解析] (1)在定义中我们将区间[a，b]进行等分是为
固 了计算上的方便，实际上对区间[a，b]的分割是任意的，
基 础
这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即
可．
(2)当
n
n
n→＋∞时，和式 f(ξi)Δx＝
b－n af(ξi)无限接
i＝1
21＝ln2＋ln42－ln22＝ln2＋ln22.
面 讲 考
(3)∫π2π6cos2xdx＝∫2ππ61＋c2os2xdx＝12∫π26π(1＋cos2x)dx
点
＝12
＝12
＝12π2－π6＋12sinπ－sin3π＝π6－ 83. (4)根据定积分的几何意义，所求的定积分是圆 x2＋y2＝4 在
础 么定积分bf(x)dx 表示由直线 x＝_a___，x＝b____(a≠b)，
a
_y_=_0_____和曲线 y＝f(x)所表示的曲边梯形的面积．
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第16讲 定积分与微积分基本定理
双 向
三、定积分的性质
固
基 础
1．常数因子可提到积分号前，即bkf(x)dx＝_k__bf_(x_)_d_x_(k
[解析](1)本题考查定积分的应用，考查运算求解能力，容
易题．由题意得 a2＝a
高考数学一轮复习3.3定积分与微积分基本定理课件理新人教B版
上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思
想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应
平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭
解题心得计算定积分的步骤:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数
与常数的积的和或差.
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 求下列定积分:
(2)变力
M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的
10
功为 W= 1 F(x)dx=
(1)C (2)342
10
1
(x2+1)dx=
1
10
3
+
|
=342(J).
1
3
解析
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什
么?
解题心得利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键
C.
D.16 3 1 2
2 62
17
(1)质点在时间[1,2]内的位移为 1 (t -t+2)dt= - + 2
= .
3
2
高考数学一轮单元复习：第15讲定积分与微积分基本定理-PPT精选文档
第15讲 │ 知识梳理
知识梳理
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第15讲 │ 要点探究
要点探究
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第15讲 │ 规律总结 规律总结
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高考数学(理)一轮规范练【17】定积分与微积分基本定理(含答案)
课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练第33页一、选择题1.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于( )A. B. C. D.答案:A解析:由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=.2.设a=d x,b=1-d x,c=x3d x,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案:A解析:由题意可得a=d x=;b=1-d x=1-=1-;c=x3d x=,综上知a>b>c,故选A.3.设f(x)=f(x)d x的值是( )A.x2d xB.2x d xC.x2d x+2x d xD.2x d x+x2d x答案:D解析:由分段函数的定义及积分运算的性质知,f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2x d x+x2d x.4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.答案:A解析:s=(t2-t+2)d t=.5.如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.D.e2-2e+1答案:B解析:面积S=f(x)d x=(e x-e)d x=(e x-e x)=(e2-2e)-(e1-e)=e2-2e.6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分所示),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,故选D.二、填空题7.d x=.答案:π解析:设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x=×4π=π.8.(2013湖南高考)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:3解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=d x(n∈N*),则S100=.答案:ln101解析:由题意知a n=ln x=ln(n+1)-ln n,故S100=a1+a2+…+a100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=-ln1+ln101=ln101.三、解答题10.求由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积.解:在平面直角坐标系内,画出曲线y=x2+2x和直线y=x围成的封闭图形,如图所示,由得曲线与直线的两个交点的坐标分别为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为S=[x-(x2+2x)]d x==-.11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.因为f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2,所以即解得所以f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],当x=0时,f(x)取得最小值-4;当x=1或x=-1,f(x)取得最大值2.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影部分所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1),得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).由定积分的几何意义知:S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]d x+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]d x =-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
高考数学一轮总复习 3.4 定积分与微积分基本定理精品课件 理 新人教版
(2)曲线 y=cos x 0 ≤ ≤
(1) S=
A
2
0
(m- )dx=
3(2)面积为 3
π
2
0
3π
2
2 3
- 2
3
π
2
C.1
D.8
与坐标轴所围成的图形面积是
关闭
2
2
3
8
3
3
3
|
0 =m - m = ,解得 m=2.
关闭
cos x=3sin x|0 =3.
解析
解析
考点(kǎo diǎn)一
0
的图形的面积,故
1- 2 dx 的几何意义就是圆 x2+y2=1 在第一象限同坐标轴围成
1
0
π
4
1- 2 dx= .
(2)由题意可得曲线 y= 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积
2 3 2 3
S=
dx= 2 |0 = 2 =a2,
3
3
4
π
4
解得 a= .
(1) (2)
9
4
9
0
关闭
解析
解析
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第二十页，共28页。
答案
答案
(dá àn)
探究
(tànjiū)
突破
【例 3】 一物体做变速直线运动,其 v t 曲线如图所示,则该物体在
s~6 s 间的运动路程为
1
2
.
关闭
1
s~1 s 间,曲线的解析式为 v=2t;
3.4 定积分(jīfēn)与微积分
2014高考数学一轮复习课件_2.13定积分与微积分基本定理
b
a
x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 _______________________和曲线y＝f(x)所围成的曲边 梯形的面积． ②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，
则定积分bf(x)dx 表示介于 x 轴，曲线 y＝f(x)以及直线
a
x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即 b A1＋A3－A2－A4 f(x)dx＝________________________．
•第十三节 定积分与微积分基本定理
•1．定积分的概念与性质 •(1)定积分的定义： •如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a ＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等 分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任 取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作 •和式 _______________________________
∴S＝1(x－x2)dx，故选 B.
0
【答案】 B
3．设
x2 f(x)＝ x 2
（x≥0） ，则1 f(x)dx 的值是( （x＜0） －
1
)
A.1 x2dx
－ 1
B.1 2xdx
－ 1 0
C.0 x2dx＋12xdx
•【答案】 C
•利用定积分解决变速直线运动问题和变力做 功问题时，关键是求出物体做变速直线运动 的速度函数和变力与位移之间的函数关系， 确定好积分区间，得到积分表达式，再利用 微积分基本定理计算即得所求．
•设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向 从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方 向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做 的功为________J(x的单位：m，力的单位： N)． 10
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 定积分与微积分基本定理
答案：C
π π 2．由直线x＝－ 3 ，x＝ 3 ，y＝0与曲线y＝cosx所围成的 封闭图形的面积为( 1 A.2 3 C. 2 ) B．1 D. 3
解析： 3.
答案：D
3．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 C.3 1 B. 4 7 D.12
)
y＝x2， 解析：由 y＝x3，
a
b a
f1(x)dx±b f2(x)dx
a
c a
f(x)dx＋ b f(x)dx(其中a＜c＜b)
c
11 12 13 □F(b)－F(a) □F(x)|b □F(x)|b a a
名师微博 ●一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的 步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求 和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式 等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分 的建立并称为17世纪数学的三大成就．
4 即在t＝4 s时刻该质点距出发点 m. 3 (2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及 [3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4 s时的路 程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt
②一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、
a
曲线 y： f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数 和(图②中阴影所示)， 其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的 7 积分值 ，在 x 轴下 方的面 积等 于该区 间 上积分 值的 □ __________.
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[第16讲 定积分与微积分基本定理]
(时间：35分钟 分值：80分)
基础热身
1．∫π
20(x －sin x)d x 等于( )
A .π24－1
B .π
28－1 C .π28 D .π
28
＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )
A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－a
a f(x)d x ＝0
B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－a
a
f(x)d x ＝2⎠⎛0
a f （x ）d x
C ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f(x)d x>0
D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛a
b f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正
3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
，0≤x<1，
1，1<x≤2，则定积分⎠⎛0
2f(x)d x ＝( )
A .83
B ．2
C .43
D .1
3
4．曲线y ＝x 3
与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .1
2 C ．1 D ．2
能力提升
5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形
的面积为( )
A .12
B ．1
C .3
2
D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .712
7．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J
8．若y ＝⎠⎛0
x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )
A ．1
B ．2
C ．－72
D ．0
9．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝
⎛⎭⎪⎫8π
1－x 2＋6x 2d x ＝________．
10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0，
若f(f(1))＝1，则a ＝________．
11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2
，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．
12．(13分)计算下列定积分：
(1)⎠⎛0
3π1－cos 2x d x ；(2)⎠
⎛0
11
x 2＋3x ＋2d x ；
(3)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛0
1
()e x －e －x 2
d x.
难点突破
13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2
的切线PQ(Q 为切点)．
(1)求切线PQ 的方程；
(2)求证：由上述切线与y ＝x 2
所围成图形的面积S 与a 无关．
课时作业(十六)
【基础热身】
1．B [解析] ∫π
2
0(x －sin x)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π
20＝π2
8－1. 2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得． 3．C [解析] ⎠⎛0
2f (x )d x ＝⎠⎛0
1x 2d x ＋⎠
⎛1
21d x ＝13x
3
⎪
⎪⎪ )1
0＋x
⎪
⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积
A ＝2⎠
⎛0
1
(x －x 3)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12.
【能力提升】
5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y
＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：
S ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝ ) ⎪⎪⎪ )sin x ⎪⎪⎪ )π
3
－π3
⎪⎪⎪ )＝
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3，
故选D .
6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
，y ＝x 3
得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x 2
－x 3
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.
7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛0
0.06100x d x ＝
50x
2
⎪
⎪⎪ )
0.06
0＝0.18(J )． 8．B [解析] y ＝⎠⎛0
x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠
⎛0
x sin t d t ＋1
2⎠⎛0
x sin 2t d t ＝(－
cos t) ⎪
⎪⎪ )x 0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2t
⎪⎪⎪ )x 0
＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12
(cos x ＋1)2
＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.
9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛0
1⎝
⎛⎭
⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛0
11－x 2d x ＋2⎠⎛0
13x 2d x ＝8π×π4
＋2×x 3
⎪
⎪⎪ )1
0＝4.
10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ， x≤0得
f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧lg x ， x>0，x ＋a 3
， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3
＝1，∴a＝1. 11.163
[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2
＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y
＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－1
1(2x 2
＋4x ＋2)d x
＝23
(x ＋1)3
⎪
⎪⎪ )1－1＝163.
12．解：(1)⎠⎛
3π
1－cos 2x d x ＝⎠⎛
3π
2sin 2x d x ＝2⎠⎛
3π
⎪
⎪⎪
)sin x
⎪
⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π
3πs in x d x
＝－2cos x
⎪
⎪⎪ )π
0＋2cos x
⎪
⎪⎪ )2π
π－2cos x
⎪
⎪⎪ )3π2π
＝22＋22＋
22＝6 2.
(2)⎠⎛0
11x 2＋3x ＋2d x ＝⎠
⎛0
11x ＋1－1
x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)
⎪
⎪⎪ )1
0 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.
(3)⎠⎛1
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x
＝⎠⎛1
2x d x －2⎠⎛1
21d x ＋⎠⎛1
21
x
d x ＝12x 2
⎪
⎪⎪ )2
1－2x
⎪
⎪⎪ )2
1＋ln x
⎪
⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－
12
. (4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛0
1
(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x
)
⎪
⎪⎪ )10＝e ＋1
e －2. 【难点突破】
13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2
－1)，
设切点Q 的坐标为(x ，x 2
)，
由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x
2a －x
＝2x ，
解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.
所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2
＝0.
(2)S ＝⎠⎛a －1
a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠
⎛a
a ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2
]d x ＝23.
故所围成的图形面积S ＝2
3，此为与a 无关的一个常数．。