同弧所对圆周角相等逆定理
圆周角的定义和性质
圆周角的定义和性质
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
具有下列性质：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论③：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．。
圆周角定理的证明
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
AD
我们可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
2
2
B
∴ ∠ABC= 1∠AOC.
2
同样我们可以写出这个命题： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
同样可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●Oபைடு நூலகம்B
∠ABD =1 ∠AOD,∠CBD =1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
我们同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，
A C
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
圆内接四边形的性质与判定定理
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
∠DGF = ∠A +∠AEG,
A
B
而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
GF
E
D
C
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考:
任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么?
需要具备 什么样的 条件呢？
等腰梯形呢?为什么?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵AC ⊥ BD,
A
H
∴FG ⊥ GH.同理可证，HE ⊥ EF.
E
D
∴∠HEF +∠FGH = 180o.
G
∴F、G、H、E四点共圆.
B
F
3.如图，∵A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A.
C
∵∠CFG = ∠FCE +∠CEF,
过D就证明了.
O C
显然，点D与圆有且只有三种位置关系：
蝴蝶模型的四大结论记忆口诀
蝴蝶模型的四大结论记忆口诀
蝴蝶定理（butterfly theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在年，由w.g.霍纳提出证明。
而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。
这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
霍纳证法
过o作ol⊥ed，ot⊥cf，像距为l、t，
连接on，om，os，sl，st
所述∠f=∠d；∠c=∠e（同弧所对的圆周角成正比）
△esd∽△csf（aaa）
∴ds/fs=de/fc
根据垂径定理得：dl=de/2，ft=fc/2
∴ds/fs=dl/ft
又∵∠d=∠f
∴△dsl∽△fst
∴∠sld=∠stf
即为∠sln=∠stm
∵s是ab的中点所以os⊥ab（垂径定理逆定理）
∴∠osn=∠oln=90°
∴o，s，n，l四点共圆（对角互补的四边形共圆），
同理，o，t，m，s四点共圆
∴∠stm=∠som，∠sln=∠son（同弧所对的圆周角相等）
∴∠son=∠som
∴∠ots=∠oms，∠ols=∠ons（同弧所对的圆周角相等）
∴∠oms=∠ons
∵os⊥ab
∴在△osm和△osn
∠mso=∠nso
∠oms=∠ons
os=os
∴△som≌△son（aas）
∴ms=ns
作图法
从x向am和dm作垂线，设垂足分别为x'和x''。
类似地，从y向bm和cm作垂线，设垂足分别为y'和y''。
圆周角定理及推论
4.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交 DC于F．求证：∠AMD=∠FMC．
3．提示：连接MB．因为AB是⊙O的直径，所以 提示： 提示 ∠AMB=∠
从而∠AMD=∠FMC．
5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一 条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F， DB交AC于G．求证：AF=FG．
2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 如图， 中 、 垂直相交于点 如图 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度 ，求证： ＋ ＝ 度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＋ ＝ ∠ ＝2∠2+2∠ABD ∠ ∠ ＝2（∠2+∠ABD） （ ∠ ） ＝2 ×900 ＝1800
3.如图，在梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°，以A为圆心 ，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点， 并交BA延长线与G，求弧BF的度数
练习
求圆中角X的度数
120° O A
.
B A
70° x
O X
.
推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，他们所对的弧一定 相等。
推论2
直径（半圆）所对的圆周角是 直角
推论3
如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三 角形是直角三角形
圆周角 定理及推论
圆周角定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
几何语言：
苏教版九年级圆周角定理
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠4．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个． 5．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。
如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，O 为△ABC 的外心，△ABC 是⊙O 的内接三角形。
说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。
以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。
6．三角形的“四心”三、典型例题1、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．3．如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF上的任意一点，则PA +PC 的最小值为 .4、在△ABC 内，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆盖△ABC 的圆的最小半径长5.如图，△ABC 内接于⊙O ， D 为BC 上一点,且AD=5,CD=3,AC=7,AB=103求△ABC 的外接圆的面积6. 已知AD 是△ABC 的外接圆直径，CE ⊥AD 交AD 于F ，交AB 于E ，求证AC 2＝AB ·AEOEDCBAOBD CA图27、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形．8、如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC∥BD．9、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。
课件3：一 圆周角定理
再见
点评：当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相似．
3．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E， 求证：ABEE＝ABDC.
︵︵ 证明：由AB＝AB， 得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，即ABEE＝ABDC.
4．如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求 证∠ACB＝2∠BAC. 分析：利用圆周角定理证明． 证明：∵∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
►变式BC＝4 cm,则OD ＝__2_c_m____． 2.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD＝4,BD＝8,圆 O的半径r＝___5_____．
题型二 证明问题
例2 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证： ∠BAE＝∠DAC. 分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直 角．因此，连接BE，得到∠ABE＝90°.同时，在△ABE与 △ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论 得以证明． 证明：如图，连接BE.
一 圆周角定理
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等. 推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的 弦是直径
题型一 角、弦、弧长计算
例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB,求此弦所对 的圆周角. 解析：如图所示，
【正解】根据题意画出大致示意图如图所示，∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角，∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角． ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，∴∠D＝150°， ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°，所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点：对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一 条弦所对的圆周角应有两种情况．
圆周角与圆心角的关系知识点
圆周角与圆心角的关系知识点
圆周角与圆心角的关系是圆中一个重要的性质，以下是其相关的知识点：
1.圆周角和圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
即，如果设圆心角为A，圆周角为B，则有 B = A/2。
2.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等。
3.特殊情况：直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
6.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
7.圆心角的定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
以上是关于圆周角与圆心角关系的重要知识点，对于理解并应用这些性质，有助于更好地理解和应用圆的性质。