圆周角的性质
《圆周角的性质》教学案例
《圆周角的性质》教学案例[教学目标]：知识目标：能明白得分三种情形证明圆周角定理的过程，向学生渗透化归思想。
能力目标：使学生进一步体验通过观看能够发觉数学问题，并通过猜想、类比、归纳能够解决问题，渗透分类转化思想。
情感目标：注重激发学生的积极性，使他们勇于自主探究，乐于与人合作交流，体验探究的欢乐和数学思维的美感，提高思维的品质。
[教学过程]：一、以旧引新，看谁连的快屏显三个与圆有关的几何图形：(1) 顶点在圆上，两边都和圆相交的角。
(2) 顶点在圆心的角。
(3)圆上两点间的部分。
要求学生将他们和相对应的概念进行连线。
二、动手游戏，看谁找得多屏显游戏规则：1、拿出预备好的纸板，在圆上固定四个点A、B、C、D。
2、用橡皮筋两两连接A、B、C、D四个点。
3、在连结的图形中一共有多少个圆周角?4、比一比看哪个小组连得快，连得多，请各小组作好记录。
5、完成后进行展现，持不同意见的小组可随时补充。
(学生分小组合作完成，教师参与小组活动，给予指导，学生展现找出的圆周角。
)三、提出问题，引入新课：问题1：这四大类12个圆周角中，弧所对的圆周角有多少个?问题2：弧ADC所对的圆周角又有几个?分别是什么?问题3：什么缘故弧所对的圆周角有两个?而弧ADC所对的圆周角却只有一个?学生活动：学生进行小组讨论、交流教师活动：巡视、点拨、评判、板书[板书]：性质1：一条弧所对的圆周角有许多个，而每个圆周角所对的弧是唯独确定的。
四、动手实验，看谁猜得对1、问题启发：圆周角和圆心角是不同的角，同时有不同的性质，但只要它们对着同一条弧，彼此之间就有着一定的关系。
怎么说两者之间存在着什么关系呢?下面请看图形(电脑展现)学生活动：小组实验，在白纸上任意画一个圆，呼出同弧所对的一个圆心角和一个圆周角。
利用量角器量圆周角和圆心角的度数，并填写实验报告。
教师活动：巡视、点拨、鼓舞学生大胆猜想，激发学生的探究精神。
(师生互动，每组派一名代表上台展现实验结果，教师用几何画板软件动态测量出AOB和ACB的度数，进一步验证学生的猜想。
圆周角复习
1第2节 圆周角【知识整合】知识点一 圆周角的概念和性质 1．圆周角的定义顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角； 2．圆周角定理1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的的一半。
2．直径（或半圆）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是。
3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 。
知识点二 圆内接四边形的性质1．在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
2．圆内接四边形的 。
3．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。
知识点三 相交弦定理1．圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA·PB=PC·PD （相交弦定理）2．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC 2=PA·PB （相交弦定理推论）【实战演练】知识点一 圆周角的概念和性质 题型一 圆周角的性质与推论1：如图1所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小 为（ ）A. 40°B. 30°C. 45°D. 50°2.：如图2所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为 （ ） A.23cm B. 3cm C. 23cm D. 9cm3：如图3所示AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为圆上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=.4.：如图4所示，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为（）A. 22B. 4C. 23D. 55：如图所示，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是的中点，则∠PAB=（）A. 35°B. 40°C. 60°D. 70°第3题图第4题图第5题图6：将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15︒B．28︒C．29︒D．34︒第6题图第7题第8题＊7：如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠CAE=80°，则∠B+∠F的度数为（）A、220°B、240°C、260°D、280°8：如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠B=55°，AO∥DC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°9：如图，点A、B、C、D在⊙○上，∠ADC=∠BDC=60°，则图中有对相似三角形.第9题图第10题图第11题图10：已知，如图⋂BC与⋂AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°211.：如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD＝DO．以O为圆心，OD长为半作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_．12: 如图所示，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC、AC，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与CD的延长线交于点G. 求证：BC2=BG·BF13:如图，AB是⊙○的直径，AE是弦，C是⌒AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G,求证CF=GF.14:如图，AB为⊙○的直径，弦PQ⊥AB于C，弦QR交AB于S，求证PB平分∠SPR.GEFDA BCO3题型二圆周角定理的拓展应用15：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A、45°B、40°C、25°D、20°第16题图第17题图第18题图16：如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A、45°B．30°C、75°D、60°17：如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A、60°B、100°C、80°D、130°18：如图，⊙O中，AD、BC是圆O的弦，OA⊥BC，∠AOB=50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）A、25°B、65°C、45°D、55°第19题图第20题图19：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．27°B．36°C．46°D．63°20：如图，已知过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠ABC=°．21如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，过F作FH⊥BC，垂足为H．若AB=8，则FH的长为．4第21题图第22题图22：已知，如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E，下面判断中：①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；②当△ODE是等边三角形，△ABC为等边三角形；③当∠A=45°时，△ODE是直角三角形；④当△ODE是直角三角形时，∠A=45°．正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个23：如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD的弦心距等于（）A 、B、3 C 、D、4第23题图第24题图第25题图24：（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A、10.5B、7﹣3.5C、11.5D、7﹣3.525如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C 为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是_________.26:如图所示，等边三角形ABC的顶点A、B、C在⊙○上，点P在⌒BC上，Q为CP延长线上一点，PQ=PB.(1)求证△PBQ是等边三角形；(2) CQ=AP吗？请加以证明.527:如图所示，已知⊙O的弦AB、CD互相垂直，OE⊥AD于点E，求证：BC＝2OE28:已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且CB CD，CF⊥AB 于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)试说明：DE＝BF；(2)若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．29:如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．6730:已知：如图，∆ABC 错误!未找到引用源。
圆周角的定义和性质
圆周角的定义和性质
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
具有下列性质：(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论③：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．。
优弧所对圆周角
优弧所对圆周角一、优弧和圆周角的定义优弧是圆上任意两点之间的弧，而圆周角则是以圆心为顶点所对的圆弧所对应的角度。
在圆内部，同一条弦所对应的圆周角相等，而在圆外，同一条割线所对应的圆周角相等。
二、优弧所对圆周角的性质1.优弧所对圆周角的大小是一致的，也就是说，如果有两个优弧相等，则它们所对的圆周角也是相等的。
2.在同一个圆上，如果圆周角相等，则它们所对的优弧也是相等的。
反之，如果两个优弧相等，则它们所对的圆周角也是相等的。
3.对于同一个圆上的任意一点P，它所对应的圆周角必须等于以P为起点的两个切线所围成的角度的一半。
也就是说，圆周角等于该点所在的圆的切线所围成的角度的一半。
4.如果有一个圆心角等于90度，则所对的圆周角是一个半径的长度，也就是若这个圆心角所对的弧为AB，则所对的圆周角为∠AOB=1（其中O为圆的圆心，OA为半径）。
三、基本推导方法1.将原来给出的优弧所对的圆周角分成两个圆心角。
2.利用等边弧的性质，把对应的圆心角分别对应到属于同一个圆弧的两个相等的圆周角上。
3.用“等弧等角”和“相交弧角相等”来推出优弧所对的圆周角的大小。
举个例子，如下图所示，已经知道弧BC=弧DA，因此∠BCD=∠DAB，而∠BDC+∠A=180°，所以∠BDC=1/2（∠BCD+∠DAB）。
据此，可以推出优弧DC所对的圆周角的大小。
四、优弧所对圆周角的应用在求解有关圆的问题时，优弧和圆周角是非常重要的概念。
例如，在计算圆的弧长和面积时，就需要用到圆周角；而在以圆的弧长和半径为参数求解圆的面积时，就需要用到优弧的概念。
此外，在计算圆的切线和割线的长度时，优弧所对圆周角的性质也是不可少的。
通过利用“圆周角等于该点所在的圆的切线所围成的角度的一半”的性质，可以直接求出切线的长度，从而简化计算过程。
第3章圆 题型解读4 五大性质定理之圆周角定理-北师大版九年级数学下册
题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。
圆周角和周角
圆周角和周角
【最新版】
目录
1.圆周角和周角的定义
2.圆周角和周角的关系
3.圆周角和周角的应用
正文
一、圆周角和周角的定义
圆周角是指以圆心为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。
根据圆周角的定义，我们可以知道，圆周角有两个特点：一是它的顶点在圆心，二是它的两条边分别与圆周相交。
周角是指以两条相交线段所构成的角，它的特点是角的两边是线段，角顶点在两条线段的交点处。
二、圆周角和周角的关系
圆周角和周角有着紧密的关系。
根据圆周角定理，同一圆周上的圆周角都相等，即如果两个圆周角都在同一个圆周上，那么这两个圆周角就相等。
另外，根据周角定理，如果两个周角的两边分别相等，那么这两个周角就相等。
三、圆周角和周角的应用
在实际生活和学习中，圆周角和周角都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆周角常常被用来确定建筑物的形状和大小，周角则常常被用来确定建筑物的角度和方向。
在数学研究中，圆周角和周角的性质和定理常常被用来解决各种数学问题。
总的来说，圆周角和周角是几何学中非常重要的两个概念，它们既有着各自的特点和性质，又有着紧密的联系和应用。
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圆上圆周角的关系
圆上圆周角的关系圆上的圆周角是指以圆心为顶点的角，它与圆上的弧所对应的关系是圆周角的基本性质之一。
在几何学中，圆周角的大小与所对应的弧长成正比，具体关系可以通过弧度制和角度制来描述。
我们来介绍圆周角的弧度制。
在弧度制中，圆周角的大小用弧长所占的比例来表示。
当圆的半径为r时，圆周长为2πr。
因此，一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。
根据这个关系，我们可以得出一个重要结论：圆周角为1弧度时所对应的弧长等于圆的半径。
接下来，我们来介绍圆周角的角度制。
在角度制中，圆周角的大小用角度来表示。
一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。
根据这个关系，我们可以得出一个重要结论：圆周角为1度时所对应的弧长等于圆周长的1/360。
除了以上的基本关系外，圆周角还具有一些重要的性质。
圆周角的大小只与所对应的弧长有关，而与圆的半径无关。
这意味着，如果两个圆上的弧长相等，那么它们所对应的圆周角也相等。
这一性质对于解题非常有用，因为我们可以通过比较弧长来判断圆周角的大小。
当两个圆上的弧交叠时，它们所对应的圆周角之和等于两个弧所对应的圆周角之和。
这一性质可以通过画图来直观地理解。
例如，当两个圆上的弧重合时，它们所对应的圆周角之和为360度。
当两个圆上的弧互补时，它们所对应的圆周角之和等于180度。
这一性质也可以通过画图来理解。
例如，当两个圆上的弧的长度之和等于圆周长时，它们所对应的圆周角之和为180度。
圆周角还可以通过弧度制和角度制进行转换。
根据定义，一周的角度为360度，对应的弧长为2πr。
因此，1度对应的弧度为π/180。
我们可以通过这个关系来进行角度和弧度的转换。
圆上的圆周角与所对应的弧长有着密切的关系。
圆周角的大小可以通过弧度制和角度制来描述，它们之间的转换可以通过一些简单的关系来实现。
在解题时，我们可以利用圆周角的基本性质来简化计算，提高解题的效率。
因此，掌握圆周角的相关知识对于几何学的学习和应用非常重要。
圆周角
B
即∠AQB＜α
例4:如图,圆O中,AB是直径,半径CO AB,D 是CO的中点,DE // AB,
求证:EC=2EA. C E D O B
A
1 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的 位置关系是________。
OC与BD的位置关系是________。 2 在上题中,若AC = 2cm,则AD = __cm。
A
C
B
D
求证：⌒ BD ⌒ AC= 证明：连结AD。
∵AB∥CD， ∴∠D=∠A ∵⌒ 所对的圆周角是∠D，⌒ AC BD ∴ AC = ⌒ ⌒ BD
所对的圆周角是∠A
五:例题讲解:
例 1: 如图，P是 圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。 A P 证明：∵∠ABC和∠APC 都是 ⌒ 所对的圆周角。 · AC O ∴∠ABC=∠APC=60° C B (同弧所对的圆周角相等） 同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对的圆周角，
4.求圆中角X的度数。 35°
O
A
120°
O
120°
.
B A
70° x
O X
.
A C
B
5.如图，圆心角∠AOB=100°，则 ∠ACB=___。 130°
6、 如图，在直径为AB的半圆中，O 为圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=_________ 25°
7:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点, 若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
图 23.1.10
证明你的猜想:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC 因此∠C=∠BAC C 而∠BOC=∠BAC+∠C 1 ∠BOC 所以∠BAC= 2
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圆周角的性质
圆周角是指以圆心为顶点的角。
在研究圆周角的性质之前，我们先
来了解一下什么是圆上的弧。
一、圆上的弧和弦
在圆上任意取两点，这两点所对应的弧，称为圆上的弧。
连接圆上
任意两点的线段，称为圆上的弦。
二、圆周角的定义
圆周角是由圆上的两条弧所夹的角。
圆周角通常用大写字母表示，
且常以所对应的弧的两个端点字母的顺序排列。
例如∠ABC表示由弧AC和弧BC所夹的圆周角。
三、圆周角的性质
1.弧所对应的圆周角相等
在同一个圆内，若有两条弧所对应的圆周角相等，则这两条弧相等。
即如果∠ABC = ∠ADC，则弧AC = 弧CD。
2.圆周角的度数与所对应的弧的度数相等
一个圆的度数为360°，所以一个圆周角的度数不会超过360°。
如果一个圆周角的度数为x°，则它所对应的弧的度数也为x°。
3.同弧对应的圆周角相等
在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弧，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DBC，则∠ACB = ∠DCB。
4.圆周角的补角相等
若一个圆周角的度数为x°，则它的补角的度数为(360 - x)°。
即
∠ABC + ∠DBE = 360°，其中∠ABC和∠DBE是互为补角的两个圆周角。
5.同弦对应的圆周角相等
在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弦，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DEB，则∠ACB = ∠DEB。
综上所述，圆周角具有相等的补角、相等的度数、相等的弧以及相等的圆周角所对应的弦等性质。
在解题时，我们可以根据这些性质进行角度的计算和推导。