考点14 圆周角(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点14圆周角【知识点梳理】圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，AC，若26OCA∠=︒，则BOC∠=（）A．60°B．56°C．52°D．48°【答案】C【分析】先说明OA=OC,进而得到⊙BAC=⊙OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上⊙OC =OA⊙⊙BAC =⊙OCA =26°⊙BOC ∠=2⊙BAC =52°．故选C ．【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆周角定理成为解答本题的关键． 2．如图，在Rt ⊙ACB 中，⊙ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，若以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．125B ．135C ．245D ．5【答案】C【分析】根据勾股定理求得AB 的长，然后根据直径所对圆周角为90︒得到90ADC ∠=︒，然后根据三角形面积即可求解．【详解】在Rt ⊙ACB 中，22226810ABAC BC ， ⊙AC 为O 的直径，⊙90ADC ∠=︒，⊙1122ABC S AC BC AB CD ==， ⊙6824105AC BC CD AB ⨯===， 故选C ． 【点睛】考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断90ADC ∠=︒．3．如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，D 是弧BC 的中点，E 是AC 的中点．若CD =6AC =，则DE =（ ）AB ．5CD ．【答案】A 【分析】连接OC 、BC 、OE 、BD ，OE 交O 于F ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，如图，先根据垂径定理得到OD BC ，OE AC ⊥，再计算出90DOF ∠=︒，设O 的半径为r ，则3DG r =-，利用勾股定理得到=5r ，然后利用勾股定理计算DE 的长．【详解】解：连接OC 、BC 、BD ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，⊙D 是弧BC 的中点，⊙OD BC ，BD CD ==BOD COD ∠=∠，⊙E 是AC 的中点，⊙OE AC ⊥，AF CF =，⊙AOF COF ∠=∠， ⊙1180902DOF ∠=⨯︒=︒， ⊙OA OB =，BG CG =，⊙//OG AC ，132==OG AC ， 设O 的半径为r ，则3DG r =-，在Rt OBG 中，2223BG r =-，在Rt DBG △中，(()2223BG r =--，⊙(()22293r r -=--， 解得：12r =-（舍去），35r =，⊙5OD =，⊙4BG =，易得四边形OGCE 为矩形，⊙4OE CG BG ===，在Rt DOE 中，DE =故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．4．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得⊙D ＝⊙CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出⊙BCE ＝60°，可得⊙A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出⊙BDC ＝⊙CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，⊙ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙⊙CBE ＝⊙ADC ，⊙BCE ＝⊙A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=⊙:2:1ABC CBE ∠∠=⊙⊙CBE ＝⊙ADC=60°，⊙CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙⊙BCE ＝⊙A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙⊙CDB ＝⊙DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．5．如图，AB 为圆O 的直径，且AB =8，C 为圆上任意一点，连接AC 、BC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，以BC 为边作正方形BCEF ，连接DE ．若AC 为a ，BC 为b ，DE 为c ，则下列关系式成立的是（ ）A ．260ab c +=B ．2222a b c +=C ．2223a c b +=D ．264ab c +=【答案】D 【分析】延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，在⊙E CM 中，分别表示出EM 和CM ，得到DM ，在⊙DEM 中，利用勾股定理得到222a b ab c ++=，结合直径AB =8即可得到结果．【详解】解：延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，⊙AB 为圆O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙四边形BCEF 为正方形，⊙⊙BCE =90°，即A ，C ，E 三点共线，⊙⊙ACD 为正三角形，⊙⊙ACD =60°，⊙⊙E CM=60°，在⊙E CM 中，EM =EC ·sin60°=2b ， CM=EC ·sin30°=12b ， ⊙DM =DC +CM=a +12b ， 在⊙DEM 中，222DM EM DE +=，⊙22212a b c ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得：222a b ab c ++=，⊙AB =8，⊙222264AC BC a b +=+=，⊙264ab c +=，故选D ．【点睛】考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a ，b ，c 的关系式222a b ab c ++=．6．如图，AB 与CD 是O 的两条互相垂直的弦，交点为点P ，70ABC ∠=︒，点E 在圆上，则BED ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB CD ⊥，⊙90BPC ∠=︒，⊙70ABC ∠=︒，⊙180180709020BED BCP ABC BPC ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图，点A ，D ，B ，C 是圆O 上的四个点，连接AB ，CD 相交于点E ，若38BOD ∠=︒，132AOC ∠=︒，则AEC ∠的度数为（ ）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C【分析】首先连接BC ，根据⊙BOD 和⊙BCD 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙BCD 的度数，再根据⊙AOC 和⊙ABC 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙ABC 的度数，再根据三角形的外角，得出⊙AEC =⊙EBC +⊙ECB ,即可求出⊙AEC 的度数．【详解】连接BC ，⊙BOD ∠ 和BCD ∠ 是BD 所对的圆心角和圆周角， 11381922BCD BOD ,又AOC ∠ 和ABC ∠ 是AC 所对的圆心角和圆周角， 111326622ABC AOC ,又⊙⊙AEC 是⊙BEC 的外角，⊙196685AECEBC ECB , 故选：C ．【点睛】考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．8．如图，O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，则BOP ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．90︒C ．92︒D ．109︒【答案】C【分析】根据圆周角定理可得2134AOB ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】 解：O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，2134AOB ACB ∴∠=∠=︒点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，1344292BOP AOB AOP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，20ABC ∠=︒，则ACD ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出⊙CAD =90°，根据直角三角形两锐角互余得到⊙ACD 与⊙D 互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙D 的度数，继而求得⊙ACD 的度数． 【详解】解：⊙CD 是⊙O 的直径， ⊙⊙CAD =90°， ⊙⊙ACD +⊙D =90°． ⊙⊙ADC =⊙ABC =20°， ⊙⊙ACD =90°-⊙ADC =70°． 故选：D ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，ABC 内接于O ，其外角BAE ∠的平分线交O 于点D ，点A 为弧CD 的中点．若28ABC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．84°B ．85°C ．86°D ．88°【答案】A连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，根据圆周角定理得出28AFC DFA ∠=∠=︒，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出BAF ∠度数，进一步计算可得ACB ∠的度数． 【详解】解：连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，⊙AF 是直径，⊙90ACF ADF ∠=∠=︒，⊙点A 为弧CD 的中点，28ABC ∠=︒， ⊙=28DFA AFC ∠=∠︒， ⊙62FAD FAC ∠=∠=︒，⊙180626256DAE ∠=︒-︒-︒=︒， ⊙AD 平分BAE ∠， ⊙56DAB DAE ∠=∠=︒，⊙62566BAF FAD DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ⊙6BCF ∠=︒，⊙90684ACB ∠=︒-︒=︒，【点睛】考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．11．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ． 【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点， ⊙⊙ACB =90°， ⊙⊙ABC =25°， ⊙⊙BAC =90°-25°=65°， ⊙⊙BDC =⊙BAC =65°， 故选：D ．【点睛】考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 12．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上．40OCA ∠=︒．则BOC ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．50︒【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性质得到⊙A ＝⊙OCA ＝40°，然后根据圆周角定理得到⊙BOC 的度数． 【详解】 解：⊙OC ＝OA ， ⊙⊙A ＝⊙OCA ＝40°， ⊙⊙BOC ＝2⊙A ＝80°． 故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 二、填空题13．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3【分析】根据正方形的性质得到⊙ADC＝90°，推出⊙DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙ADC＝90°，⊙⊙ADF＋⊙CDF＝90°，∠∠，⊙ADF=DCF⊙⊙DCF＋⊙CDF＝90°，⊙⊙DFC＝90°，⊙点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，⊙⊙G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，⊙OG＝9，⊙OP=，⊙FP＝3，⊙BE＋FE的长度最小值为3，故答案为：3．【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，⊙CEB=60°，求⊙CAB的度数________.【答案】35°【分析】根据圆周角定理，可得：⊙A-⊙C=10°；根据三角形外角的性质，可得⊙CEB=⊙A+⊙C=60°；联立两式可求得⊙A的度数．【详解】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，⊙两弧所对圆心角相差20°，⊙2⊙A-2⊙C=20°，⊙⊙A-⊙C=10°…⊙；⊙⊙CEB是⊙AEC的外角，⊙⊙A +⊙C =⊙CEB =60°…⊙； ⊙+⊙，得：2⊙A =70°，即⊙A =35°． 故答案为：35°．【点睛】考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．15．如图，点A ，B ，C 在O 上，50B C ∠+∠=︒，则BOC ∠的度数为______．【答案】100︒【分析】根据点A 、B 、C 在圆上，利用等腰三角形性质，可得⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】 解：连结OA ，点、、A B C 在O 上， ⊙OA =OB =OC ，⊙⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ， ⊙50B C ∠+∠=︒，⊙50BAC OAB OAC B C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，2100BOC BAC ∴∠∠︒＝＝．故答案为：100︒．【点睛】考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 16．如图，在O 中，55,15CBO CAO ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的度数是______°．【答案】80【分析】首先连接OC ，由OA ＝OC ＝OB ，可得⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°，继而求得⊙ACB 的度数，然后由圆周角定理，求得⊙AOB 的度数． 【详解】 解：连接OC ， ⊙OA ＝OC ＝OB ，⊙⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°， ⊙⊙ACB ＝⊙BCO −⊙ACO ＝40°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝80°． 故答案是：80．【点睛】考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD 内接于O ，则有______．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．（2）已知，如图2，四边形ABCD 内接于O ，BD 平分ABC ∠，120COD ∠=︒，求证：BD AB BC =+．【答案】（1）AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅；（2）见解析 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接AC ，通过证明⊙ACD 是等边三角形，可得AC =AD =CD ，由AC•BD=AB•CD+BC•AD ，可求解．【详解】解：（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接AC⊙120COD ∠=︒，⊙60CBD CAD ∠=∠=︒⊙BD 平分ABC ∠⊙60ABD CBD ∠=∠=︒⊙60ACD ∠=︒⊙ACD △是等边三角形⊙AC AD CD ==，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形⊙AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅⊙BD AB BC =+．【点睛】考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．18．如图，等边三角形ABC 内接于O ，D 是BC 上一动点，连接AD ，BD ，CD ，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）填空：⊙若1BD =，2CD =，则AD 的长为____________；⊙当BAD ∠的度数为_________时，四边形OBDC 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙3；⊙30°．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，根据圆周角定理可得⊙CBD =⊙CAD ，⊙ABC =⊙ADC ，根据角的和差关系及外角性质可得⊙ABD =⊙ACE ，利用SAS 可证明⊙ABD ⊙⊙ACE ，可得AD =AE ，即可得⊙ADE 是等边三角形；（2）⊙根据线段的和差关系可得DE 的长，由（1）可知⊙ADE 是等边三角形，可得AD =DE ，即可得答案；⊙如图，连接OB 、OC ，根据圆周角定理可知⊙BOC =2⊙BAC =120°，根据等腰三角形的性质可得⊙OCB =30°，根据菱形的性质可得⊙BCD =30°，根据圆周角定理可得⊙BAD =⊙BCD =30°，可得答案．【详解】（1）⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，⊙⊙CBD 与⊙CAD 是CD 所对的圆周角，⊙⊙CBD =⊙CAD ，同理可得：⊙ABC =⊙ADC =60°，⊙⊙ACE=⊙ABC+⊙CBD=⊙ABD，在⊙ABD和⊙ACE中，AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ABD⊙⊙ACE，⊙AD=AE，⊙⊙ADE是等边三角形．（2）⊙⊙BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，⊙DE=3，⊙⊙ADE是等边三角形，⊙AD=DE=3．故答案为：3⊙如图，连接OB、OC，⊙⊙BAC和⊙BOC分别是BC所对的圆周角和圆心角，⊙⊙BOC=2⊙BAC=120°，⊙OB=OC，⊙⊙OCB=30°，⊙四边形OBDC为菱形，⊙⊙BCD=⊙OCB=30°，⊙⊙BAD和⊙BCD都是BD所对的圆周角，⊙当BAD ∠的度数为30°时，四边形OBDC 为菱形．故答案为：30°【点睛】考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19．小亮在学习中遇到如下一个问题：如图1，点C 是半圆AmB 上一动点，线段AB =6，CD 平分ACB ∠，过点A 作//AD BC 交CD 于点D ，连接BD ．当BCD △为等腰三角形时，求线段AC 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC 的长度作为自变量x ，BC ，BD 和CD 的长度都是x 的函数，分别记为BC y ，BD y 和CD y ．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C 在半圆AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC ，BC ，BD 的长度，得到下表的几组对应值：⊙上表中a 的值是______⊙操作中发现，“无需测量线段CD 的长度即可得到CD y 关于x 的函数解析式”．请直接写出CD y 关于x 的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy 中画出了函数BD y 的图象，如图2所示．⊙请在同一个坐标系中画出函数BC y 和CD y 的图象；⊙结合图象直接写出当BCD △为等腰三角形时，线段AC 长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1）⊙4.0；⊙CD y；（2）⊙见解析；⊙2.7或4.2 【分析】（1）⊙根据直径所对的圆周角是直角，得到⊙ACB 是直角三角形，用勾股定理求出边长即可；⊙根据等腰直角三角形三角形的性质，再根据勾股定理求出即可；（2）⊙根据条件画出图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，利用勾股定理求出边长即可．【详解】解：（1）⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，由勾股定理得：BC=当AC=4.5时， 3.96BC=，⊙a≈4.0；⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CD平分ACB∠，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，AD BC，⊙//⊙⊙ADC=⊙BCD=45°，⊙AC=AD，⊙⊙CAD=180°-⊙ADC-⊙BCD=90°，⊙⊙ACD是等腰直角三角形，⊙CD，y=⊙CD（2）⊙如图所示．⊙当BC=BD时，BC与BD即为交点，AD BC，⊙⊙ACB=90°，//⊙⊙CAD=90°，⊙⊙ADC=⊙BCD，⊙CD平分ACB，⊙⊙ACD=⊙BCD，⊙⊙ACD=⊙ADC=45°，⊙AC=AD，⊙BC=CD，⊙BDC=⊙BCD=45°，⊙⊙ADB=90°，⊙四边形ABDC为矩形，⊙AC=AD，⊙AC=BC，⊙AB=6，⊙AC = 4.22AB =≈， 当BC=CD 时，图象无交点，则BC ≠CD ，当BD =CD 时，⊙BDC =⊙BCD =45°，⊙⊙BDC =90°，则在等腰直角⊙ACD 中，CD ==，在等腰直角⊙BCD 中，2BC x ==，在Rt ⊙ABC 中，222AB AC BC =+，⊙x =⊙ 2.75AC =≈， 故AC 的长为：2.7或4.2．【点睛】考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理，关键在于运用分类讨论的思想． 20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．点D 为边AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，点G 为BD 上一点．连结CG 并延长与AB 相交于点F ，连结EG ．已知12∠=∠．（1）若BD 平分ABC ∠，求证：DBC △⊙DBE ．（2）若4BD =，求CG 的长．（3）若80EGF ∠=︒，求A ∠的读数．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）40°【分析】（1）利用角平分线的定义及AAS 定理证明三角形全等；（2）根据等腰三角形的判定和性质求解；（3）解法一：结合等边对等角，角平分线的定义及三角形内角和定理计算求解；解法二：利用圆周角定理求解．【详解】解：（1）证明：⊙DE AB ⊥，⊙90DEB ∠=︒，⊙90ACB ∠=︒，⊙DEB ACB ∠=∠．⊙BD 平分ABC ∠，⊙ABD CBD ∠=∠．又⊙BD BD =，⊙DBC △⊙DBE （AAS ）．（2）⊙在BDE 中，90DEB ∠=︒，⊙190DBE ∠+∠=°，290BEG ∠+∠=°．⊙12∠=∠，⊙DBE BEG ∠=∠，⊙DG EG BG ==．⊙在Rt DBC 中，122CG BD ==． （3）解法一：⊙80EGF ∠=︒，⊙180100EGC EGF ∠=-∠=°°．⊙DG EG CG ==， ⊙()()11118018022CDE CDG DGE DGC ∠=∠+∠=-∠+-∠°° ()11802DGC DGE =-∠+∠° 11801302EGC =-∠=°°． ⊙9040A CDE ∠=∠-=°°．解法二：⊙DG EG BG CG ===，⊙点C ，D ，E ，B 在以点G 为圆心的圆上， ⊙()111805022ABC EGC EGF ∠=∠=-∠=°°， ⊙9040A ABC ∠=-∠=°°．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，也考查圆周角定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．。