证明不等式的几种方法
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
证明不等式的几种方法
证明不等式几种的方法1.1比较法（作差法）[1]在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 证明 02)(2222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得ab b a ≥+2. 1.2作商法在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助1>b a 或1<b a 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）.例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.证明 因为 0>>b a ，所以 1>ba ，0>-b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a >.1.3分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.例3 求证：15175+>+.证明 要证15175+>+，即证1521635212+>+，即15235+>，1541935+>，16154<，415<，1615<.由此逆推即得 15175+>+.1.4放缩法[5]在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.例4 求证：01.0100009999654321<⨯⨯⨯⨯ . 证明 令,100009999654321⨯⨯⨯⨯= p 则 ,10000110001111000099991431211000099996543212222222222222<=-⨯⨯-⨯-<⨯⨯⨯⨯= p所以 01.0<p .1.5函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的.例5 设R x ∈，求证：812sin 32cos 4≤+≤-x x . 证明 81243sin 2sin 3sin 21sin 32cos )(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=x x x x x x f 当43sin =x 时， ;812)(m ax =x f 当1sin -=x 时， .4)(m in -=x f故 812sin 32cos 4≤+≤-x x . 1.6单调函数法当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调上升；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调下降.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可. 例 6 证明不等式x e x +>1，.0≠x证明 设,1)(x e x f x --=则.1)(-='xe xf 故当0>x 时，f x f ,0)(>'严格递增；当f x f x ,0)(,0<'<严格递减.又因为f 在0=x 处连续，则当0≠x 时， ,0)0()(=>f x f从而证得.0,1≠+>x x e x 1.7中值定理法利用中值定理：)(x f 是在区间],[b a 上有定义的连续函数，且可导，则存在ξ，b a <<ξ，满足))(()()(a b f a f b f -'=-ξ来证明某些不等式，达到简便的目的.例7 求证：y x y x -≤-sin sin .证明 设 x x f sin )(=，则ξξcos )(n si )(sin sin y x y x y x -='-=-故 y x y x y x -≤-≤-ξcos )(sin sin .1.8利用拉格朗日函数例 8 证明不等式,)111(331abc cb a ≤++- 其中c b a ,,为任意正实数. 证明 设拉格朗日函数为对).1111(),,,(rz y x xyz z y x L -+++=λλ 对L 求偏导数并令它们都等于0，则有02=-=x yz L x λ， 02=-=y zx L y λ， 02=-=x xy L z λ， .01111=-++=rz y x L λ由方程组的前三式，易的.111μλ====xyz z y x 把它代入第四式，求出.31r =μ从而函数L 的稳定点为.)3(,34r r z y x ====λ 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极小值，我们可把条件rz y x 1111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件），并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：,22xz z x -=,22y z z y -= ,2xyz yz F x -=,2y xz xz F y -= ,2,232233xy z x z y z z F xyz F xy xx +--== .233yxz F yy = 当r z y x 3===时，,3,6r F F r F xy yy xx ===.02722>=-r F F F xy yy xx由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式).1111,0,0,0()3(3rz y x z y x r xyz =++>>>≥ 令,,,c z b y a x ===则,)111(1-++=cb a r 代入不等式有 31])111(3[-++≥cb a abc 或 ).0,0,0()111(331>>>≤++-c b a abc c b a。
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式证明基本方法
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
不等式证明方法
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
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昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。
本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。
关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。
证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。
主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。
2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。
具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。
2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。
其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。
3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。
商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一 般步骤为：1.作商：将左右两端作商。
2.变形：化简商式到最简形式。
3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。
例1[]2. 1）设0>>b a .求证：a e +a e ->b e +b e -.2）0,,>c b a .求证：aa b b cc ≥3)(c b a abc ++.证明: 1）作差:ae +ae --be +be -=（a e -be ）+（ae 1+be 1）=（a e -b e ）]1[)(b a e +--.因为 1>e ,0>>b a ,0>+b a . 所以 b a e e >,1=0e >)(b a e +-. 所以 （a e -b e ）]1[)(b a e +--0>. 即 a e +a e ->b e +b e -.2）由c b a ,,的对称性，所以不妨设0≥≥≥c b a ，aa b b cc 与3)(c b a abc ++均为正数。
作商:3)(c b a c b a abc c b a ++=22c b a a--⨯22a c b b--⨯22a b c c--=33ac b a a---⨯33ba cb b---⨯33cb ac c---=3)(b a ba-⨯3)(c b c b -⨯3)(a c ca -由于0>≥≥cb a ,所以1≥b a ，1≥c b ，1≥ca.而且0≥-b a ,0≥-c b ,0≥-a c . 所以 3)(b a ba-⨯3)(c b cb -⨯3)(ac ca -1111=⨯⨯≥.所以a ab b cc ≥3)(c b a abc ++.2.2 综合法综合法是由因导果的逻辑推证方法，也就是从已知条件或已证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数的单调性。
经过一系列的中间问题寻找它们的部分联系，最后逐步推导出待证不等式[]3。
例2[]2. 已知01<<a ，02=+y x .求证：2log log 2)(yx a a y xa a++≤+. 证明:由01<<a ，0>x a ，0>y a ，则有+x a y a y x a a 2≥=y x a +2.从而有2log log 2)(y x a a y xa a++≤+ .所以原命题只需要证812≤+y x ，即41≤+y x .从而得： 4141)21(22≤+--=-=+x x x y x .当21=x 时取等号。
所以81log log 2)(+≤+a a y x a a 成立。
2.3 分析法分析法在数学方法中特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。
一般从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备就可以证明待证不等式成立。
在数学证明中，它表现为：从数学题的特殊结论或需求问题出发，一步步地探索到题设已知条件的过程。
例3[]3. 设z y x ,,为互不相等的正数.求证：6>+++++yzx x z y z y x . 证明：先将要证明的不等式6>+++++yzx x z y z y x 看成一个整体，并假设它成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分6>++++yzx z x y z y z x 再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行组合形成新的部分（xzz x +）+（y z z y +）+（y x z y +）6>.再分析三个新的部分。
由xzz x x z z x 22+=+2>；yz z y y z z y 22+=+2>； xy y x y x x y 22+=+2>.所以6>+++++yzx x z y z y x 成立。
例4[]3. 设∈b a ,+R 且b a ≠.求证：2233ab b a b a +>+.证明:要使2233ab b a b a +>+；只要)())((22ab a ab b ab a b a +>+-+.要使)())((22ab a ab b ab a b a +>+-+；只要ab b ab a >+-22.（因为∈b a ,+R 0>+b a ） 要使ab b ab a >+-22；只要0222>+-b ab a .即0)(2>+b a .由b a ≠可知0)(2>+b a .所以不等式2233ab b a b a +>+成立。
2.4 数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关的不等式的有效方法。
如果不等式与自然数n 有关,我们不可能将所有的自然数一一加以论证,对于这类不等式,通常可应用数学归纳法来证明。
数学归纳法证明原理是一个关于自然数n 的命题只要满足以下两个条件：1.当1=n 时,命题成立。
2.假设k n =时，命题成立,并由此推出1+=k n 时,命题也成立。
例5[]4. 证明不等式:11312111>++⋯++++n n n )(N n ∈.证明：1)当1=n 时，112133********>=+++++成立. 2)假设当k n =时，不等式成立，即11312111>++⋯++++k k k ①要证当1+=k n 时，不等式成立，即14313121>++⋯++++k k k ②②式左边=)11431331231()1312111(+-++++++++⋯++++k k k k k k k+>11)43)(23)(1(32>+++k k k . 因此1+=k n 时成立。
综上所述，原不等式对任意自然数都n 成立。
2.5 反证法反正法是从否定所求的结论出发,经过正确的逻辑推理,引出一个矛盾的错误，从而肯定原命题的成立。
反正法是种间接证法，当不等式不便使用直接法证明时或自身是一种否定命题时，可考虑用反证法[]4。
反正法本身属于数学推理的常用方法，为了证明原命题A 导正确性，人们可以作试探性假设。
A 的反命题'A 为真，然后通过一连串地推理。
人们得出关于'A 的矛盾，这样就证明了'A 的错误。
因此，在基本逻辑原理中“排中律”的基础上，'A 的错误导致A 的正确[]5。
例6[]4. 设+∈R z y x ,,且1sin sin sin 222=++z y x .求证2π>++z y x .证明：假设2π≤++z y x ，则有220ππ<-≤+<z y x 因为正弦函数在区间)2,0(π上是增函数，所以z z y x cos )2sin()sin(=-≤+π①由①式两边平方得：y x z z y x xcisy y x y x 22222222sin sin sin 1cos sin cos sin 2sin cos cos sin +=-=≤++.整理得：0)cos(sin sin ≤+y x y x .由上可知)2,0()(,,π∈+y x y x ,则说明：0)cos(sin sin ≤+y x y x 不可能成立。
因此2π>++z y x 成立 。
2.6 换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化以便证明[]4。
例7[]4. 设+∈R z y x ,,且1=+y x .求证：425)1)(1(≥++y y x x .证明：令t x +=21，t y -=21.由于1=+y x ，+∈R z y x ,,所以)21,21(-∈t .则 xy y x y y x x )1)(1()1)(1(22++=++=2441162523t t t -++425411625=≥.2.7 放缩法放缩法又叫传递法,它是跟据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当的放大或缩小，使不等式变得清晰明朗，从而证得原不等式成立。
放缩放的具体做法要依据不式的结构来确定。
如对于和式，采用将某些项代之以较大（较小）的数来获得一个较大（较小）的和，或用舍弃一个或几个正项的方法，来获得较小的和；对于分式，则采用缩小（放大）分母或放大（缩小）分子，来增加（减少）商。
简单地说，放缩法是要证明不等式B A <成立，而借助一个或几个中间变量通过适当地放大或缩小达到证明不等式的手段。
其基本原理是不等式的传递性，关键要掌握放缩的“度”[]1。
例8[]3.已知R x x x f ∈+=,1)(2.求证2121)()(x x x f x f -<-. 证明：因为222121212221222122212111))((111111)()(xx x x x x xx x x x x x f x f +++-+=+++--+=+-+=-21212121212121x x x x x x x x x x x x x x -=+-+≤+-+<.所以2121)()(x x x f x f -<-.例9[]3.证明：不等式n n2131211<⋯+++)(N n ∈.证明：因为)1(21221--=+-<+=k k kk k k k.所以n n n n 2)13423121(2131211=--+⋯+-+-+-+<⋯+++.所以n n2131211<⋯+++成立。