选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
新人教选修4-5教案柯西不等式的证明及应用
柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++Λ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ΛΛ()n i Rb a ii Λ2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ=()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++L L L 22120n n a a a +++≥Q L()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤Q L L L即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当且仅当()01,2i i a x b x i n +==L 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A ====L 22212k b b b B ====L1122k k C a b a b a b =+++L则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a bb b b ++∴++++++++L L()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
人教版高中数学选修4-5第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法教案1(1)
数学归纳法教学设计一、设计理念在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕数学归纳法的原理和实质这一中心问题。
在这个过程中，通过层层提问的方法引导学生思考，从简到难逐步探求数学归纳法的实质，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。
二、教材分析本课是数学归纳法的第一节课。
前面学生已经通过数列一章内容和归纳推理的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的不完全归纳法。
不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。
但是，由得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
三、学情分析学生已经学习了求数列通项，归纳推理等知识，认识到不完全归纳法的到底猜想有待证明。
而且学生经过高中3个多学期的数学思维训练，在课堂上具有一定的学习能力和探索意识。
但由于文科学生的基础薄弱，可以预见在探索过程中对数学归纳法的递推原理会存在疑难。
四、教学手段多媒体教学和板书相结合。
这符合教学论中的直观性原则和可接受性原则；激发了学习数学的兴趣，同时又节约了时间，让学生更多的进行思考和练习，符合新课程的要求。
五、教学目标：1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法授课类型：新授课六．教学过程主干层次为：创设情景（提出问题）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;课堂小结（反馈与提高）。
一数学归纳法-人教A版选修4-5不等式选讲教案
数学归纳法-人教A版选修4-5 不等式选讲教案一、教学内容本次课程将主要讲解数学归纳法及其在不等式证明中的应用。
具体内容如下：1. 数学归纳法•介绍数学归纳法的思想和原理；•给出数学归纳法的三个步骤：基础步骤、归纳假设步骤和归纳步骤；•解释数学归纳法的证明过程；•练习数学归纳法的应用。
2. 不等式选讲•讲解不等式基本定义及常见不等式；•给出不等式证明的基本方法；•练习不等式证明的例题。
二、教学目标学生通过本次课程学习，将能够：1.掌握数学归纳法的思想和原理；2.熟练掌握数学归纳法的证明过程；3.能够运用数学归纳法证明一些数学结论；4.熟练掌握不等式基本定义及常见不等式；5.能够使用不等式证明的基本方法证明一些不等式。
三、教学过程1. 导入（5分钟）•介绍本次课程的主要内容；•引导学生回忆数学归纳法的定义和应用。
2. 讲解（25分钟）2.1 数学归纳法•介绍数学归纳法的定义和思想；•解释数学归纳法的证明过程；•给出一些使用数学归纳法证明的例题。
2.2 不等式选讲•介绍不等式的基本定义和常见不等式；•给出不等式证明的基本方法；•练习使用不等式证明法证明一些不等式。
3. 练习（25分钟）3.1 数学归纳法练习•练习使用数学归纳法证明一些数学结论；•班级分组练习，检查答案。
3.2 不等式证明练习•练习使用不等式证明法证明一些不等式；•班级分组练习，检查答案。
4. 总结（5分钟）•总结数学归纳法和不等式证明的重点；•引导学生思考，如何进一步提高数学归纳法和不等式证明的能力。
四、教学评价本次课程教学内容丰富，课程设计合理，注重理论联系实际，符合教学大纲和教学要求。
在教学中，我采用了多种教学方法，如导入、讲解、练习等。
通过多种教学方法的组合使用，能够有效提高学生的学习兴趣和参与度。
不过作为老师，我在教学中需要进一步提高自己的授课效率和能力，例如在课堂管理上需要更加严格，以确保学生专注于课堂内容的学习。
人教版高中数学选修4-5第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法教案1(4)
g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n 取第一个值0n 时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据.○3结论. 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则( )A 4=n 时该命题成立B 6=n 时该命题不成立C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该命题成立2．用数学归纳法证明2n >n 2 (n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .三、例题分析例1:已知*N n ∈,证明:n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-nn n 212111+⋅⋅⋅++++=. 例2、求证：n n n +≤++++≤+21213121121 例3.是否存在正整数m 使得()()9372+⋅+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论。
若不存在说明理由。
例4.平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.例5.设f(k)满足不等式()()*-∈-≥-⋅+N k k x x k 1223log log 122的自然数x 的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(n f f f S n +++= ，求n S 的解析式；（3）令()*∈-+=N n n n P n 12，试比较n S 与n P 的大小。
2019高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式复习课学案 新人教A版选修4-5
第四讲数学归纳法证明不等式复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．(2)归纳推理不到位．专题一数学归纳法在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键．[例❶] 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，a n＋1＝1a n＋a，求证：对一切正整数n，有1＜a n＜11－a.证明：(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜11－a，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立．即1＜a k＜11－a，当n＝k＋1时，由递推公式，知a k＋1＝1a k＋a＞(1－a)＋a＝1.同时，a k＋1＝1a k ＋a＜1＋a＝1－a21－a＜11－a，故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜a k＋1＜11－a，综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜a n＜11－a.归纳升华用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n＝k 成立，推导n＝k＋1也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．[变式训练] 证明不等式122＋132＋…＋1n2＜1(n≥2，n∈N*)．证明：先证明122＋132＋…＋1n2＜1－1n(n≥2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，(*)显然成立．(2)设n＝k时，不等式(*)成立，则122＋132＋…＋1k2＜1－1k.当n＝k＋1时，1 22＋132＋…＋1k2＋1（k＋1）2＜1－1k＋1（k＋1）2＜1－1k＋1k（k＋1）＝1－1k＋⎝⎛⎭⎪⎫1k－1k＋1＝1－1k＋1.故当n＝k＋1时，不等式(*)成立．根据(1)和(2)知，对n∈N*且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立.专题二归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．[例2] 数列{a n}满足S n＝2n－a n.(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2， 所以a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3， 所以a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， 所以a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1 ， 即a k ＋1＝2＋a k －a k ＋1，所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知猜想的通项公式a n ＝2n－12n －1成立．归纳升华归纳—猜想—证明的三步曲(1)计算：根据条件，计算若干项．(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论． (3)证明：用数学归纳法证明．[变式训练] “设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，有f (1)＝1＞12，f (3)＞1，f (7)＞32，f (15)＞2，…”．试问：f (2n－1)与n 2大小关系如何？试猜想并加以证明． 解：数列1，3，7，15，…，通项公式为a n ＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，所以猜想：f (2n－1)＞n2.下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1＞12，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k－1)＞k2.当n ＝k ＋1时，f (2k ＋1－1)＝f (2k －1)＋12k ＋12k＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1＞ f (2k －1)＋12k ＋1＋…＋12k ＋1,2k 个＝f (2k －1)＋12＞k 2＋12＝k ＋12.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 据(1)(2)知对任何n ∈N ＋原不等式均成立． 专题三 转化和化归思想把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想．一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题．[例3] 设平面α内有n 条直线，这n 条直线把平面α分成互不垂叠的区域个数的最大值为f (n )，求f (n )的解析式，并用数学归纳法证明．解：设平面α内k (k ≥1)条直线把平面α分成区域个数的最大值为f (k )，则第k ＋1条直线与前k 条直线最多有k 个交点，因此第k ＋1条直线最多可以被分成k ＋1段，每一段可把所在的区域分为两部分，所以比原来的区域增加k ＋1个，即有f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1，所以f (k ＋1)－f (k )＝k ＋1.于是f (2)－f (1)＝2，f (3)－f (2)＝3，…，f (n )－f (n －1)＝n . 把以上n －1个等式相加得f (n )－f (1)＝2＋3＋…＋n . 因为f (1)＝2，所以f (n )＝f (1)＋(2＋3＋…＋n )＝12(n 2＋n ＋2)．下面用数学归纳法证明：(1)n ＝1时，一条直线可以把平面分成2个， 即f (1)＝2，而12(n 2＋n ＋2)＝12(1＋1＋2)＝2，所以命题成立．(2)假设n ＝k 时，f (k )＝12(k 2＋k ＋2)成立，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)＝12(k 2＋k ＋2)＋(k ＋1)＝12(k 2＋2k ＋1＋k ＋3)＝12[(k ＋1)2＋(k ＋1)＋2]，所以命题仍成立． 由(1)(2)知，当n ∈N *时，f (n )＝12(n 2＋n ＋2)成立．归纳升华有关几何图形的性质、公式等与自然数n 有关的命题，主要是抓住递推关系，明确要证明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明．[变式训练] 用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n －b n都能被a －b 整除． 证明：(1)当n ＝1时，a n －b n＝a －b 能被a －b 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k －b k 能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，ak ＋1－bk＋1＝ak ＋1－a k b ＋a k b －bk ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k)．因为(a －b )和a k－b k都能被a －b 整除，所以上面的和a k(a －b )＋b (a k－b k)也能被a －b 整除． 这也就是说当n ＝k ＋1时，ak ＋1－bk ＋1能被a －b 整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n －b n 都能被a －b 整除．。
新人教A版高中数学(选修4-5)《用数学归纳法证明不等式》word教案2篇
4.2 用数学归纳法证明不等式课前导引情景导入观察下列式子：1+23212<,1+,35312122<+47413121222<++,…,则可以猜想的结论为：__________考注意到所给出的不等式的左右两边分子、分母与项数n 的关系，则容易得出结论：1+++223121 (112)1(12++<+n n n . 这个不等式成立吗？如何证明呢？ 知识网络证明不等式是数学归纳法的重要应用之一，在利用数学归纳法证明不等式时，要注意利用不等式的传递性.证明不等式的其他常用方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等也是证明P(k+1)成立的基本方法.〔这里的P(k+1)是n=k+1时不等式成立〕使用数学归纳法证明不等式时除了以上方法外，还要注意发现或设法创设归纳假设与n=k+1时命题之间的联系，充分利用这样的联系来证明n=k+1时命题成立.课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例1】 对于n ∈N ,证明1312111++++++n n n >1. 证明：当n=1时，左边=1213>1=右边；设n=k 时，有1312111++++++k k k >1; 当n=k+1时，左边1313121++++++k k k ++++=+++++=2111)431331231(k k k k k 3324312311)11431331231(131+-++++>--++++++++k k k k k k k k )43)(33)(23(21++++=k k k >1=右边.所以对一切自然数n 不等式均成立. 温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k 到n=k+1增减的项. 各个击破 类题演练1对于n ∈N ，试比较2n 与n 2的大小. 解析：先验算n=1时，2n >n 2，n=2和n=4时，2n =n 2,n=3时,2n <n 2. 而当n=5时，有2n >n 2,猜测对n≥5有2n >n 2. 用数学归纳法证明如下： （1）当n=5时，已证.（2）设当n=k(k≥5)时，2k >k 2且k 2>2k+1. 当n=k+1时，2k+1=2·2k >2k 2>k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时成立. 由（1）、（2），知猜测正确. 变式提升1 求证：1+21213121n n >-+++ . 证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n=k 时，命题成立，即 1+21213121k k >-+++ .① 要证明n=k+1时，命题也成立，即1+211211212112131211+>-+++++-++++k k k k k .② 要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（121121211-+++++k k k ）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证121121211-+++++k k k ≥21.③③式左边共有2k项，且1211-+k 最小，故212212212112121111=>->-+++++++k k k k k kk ,这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二） 【例2】 已知n 是大于1的自然数，求证： (1+31)(1+51)(1+71)…(1+121-n )>1221+n . 证明：假设n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+31）(1+51)(1+71)…(1+121-k )>1221+k . 则当n=k+1时，左边=（1+31）（1+51）（1+71）…（1+121-k ）·(121+k )>1221+k ·(1+121+k )=21(12112+++k k ).现在关键证21(12112+++k k )>1)1(221++k ,直接证较繁,下面用分析法证之.欲证21（12112+++k k ）>1)1(221++k ,即证3212112+>+++k k k ,只需证2k+1+121+k +2>2k+3,即121+k >0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立. 综上，当n 为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k 时，A （k ）≥B(k)成立,然后有A （k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 类题演练2在数列{a n }中，|a n |<2,且a n+1a n -2a n+1+2a n <0, 求证：a n >n2-(n ∈N ). 证明：∵|a n |<2, ∴-2<a n <2.∴2-a n >0. 由题设a n+1(2-a n )>2a n ,则a n+1>nna a -22.1°当n=1时，由|a n |<2,得a 1>-2=12-成立. 2°假设当n=k 时，有a k >k2-成立.（下证a k +1>12+-k 成立）设f(x)=x x -22,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又a k +1>f(a k ),由归纳假设,可知a k >k2-, ∴a k+1>f(a k )>f(k 2-)=1222)2(2+-=+-∙k kk ,即当n=k+1时，a k+1>12+-k 成立.故对任意n ∈N ，a n >n2-成立.变式提升2设a,b ∈R *,n ∈N *,求证：2n n b a +≥(2b a +)n.证明：①n=1时，左边=右边=2ba +,原不等式成立. ②设n=k 时,原不等式成立，即2k kb a +≥(2b a +)k成立.∵a,b ∈R +,∴2b a +·2k k b a +≥2)(1++k b a 成立.∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明)2(211b a b a k k +≥+++k+1成立. 只需证明:22211kk k k b a b a b a +∙+≥+++成立. 只需证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.下面证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.不妨设a≥b >0,则a k+1+b k+1-ab k -a k b=(a k -b k )(a-b)≥0. ∴a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立. 故n=k+1时原不等式成立.由①②,可知对于任何n ∈N *，原不等式成立. 三、数学归纳法证明不等式的点问题【例3】 证明n 为一切自然数时，（1+2+…+n ）·（1+21+…+n1）≥n 2. 证明：先看下面的证明（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)≥k 2，则n=k+1时， 左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1+21+…+111++k k ］=(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)+121+++k k +(k+1)·（1+21+…+k 1）+1≥k 2+21k+(k+1)(1+21+…+k 1)+1，∵1+21+…+k 1≥1+21,∴左边≥k 2+21k+(k+1)(1+21)+1=k 2+2k+1+23≥k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时命题正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1+21+…+k 1≥1+21”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n ∈N )的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是： （1）n=1,2时命题正确，（2）n≥2时，用数学归纳法证明假设n=k(k ∈N 且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 温馨提示对于一个n≥n 0(n ∈N )的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是n=n 0时命题正确的验证.这种想法是不对的，到底“奠基”步中从哪个数字开始，要看问题的条件. 类题演练3若a i >0(i=1,2,…,n),且a 1+a 2+…+a n =1, 求证：a 12+a 22+…+a n 2≥n1(n ∈N 且n≥2). 证明：(1)n=2时，∵a 1+a 2=1,∴a 12+a 22=a 12+(1-a 1)2=2(a 1-21)2+21≥21. ∴n=2时命题正确.（2）假设n=k(k≥2)时命题正确，即如果a 1+a 2+…+a k =1且a i >0(i=1,2,…,k), 那么a 12+a 22+…+a k 2≥k1,则n=k+1时， ∵a 1+a 2+…+a k +a k+1=1, ∴a 1+a 2+…+a k =1-a k+1. ∵0<a k+1<1,∴0<1-a k+1<1. ∴k 个正数的和11211111+++-++-+-k k k k a a a a a a =1,从而由归纳假设得 ka a a a a a k k k k 1)1()1()1(21212211≥-++-+-+++ , 即a 12+a 22+…+a k 2≥k 1(1-a k+1)2,从而有a 12+a 22+…+a k 2+a k+12≥k 1(1-a k+1)2+a k+12. 下面只要证明k 1(1-a k+1)2+a k+12≥11+k ,即证(k+1)2a k+12-2(k+1)a k+1+1≥0，即证［(k+1)a k+1-1］2≥0,∴上式成立. 故n=k+1时命题正确. 变式提升3设x>0，x≠1,求证：（1+x n ）(1+x)n >2n+1x n (n ∈N ). 证明：（1）n=1时，左边=(1+x)2,右边=4x, ∵(1+x)2-4x=(1-x)2>0,∴(1+x)2>4x.∴n=1时命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k≥1)时命题正确，即(1+x k )(1+x)k >2k+1x k ,则n=k+1时，（1+x k+1）(1+x)k+1-2k +2x k+1=(1+x k+1)(1+x)k+1-2x·2k+1x k >(1+x k+1)(1+x)k+1-2x(1+x k )(1+x)k =(1+x)k ［(1+x)(1+x k+1)-2x(1+x k )］ =(1+x)k (1+x+x k+1+x k+2-2x-2x k+1) =(1+x)k (1-x)(1-x k+1), ∵x>0且x≠1,∴1-x 与1-x k+1同号. ∴（1+x ）k ·(1-x)(1-x k+1)>0.∴（1+x k+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1x k+1. ∴n=k+1时命题正确.。
第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5)
第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n nn 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k kk 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k kk k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
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选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证n 取 时命题 ( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题 ！(结论）要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .☆ 数学归纳法的应用：例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤.例2已知x > -1，且x ≠0，n ∈N*，n ≥2．求证：(1+x )n >1+nx .例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥.例4 证明:222111112(,2).23≥n N n nn+++⋯+<-∈例5.当2n ≥时,求证:1++++>选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名 1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为( ) A.30B.26C.36D.6 2、.观察下列式子：222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…则可归纳出____ _____.3、已知112a =, 133n n n a a a +=+, 则2345,,,a a a a 的值分别为_____ ____，由此猜想n a =_________.4、用数学归纳法证明: 1*5231()n n n A n N -=+⋅+∈能被8整除.5、用数学归纳法证明 n n n nn 212111211214131211+++++=--++-+-6、.用数学归纳法证明412+n+3n+2能被13整除，其中n ∈N7、求证：1115(2,)1236n n N n n n*+++>≥∈++8、已知，1111,23n S n N n*=++++∈ ， 用数学归纳法证明：21(2,)2n n S n n N *>+≥∈9、.求证：用数学归纳法证明 2*22()nnn N +>∈．答案:1. 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n 取第一个值时命题成立( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当n=k 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立(归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题都成立！(结论）要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1 ⑴当1n =时,上式左边sin θ=右边,不等式成立.⑵设当(1)n k k =≥时,不等式成立,即有sin sin k k θθ≤.那么,当1n k =+时, sin(1)k θ+=例2 证明:(1)当n =2时，左＝(1＋x )2=1+2x +x 2∵ x ≠0，∴ 1+2x +x 2>1+2x =右,∴n =2时不等式成立（2）假设n =k (k ≥2)时，不等式成立，即 (1+x )k>1+kx 当n =k +1时，因为x > -1 ，所以1+x >0，于是 左边=(1+x )k +1 右边=1+(k +1)x ．因为kx 2＞0，所以左边＞右边，即(1+x )k +1>1+(k +1)x ． 这就是说，原不等式当n =k +1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n 都成立.例3 证明:⑴当1n =时,有11a =，命题成立.⑵设当n k =(1)k ≥时，命题成立，即若k 个正数12,,,k a a a 的乘积121k a a a = , 那么它们的和12k a a a k +++ ≥.那么当1n k =+时,已知1k +个正数121,,,,k k a a a a + 满足1211k k a a a a += .若1k +个正数121,,,,k k a a a a + 都相等,则它们都是1.其和为1k +,命题成立.若这1k +个正数121,,,,k k a a a a + 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与1211k k a a a a += 矛盾).不妨设121,1a a ><.例4证:(1)当n =1时,左边=215124+=,右边=13222-=,由于5342<故不等式成立.(2)假设n =k ( ,2≥k N k ∈)时命题成立,即222111112.23kk+++⋯+<-则当n =k +1时, 222221111111223(1)(1)kk kk +++⋯++<-+++211111111222()2.(1)(1)11kk kk k k kk k -+<-+=-+-=-++++ 即当n =k +1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切,2≥n N n ∈都成立.例5（1）当时，左式右式n ==+=+>>=2112122172. ∴=当时，不等式成立n 2（）假设当时，不等式成立，即22n k =≥()1++>则当时，n k =+11=++> 左式=>===右式∴=+当时，不等式成立。
n k 1由（）（）可知，对一切，且，不等式都成立。
122n N n ∈≥练习1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1 －(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k =36(k+5)·3k －2 (k≥2)⇒f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2、解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *)112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N*)12123452133332:,137253233333333,,,383594510555n a a a a a a a a a n ⨯====+++========+++++3.解析同理猜想73:答案、83、93、10353=n4、证:(1)当n =1时,A 1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n =k 时,A k 能被8整除,即15231k k k A -=+⨯+是8的倍数.那么: 115231k k k A ++=+⋅+=1115(5231)4(31)54(31)k k k k k A ---+⋅+-+=-+ 因为A k 是8的倍数,3k -1+1是偶数即4(3k -1+1)也是8的倍数,所以A k +1也是8的倍数, 即当n =k +1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n , A n 能被8整除.5．证明： 1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k kk 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k)1(21121213121+++++++++=k k kk k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k 时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立. 由①②知，当n ∈N *时，42n+1+3n+2能被13整除.7．证明：（1）当n=2时，右边=1111534566+++>，不等式成立．（2）假设当*(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即11151236k k k+++>++ ．则当1n k =+时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++++=++++++-++++++>+++-++++>+++-++++=+⨯-=++所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N≥∈均成立．8. 证明：（1）当n=2时，22111132111234122S =+++=+>+，∴命题成立．（2）假设当*(2,)n k k k N =≥∈时命题成立，即2111112322k kk S =++++>+．则当1n k =+时，112111111123221222k k k k kS ++=++++++++++111111111111122122222221111211.22222kkk k k k kk kk k k k +++++>+++++>++++++++=++⨯=++=+所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．9、证明：（1） 当n=1时， 12221+>，不等式成立；当n=2时， 22222+>，不等式成立；当n=3时， 32223+>，不等式成立．（2）假设当*(3,)n k k k N =≥∈时不等式成立，即 222k k +>． 则当1n k =+时， 1222222(22)222(1)23k k k k k k ++=+->-=++--，∵3k ≥，∴223(3)(1)0k k k k --=-+≥，（*）从而122222(1)23(1)k k k k k ++>++--≥+， ∴1222(1)k k ++>+．即当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，222n n +>对一切*n N ∈都成立．。