2019-2020学年浙江省台州市三区三校八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省台州市三区三校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）如图是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是( )A ．5，11，6B ．8，8，16C ．10，5，4D ．6，9，143．（3分）点(1,3)关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(1,3)-B ．(3,1)--C ．(1,3)-D ．(1,3)--4．（3分）已知正多边形的一个外角等于40︒，那么这个正多边形的边数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．（3分）如图，ABC ADE ∆≅∆，80B ∠=︒，30C ∠=︒，35DAC ∠=︒，则EAC ∠的度数为( )A ．40︒B ．35︒C ．30︒D ．25︒6．（3分）如图，在ABC ∆中，4AC cm =，线段AB 的垂直平分线交AB ，AC 于点M ，N ，BCN ∆的周长是7cm ，则BC 的长为( )A ．4cmB ．3 cmC ．2cmD ．1cm7．（3分）如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，若4CD =，则AD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．4.58．（3分）如图所示，已知在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD DB =，则A ∠的度数是( )A ．30︒B ．36︒C ．45︒D ．54︒9．（3分）如图，AOB ADC ∆≅∆，点B 和点C 是对应顶点，90O D ∠=∠=︒，记OAD α∠=，ABO β∠=，当//BC OA 时，α与β之间的数量关系为( )A ．αβ=B ．2αβ=C ．90αβ+=︒D ．2180αβ+=︒10．（3分）如图，在ABC ∆中，BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF AB 交BC 于F ，交AC 于E ，过点O 作OD BC ⊥于D ，下列四个结论： ①1902AOB C ∠=︒+∠； ②AE BF EF +=；③当90C ∠=︒时，E ，F 分别是AC ，BC 的中点；④若OD a =，2CE CF b +=，则CEF S ab ∆=．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性．12．（4分）在ABC ∆中，::2:3:4A B C ∠∠∠=，则C ∠= ．13．（4分）如图，在ABC ∆和BAD ∆中，已知90C D ∠=∠=︒，再添加一个条件，就可以用“HL ”判定Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，你添加的条件是 ．14．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 边形．15．（4分）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆的周长的最小值为 ．16．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，ABD ∆、AFD ∆关于直线AD 对称，FAC ∠的角平分线交BC 边于点G ，连接FG ．BAD θ∠=，当θ的值等于 时，DFG ∆为等腰三角形．三、解答题（共8题，17-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，满分66分）17．（6分）已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE DB∠=∠，//=，A DBC EF．求证：ABC DEF∆≅∆．18．（6分）如图，在ABC∆中，AE是BAC∠=︒，B∠的角平分线，AD是BC边上的高，且40∠的度数．∠=︒，求EAD60C19．（6分）如图所示，已知：ABC∆和DCE∆都是等边三角形，求证：AD BE=．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，(1,5)C-．A-，(1,0)B-，(4,3)（1）请画出ABC∆（其中D，E，F分别是A，B，C的对应点，∆关于y轴对称的DEF不写画法）；（2）直接写出D，E，F三点的坐标：(F)；D)，(E)，(（3）在y轴上存在一点，使PC PB-最大，则点P的坐标为．21．（8分）如图：ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，DE AB ⊥．（1）求证：2BAC EDB ∠=∠；（2）若6AC =，2DE =，求ABC ∆的面积．22．（10分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”（1）判断（对的打“√”，错的打“⨯” )①等边三角形存在“和谐分割线” ( )②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线” ( )（2）如图2，Rt ABC ∆，90C ∠=︒，30B ∠=︒，6BC =，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．23．（10分）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F ．求证：CFE CEF ∠=∠；【变式思考】如图2，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC ∆的外角BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；【探究廷伸】如图3，在ABC ∆中，在AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，角平分线AE 交CD 于点F ．ABC ∆的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M ．试判断M ∠与CFE ∠的数量关系，并说明理由．24．（12分）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/cm s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/cm s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．（1）当点D 在射线AM 上运动时满足:2:1ADB BEC S S ∆∆=，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（2）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB ∆与BEC ∆全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是轴对称图形的是()A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是()A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14解：A、5611+=，∴不能组成三角形，故A选项错误；B、8816+=，∴不能组成三角形，故B选项错误；+<，∴不能组成三角形，故C选项错误；C、5410D、6914+>，∴能组成三角形，故D选项正确．故选：D．3．（3分）点(1,3)关于x轴对称的点的坐标是()A．(1,3)---D．(1,3)--C．(1,3)-B．(3,1)解：点(1,3)关于x轴对称的点的坐标为(1,3)-，故选：A．4．（3分）已知正多边形的一个外角等于40︒，那么这个正多边形的边数为() A．6B．7C．8D．9解：正多边形的一个外角等于40︒，且外角和为360︒，则这个正多边形的边数是：360409︒÷︒=．故选：D．5．（3分）如图，ABC ADEDAC∠的度数∠=︒，35∠=︒，则EAC∠=︒，30∆≅∆，80BC为( )A ．40︒B ．35︒C ．30︒D ．25︒解：80B ∠=︒，30C ∠=︒，180803070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，ABC ADE ∆≅∆，70DAE BAC ∴∠=∠=︒，EAC DAE DAC ∴∠=∠-∠，7035=︒-︒，35=︒．故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，4AC cm =，线段AB 的垂直平分线交AB ，AC 于点M ，N ，BCN ∆的周长是7cm ，则BC 的长为( )A ．4cmB ．3 cmC ．2cmD ．1cm 解：MN 是线段AB 的垂直平分线，BN AN ∴=，7BC CN BN ++=，7BC AN CN ∴++=，即7BC AC +=，3BC cm ∴=，故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，若4CD =，则AD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．4.5解：作DE BC ⊥于E ，18030C CAB ABC ∠=︒-∠-∠=︒， 122DE CD ∴==， BD 平分ABC ∠，90CAB ∠=︒，DE BC ⊥，2AD DE ∴==，故选：A ．8．（3分）如图所示，已知在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD DB =，则A ∠的度数是( )A ．30︒B ．36︒C ．45︒D ．54︒ 解：AB AC =，BC BD =，AD DB =，ABC C BDC ∴∠=∠=∠，A ABD ∠=∠，设A x ∠=，则2BDC A ABD x ∠=∠+∠=，从而2ABC C BDC x ∠=∠=∠=．于是在ABC ∆中，有22180A ABC C x x x ∠+∠+∠=++=︒．解得36x =︒．36A ∴∠=︒，故选：B ．9．（3分）如图，AOB ADC ∆≅∆，点B 和点C 是对应顶点，90O D ∠=∠=︒，记OAD α∠=，ABO β∠=，当//BC OA 时，α与β之间的数量关系为( )A ．αβ=B ．2αβ=C ．90αβ+=︒D ．2180αβ+=︒解：AOB ADC ∆≅∆，AB AC ∴=，BAO CAD ∠=∠，BAC OAD α∴∠=∠=， 在ABC ∆中，1(180)2ABC α∠=︒-， //BC OA ，1801809090OBC O ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，1(180)902βα∴+︒-=︒， 整理得，2αβ=．故选：B ．10．（3分）如图，在ABC ∆中，BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF AB 交BC 于F ，交AC 于E ，过点O 作OD BC ⊥于D ，下列四个结论： ①1902AOB C ∠=︒+∠； ②AE BF EF +=；③当90C ∠=︒时，E ，F 分别是AC ，BC 的中点；④若OD a =，2CE CF b +=，则CEF S ab ∆=．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④解：BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ，12OBA CBA ∴∠=∠，12OAB CAB ∠=∠， 180AOB OBA OAB ∴∠=︒-∠-∠1118022CBA CAB =︒-∠-∠ 1180(180)2C =︒-︒-∠ 1902C =︒+∠，①正确； //EF AB ，FOB ABO ∴∠=∠，又ABO FBO ∠=∠，FOB FBO ∴∠=∠，FO FB ∴=，同理EO EA =，AE BF EF ∴+=，②正确；当90C ∠=︒时，AE BF EF CF CE +=<+，E ∴，F 不是AC ，BC 的中点，③错误；作OH AC ⊥于H ，BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ，∴点O 在C ∠的平分线上，OD OH ∴=，1122CEF S CF OD CE OH ab ∆∴=⨯⨯+⨯⨯=，④正确． 故选：C ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 稳定 性． 解：桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的稳定性．故答案为：稳定．12．（4分）在ABC ∆中，::2:3:4A B C ∠∠∠=，则C ∠= 80︒ ．解：::2:3:4A B C ∠∠∠=，∴设2A x ∠=︒，3B x ∠=︒，4C x ∠=︒，由三角形内角和定理可得：234180x x x ++=，解得20x =，480C x ∴∠=︒=︒，故答案为：80︒．13．（4分）如图，在ABC ∆和BAD ∆中，已知90C D ∠=∠=︒，再添加一个条件，就可以用“HL ”判定Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，你添加的条件是 AC BD =（或者)AD BC = ．解：条件是AC BD =，90C D ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆和Rt ABD ∆中AC BD AB AB =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt ABD(HL)∴∆≅∆，故答案为：AC BD =（或者)AD BC =．14．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 十 边形． 解：设这个多边形有n 条边．由题意得：(2)1803604n -⨯︒=︒⨯，解得10n =．则这个多边形是十边形．故答案为：十．15．（4分）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆的周长的最小值为 9 ．解：连接AD ，MA ．ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1161822ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=，解得6AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA MC =，MC DM MA DM AD ∴+=+，AD ∴的长为CM MD +的最小值，CDM ∴∆的周长最短11()6663922CM MD CD AD BC =++=+=+⨯=+=． 故答案为：9．16．（4分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，ABD ∆、AFD ∆关于直线AD 对称，FAC ∠的角平分线交BC 边于点G ，连接FG ．BAD θ∠=，当θ的值等于 10︒，25︒或40︒ 时，DFG ∆为等腰三角形．解：AB AC =，100BAC ∠=︒，40B C ∴∠=∠=︒．ABD ∆和AFD ∆关于直线AD 对称，ADB ADF ∴∆≅∆，40B AFD ∴∠=∠=︒，AB AF =，BAD FAD θ∠=∠=，AF AC ∴=． AG 平分FAC ∠，FAG CAG ∴∠=∠．在AGF ∆和AGC ∆中，AF AC FAG CAG AG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGF AGC SAS ∴∆≅∆，AFG C ∴∠=∠．DFG AFD AFG ∠=∠+∠，404080DFG B C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．①当GD GF =时，80GDF GFD ∴∠=∠=︒．40ADG θ∠=︒+，408040180θθ∴︒+︒+︒++=︒，10θ∴=︒．②当DF GF =时，FDG FGD ∴∠=∠．80DFG ∠=︒，50FDG FGD ∴∠=∠=︒．4050402180θ∴︒+︒+︒+=︒，25θ∴=︒．③当DF DG =时，80DFG DGF ∴∠=∠=︒，20GDF ∴∠=︒，4020402180θ∴︒+︒+︒+=︒，40θ∴=︒．∴当10θ=︒，25︒或40︒时，DFG ∆为等腰三角形．故答案为：10︒，25︒或40︒．三、解答题（共8题，17-19每题6分，20-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，满分66分）17．（6分）已知：如图，A ，E ，B ，D 在同一直线上，AE DB =，A D ∠=∠，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：AE DB =，AE EB DB EB ∴+=+，AB DE ∴=，//BC EF ，ABC DEF ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中ABC DEF AB DE A D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．18．（6分）如图，在ABC ∆中，AE 是BAC ∠的角平分线，AD 是BC 边上的高，且40B ∠=︒，60C ∠=︒，求EAD ∠的度数．解：40B∠=︒，60C∠=︒，80BAC∴∠=︒．又AE是BAC∠的角平分线，1402BAE BAC∴∠=∠=︒，80AED∴∠=︒，又AD是BC边上的高，10EAD∴∠=︒．19．（6分）如图所示，已知：ABC∆和DCE∆都是等边三角形，求证：AD BE=．【解答】证明：ABC∆和DCE∆与都是等边三角形，60ACB ECD∴∠=∠=︒，CA CB=，CD CE=，ACD ECB∴∠=∠，在ACD∆和BCE∆中，CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD BCE∴∆≅∆，AD BE∴=．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，(1,5)A-，(1,0)B-，(4,3)C-．（1）请画出ABC∆关于y轴对称的DEF∆（其中D，E，F分别是A，B，C的对应点，不写画法）；（2）直接写出D ，E ，F 三点的坐标：(D 1，5 )，(E )，(F )；（3）在y 轴上存在一点，使PC PB -最大，则点P 的坐标为 ．解：（1）如图，DEF ∆即为所求作三角形；（2）由图可知点(1,5)D 、(1,0)E 、(4,3)F ，故答案为：1，5；1，0；4，3；（3）延长CB 交y 轴于P ，此时PC PB -最大，故点P 即为所求，设BC 所在直线解析式为y kx b =+，将点(1,0)B -、点(4,3)C -代入，得：043k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 所在直线解析式为1y x =--，当0x =时，1y =-，∴点P 坐标为(0,1)-，故答案为：(0,1)-．21．（8分）如图：ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，DE AB ⊥．（1）求证：2BAC EDB ∠=∠；（2）若6AC =，2DE =，求ABC ∆的面积．解：（1）AB AC =，D 为BC 边的中点AD BC ∴⊥，12BAD CAD BAC ∠=∠=∠ 90B BAD ∴∠+∠=︒ DE AB ⊥90B EDB ∴∠+∠=︒ ∴12EDB BAD BAC ∠=∠=∠ 即2BAC EDB ∠=∠（2）6AB AC ==，2DE = ∴16262ABD S ∆=⨯⨯= D 为BC 边的中点6ADC ADB S S ∆∆∴==12ABC S ∆∴=22．（10分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”（1）判断（对的打“√”，错的打“⨯” )①等边三角形存在“和谐分割线” ( ⨯ )②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线” ( )（2）如图2，Rt ABC ∆，90C ∠=︒，30B ∠=︒，6BC =，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．解：（1）①等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，正确，是真命题，故答案为：⨯，√；（2）如图2，作CAB ∠的平分线AD ，90C ∠=︒，30B ∠=︒，30DAB B ∴∠=∠=︒，DA DB ∴=，ADB ∴∆是等腰三角形，且CAD DAB B ∠=∠=∠，ADC B BAD CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠∴线段AD 是ABC ∆的“和谐分割线”， 设CD x =，则6BD x =-， 12CD BD =， 2x ∴=，即624AD BD ==-=；即和谐分割线”的长度为4．23．（10分）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在ABC∠=︒，AE是角平分线，CD是高，AE、ACB∆中，90∠=∠；CD相交于点F．求证：CFE CEF【变式思考】如图2，在ABC∠∆中，90∆的外角BAGACB∠=︒，CD是AB边上的高，若ABC 的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则CFE∠与∠还相等吗？说明理由；CEF【探究廷伸】如图3，在ABC∠=∠，角平分线AE∆中，在AB上存在一点D，使得ACD B 交CD于点F．ABC∠的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试∆的外角BAG判断M∠与CFE∠的数量关系，并说明理由．【解答】【习题回顾】证明：90∠=︒，CD是高，ACBACD CAB∴∠+∠=︒，90∠+∠=︒，90B CAB∴∠=∠，B ACDAE是角平分线，∴∠=∠，CAF DAF∠=∠+∠∠=∠+∠，CFE CAF ACD CEF DAF B∴∠=∠；CEF CFE【变式思考】CEF CFE∠=∠证明：AF为BAG∠的角平分线，∴∠=∠，GAF DAFCD为AB边上的高，90∴∠=︒，ACB∠=∠，∴∠=∠=︒，又CAE GAF90ADF ACE∴∠=∠；CEF CFE【探究思考】90∠+∠=︒，M CFE证明：C、A、G三点共线AE、AN为角平分线，∠=∠，∴∠=︒，又GAN CAMEAN9090M CEF ∴∠+∠=︒，CEF EAB B ∠=∠+∠，CFE EAC ACD ∠=∠+∠，ACD B ∠=∠， CEF CFE ∴∠=∠，90M CFE ∴∠+∠=︒．24．（12分）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/cm s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/cm s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．（1）当点D 在射线AM 上运动时满足:2:1ADB BEC S S ∆∆=，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（2）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB ∆与BEC ∆全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．解：（1）如图2中，①当E 在线段AC 上时，作BH AC ⊥于H ，BG AM ⊥于G ． BA 平分MAN ∠，BG BH ∴=，:2:1ADB BEC S S ∆∆=，AD t =，2AE t =， ∴11:(62)2:122t BG t BH -=，125t s ∴=． ②当点E 运动到AC 延长线上，同法可得4t =时，也满足条件， ∴当125t s =或4s 时，满足:2:1ADB BEC S S ∆∆=．（2）存在．BA BC =，45BAD BCE ∠=∠=︒， ∴当AD EC =时，ADB CEB ∆≅∆， 62t t ∴=-，2t s ∴=，2t s ∴=时，ADB CEB ∆≅∆． 当D 在MA 延长线上时，26t t -=，6t s =， 综上所述，满足条件的t 的值为2s 或6s ．。