2016年长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解
八年级数学竞赛题及答案解析(K12教育文档)
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八年级数学竞赛题(本检测题满分：120分,时间：120分钟）班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分,共30分）1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A ．－5B ．－2C ．1D ．4 2。
下列各式中计算正确的是（ ）A 。
9)9(2-=- B.525±= C.3311()-=- D.2)2(2-=-3。
若901k k <<+ (k 是整数)，则k =（ ）A. 6B. 7C.8D. 9 4。
下列计算正确的是( ) A 。
ab ·ab =2abC.3—=3(a ≥0） D 。
·=(a ≥0，b ≥0）5。
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C 。
三边长之比为3∶4∶5 D 。
三内角之比为3∶4∶56.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对7。
将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16D ．7≤h ≤168.在直角坐标系中,将点（－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A.（4， －3） B 。
长沙市课外读书活动2016年“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九年级复赛试题 参考答案
九年级数学复赛试题·第1版（共6 版）九年级数学复赛试题·第2版（共6 版）2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题 答 案一、选择题（每小题7分）1.选D ，理由：由2()()()y x a x b x a b x ab =−−=−++，知二次函数的自变量x 的二次项系系数为1，所以函数能取得最小值，当2ba x +=时， min y =222(4)(4b a b a ab −−=+−2.选B ，理由：由MA =MB =MC ，知∠ABC =90°，已知其周长为30，则AC +BC =17，且AC 2+BC 2=132，从而2222()()AC BC AC BC AC BC ⋅=+−+ =172-132=120，故S △ABC =3021=⋅BC AC 。
3.选C 理由：由)()())(13()(2c b b a c a c b b a −+−=−=−++−知,)(3)(2b a c b b a −=−+−即),(3))(12(c b b a −−=−−故123−−=−−c b b a ＜0 4. 选A ，理由：法一:可以证明BEC AEH Δ≅Δ法二: 如图，作出△ABC 的外接圆，延长CH 交AB 于点D ，交外接圆于点H ′，则由∠=BA H '∠'H CA =∠HBA 知'H D =DH ，亦知△A 'H B 与△AHB 关于AB 对称，从而这两个三角形的外接圆关于AB 对称，即这两个圆为等圆， 而∠ABH = 45°=∠BAC ，故AH =BC 。
5.选B ，理由：因为9n 能被9整除，所以它的数码和a 被9整除，则n 能被9整除，所以两位数n 只可能是18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，用3去乘，把数字之和发生改变的63排除掉；同样，用7去乘可排除27、54，用9去乘可排除72、81，所以满足条件的两位数是18、36、45、90、99共5个。
2016年长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解
2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）. A 、P ＜Q B 、P ＞Q C 、P ＝Q D 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0， ∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（ ）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（ ）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（ ）.A 、9B 、12C 、13D 、15 解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（ ）. A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心解：如图，设直线DE 平分△ABC 的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和AC 上，作∠A 的平分线交DE 于P ，记P 到AB ，AC 的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC的内心.故选A.rr1r P E DA6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（ ）. A、 B、 C 、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N.∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.7.D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（ ）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG. ∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ， ∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（ ）. A 、（8，4） B 、（7，4） C 、（3，4） D 、（2，4）解：易知OA＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4.因为D 为OA 的中点，故OD ＝5.∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形， ∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3， ∴此时点P 的坐标为（3，4）；②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为 （2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）. 综上只有点（7，4）不可能，故选B.9.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（ ）.第7题第6题F E A O F EDC B A N MOFE BAGFE DCBA图2A 、383B 、384C 、385D 、400 解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（ ）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习 解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学， 又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习，∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 解：答案为－3.∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c babc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x+的值为. 解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=. ∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝.解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝. 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为. 解：答案为4.连接BG . S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14AB ·BC ＝14⨯24＝6， 同理S △BCE ＝6.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.CB AE Dy xy xC BAG F ED16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为. 解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD ＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点 B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B 两点坐标分别代入，得：345k bb=+⎧⎨-=⎩， 解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52.∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是. 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6） 解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为. 解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4.∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）G第16题第15题第14题DB FEC A ED C BA19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦·时. （1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋0.0045x）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋0.02x）元.（2）①由题意，得：49＋0.0045x＝18＋0.02x解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋0.0045x＞18＋0.02x∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋0.0045x＜18＋0.02x∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋0.0045⨯3000＝111.5（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋0.02⨯30000＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋0.0045⨯2800＋0.02⨯200＝83.6（元）.∵83.6＜96＜111.5∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D 在射线BM 上，且BD ＝2BM ，点E 在射线NA 上，且NE ＝2NA.求证：BD ⊥DE.证明：连接CD ，由题意可知AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC ＝BC ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴CN ＝CM ，又∠C ＝∠C ，∴△BCM ≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3. 取AD 中点F ，连接EF.则由AD ＝BC 可得AF ＝NC. ∵NE ＝2NA ， ∴AE ＝NA ，又∠4＝∠5， ∴△AFE ≌△NCA.∴∠AFE ＝∠NCA ＝90°，从而EF 是AD 的垂直平分线. ∴AE ＝DE ，故∠4＝∠6.在Rt △ACN 中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE ＝90°.∴BD ⊥DE.21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线M A EDC B 654321N M FEDC B A段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）.若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =； 若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE ＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -. 综上，2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<<⎪⎪⎝⎭⎩.（2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于 点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ， ∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2. ∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2， ∴12＋（2－a ）2＝a 2，解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54. ∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值.1图3解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数. 则24c a m n -=-＝19， 即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0， ∴2m n -＞0. ∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a =＝()543＝()453，∴53343b ==.∴1000243757d b -=-=.。
2016年初三竞赛复赛试题详解更正版
2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九年级复赛试题详解一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1.设实数a ，b 满足0ab ≠，且22a b ≠，则二次函数()()y x a x b =--的最小值为（ ）.A 、()22a b + B 、－()22a b + C 、()22a b - D 、－()22a b -解：()()y x a x b =--()22222a b a b x a b x ab x +-⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当2a b x +=时，y 有最小值为22a b -⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴选D.2.设△ABC 的周长为30，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝6.5，则△ABC 的面积是（ ）. A 、36 B 、30 C 、18 D 、15 解：如图，因为M 为AB 的中点，且MC ＝MA ，∴MC ＝MA ＝MB ，从而△ABC 是直角三角形，其中∠ACB ＝90°，并且AB ＝2MA ＝13. 设BC ＝a ，AC ＝b ，则a ＋b ＝30－13＝17，22213a b +==169.∴()2217289a b +==，即222289a ab b ++=， ∴()222289289169120ab a b =-+=-=，∴1302ab =，即△ABC 的面积是30，故选B.3.设实数a ，b ，c 满足b c ≠，))()1a b bc a c -+-=-，则a bb c--的值（ ）. A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、正负号不能确定解：∵()()a c a b b c -=-+-，))()1a b b c a c -+-=-，))()()()1a b b c a b b c -+-=-+-，))()()()10a b b c a b b c -+-----=，即)())10a b b c -+-=.∴)())1a b b c -=-.∵b c ≠，∴a b b c -=-＜0，故选C. 4.设H 为锐角△ABC 的垂心，且∠A ＝45°，则下列说法正确的是（ ）.A 、AH ＝BCB 、AH ＞BC C 、AH ＜BCD 、以上皆有可能 解：如图，延长AH 交BC 于H ，连接BH 并延长BH 交AC 于E. 由于H 是△ABC 的垂心，所以AD ⊥BC ，BE ⊥AC. ∵∠BAC ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，从而有AE ＝BE. 又∵∠1＋∠C ＝90°，∠2＋∠C ＝90°， ∴∠1＝∠2.又∠AEH ＝∠BEC ＝90°， ∴△AEH ≌△BEC ，∴AH ＝BC.故选A.b a MC B21H E A5.n 是一个两位数，它的各位数字之和为a ，当n 分别乘以3、5、7、9以后得到4个乘积，如果每一个积的各位数字之和仍为a ，那么这样的两位数n 有（ ）. A 、3个 B 、5个 C 、7个 D 、9个解：n 乘以9后所得的积是9的倍数，而且这个乘积的各位数字的和为a ，从而a 是9的倍数，又因为a 是n 的各位数字的和，所以n 是9的倍数.两位数中，9的倍数共有19，27，36，45，54，63，72，81，90，99，共10个，经逐一验证，可知n ＝18，36，45，90，99，共五个.所以选B.二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）6.已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则8W xy yz zx =++的最小值为 . 解：答案是0.∵x 、y 、z 都是非负数， ∴8W xy yz zx =++≥0.取x ＝1，则y ＋z ＝0，从而y ＝z ＝0，此时8W xy yz zx =++＝8y yz z ++＝0，这说明当x ＝1，y ＝z ＝0时W 的最小值是0.7.如图，在锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，如果四边形BCDE 的面积为3，则△ABC 的面积为 .解：答案为4.易证△ABD ～△ACE ，所以AD ︰AB ＝AE ︰AC ，又由∠A 是公共角，可得△ADE ～△ABC.由∠A ＝60°，得AD ︰AB ＝1︰2，所以S △ADE ︰S △ABC ＝1︰4.所以由四边形BCDE 的面积为3可求得△ABC 的面积为4.8.六张不同卡片上分别写有4、4、8、8、12、12，从中任意取出三张，则这三张卡片上所写的数字可作为三角形三边长的概率为 . 解：答案为25. 从6张卡片中任取3张，共有20种取法. 要使三个数可构成三角形的三边长，由两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，知可能为：（4，8，8）（8，8，12）（4，12，12）（8，12，12），由于不同的卡片上所写数有重复，从而取出的三张卡片上所写的数字可作为三边长的情形共有4×2＝8种.所以三张卡片上所写的数字可作为三角形三边长的概率为82205=.9.设a ，b ，c ，d 是四个正整数，且使得()()22222214m ab cd a b c d =+-+--是个非零整数，则m 一定含有因数 （＞2的因数）. 解：答案为4.()()22222214m ab cd a b c d =+-+-- ()()222222221122ab cd a b c d ab cd a b c d ⎡⎤⎡⎤=+++--+++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22222222122224a b c d a b c d a b c d a b c d =+++--+--++ ()()()()222214a b c d c d a b ⎡⎤⎡⎤=+--+--⎣⎦⎣⎦()()()()14a b c d a b c d c d a b c d a b =++-+-+++-+-+ EDB A由于四个数a b c d ++-、a b c d +-+、c d a b ++-、c d a b +-+的奇偶性相同，且它们的乘积是4的倍数，故它们必然都是偶数.设这四个数依次等于12m ，22m ，32m ，42m ，则1234122224m m m m m =⋅⋅⋅⋅12344m m m m =，所以m 是4的倍数，即m 一定含有因数4.10.设H 为锐角△ABC 的垂心，D 、E 、F 分别为高的垂足，如图，则在以这七个字母为顶点的三角形中，其中相似三角形的对数一共有 对.解：答案为30.先看相似的直角三角形，记含有高的直角三角形为较大的直角三角形，如△ADC ；记含有高线的一部分的直角三角形为较小的直角三角形，如△DCH ，这样小对小有3对，大对大有3对，小对大有12对，这时有18对；再看相似的非直角三角形；含有顶点D 的有4对；△DFA ∽△DHE ，△DFH ∽△DAE ，△ DBF ∽△DEC ，△DBE ∽△DFC ，同样含有顶点E 、F 的各有4对，这时相似的三角形共有18＋12＝30（对）.三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.某超市将进货价为每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个.超市经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在18元的基础上）每提高1元，则日销售量减少5个，若将这种商品的售价（在18元的基础上）每降价1元，则日销售量增加10个.为使超市每天获得的利润最大，此商品的售价应定为多少元？ 解：设这种商品每个的售价为x 元，每天的利润不y 元， ①当x ≥18时，()()1060518y x x =---⎡⎤⎣⎦ 252001500x x =-+- ()2520500x =--+ ∴当x ＝20时，y 有最大值为500.②当10＜x ＜18时，()()10601018y x x =-+-⎡⎤⎣⎦ 2103402400x x =-+- ()21017490x =--+∴当x ＝17时，y 有最大值为490. ∵500＞490，∴为使超市每天获得的利润最大，此商品的售价应定为20元.第10题第7题H F E D C A E D C B A FH E D C B A12.有一个五位数，它能被9和11整除.如果去掉第一、三、五位上的数字，得到的数是35；如果去掉前三位数字，得到的数能被9整除；如果去掉后三位数字，得到的数也能被9整除，求这个数.解：右图表示这个五位数从高位到低位的五个数字. 依题意，去掉a 、b 、c 三个数字后，得到的数是35，因此， 这个五位数的千位上的数字是3，十位上的数字是5.因为去掉a 、3、b 之后得到的数能被9整除，所以c ＝4；又因为去掉b 、5、c 之后得到的数也能被9整除，所以a ＝6.此时这个五位数如下图：因为这个五位数能被9整除，所以6＋3＋b ＋5＋4能被9整除，即18＋b 能被9整除. 因为0≤b ≤9，所 以b ＝0或9.当b ＝0时，五位数63054不是11的倍数，当b ＝9时，五位数63954是11的倍数. 所以这个五位数是63954.13.已知△ABC 满足∠B ＞∠C ，AH 、AM 分别为△ABC 的高和中线，若AL 平分∠ABC 交BC 于点L ，且∠HAL ＝∠MAL. （1）求∠BAC 的度数；（2）当中线AM 平分∠HAC 时，求∠ABC 的度数.解：（1）过点B 作AB 的垂线，分别与AH 、AM 的延长线相交于点E 、D.则∠CBD ＋∠CBA ＝90°. ∵AH ⊥BC ， ∴∠BAH ＋∠CBA ＝90°，∴∠CBD ＝∠BAH.∵AL 平分∠BAC ， ∴∠BAL ＝∠CAL. ∵∠HAL ＝∠MAL ，∴∠BAL －∠HAL ＝∠CAL －∠MAL.即∠BAH ＝∠CAM.∴∠CBD ＝∠CAM ， ∴A 、B 、D 、C 四点共圆，且AD 是此圆的一条直径.∵M 是BC 的中点，∴直径AD 平分弦BC. 若BC 不是圆的直径，则AD ⊥BC ，但是因为AH ⊥BC ，所以AD 与BC 不垂直.∴BC 必定是此圆的一条直径.∴∠BAC ＝90°.（2）如图2.由AM 平分∠HAC ，得∠HAM ＝∠CAM.由（1）有∠BAH ＝∠CAM ，故∠BAH ＝∠HAM ，又AH ＝AH ， ∠BHA ＝∠MHA ＝90°，∴△ABH ≌△AMH ，∴AB ＝AM.∵∠BAC ＝90°，AM 是BC 边上的中线，∴AM ＝12BC ＝BM. ∴AB ＝AM ＝BM.∴△ABM 是等边三角形 . ∴∠ABC ＝60°.M H C B A53c ba 4653b 图1L M H E C B A 图2L M H C B A14.若有13个不同正整数之和等于100，试问这些正整数中偶数最多有几个？最少有几个？解：∵13个不同的正整数的和为100，而100是偶数，∴这13个数中，奇数的个数是偶数，偶数的个数是奇数，设13个数中偶数的个数为k，则k是奇数.∵最小的10个不相同的奇数的和为1＋3＋5＋…＋19＝100，13－10＝3，∴k＞3，从而k≥5.又∵如下8个奇数与5个偶数的和等于100：（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（2＋4＋6＋8＋12）＝100.∴k的最小值是5.∵最小的9个不相同的偶数与最小的4个不相同奇数的和为（2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18）＋（1＋3＋5＋7）＝106＞100，∴13个不同的数中，偶数的个数小于9，即k＜9，从而k≤7.又∵如下7个偶数与6个奇数的和等于100：（2＋4＋6＋8＋10＋12＋14）＋（1＋3＋5＋7＋9＋19）＝100，∴k的最大值是7.综上，这些正整数中偶数最多有7个，最少有5个.。
数学初二竞赛试题及答案
数学初二竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 一个等腰三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么它的周长可能是：A. 10cmB. 11cmC. 12cmD. 13cm4. 下列哪个选项是完全平方数？A. 12B. 13C. 14D. 155. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0C. -1D. 26. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数7. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°8. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和，那么第五项是：A. 4B. 5C. 6D. 79. 一个圆的直径是10cm，那么它的面积是：A. 25π cm²B. 50π cm²C. 100π cm²D. 200π c m²10. 一个等差数列的前三项是2, 5, 8，那么它的公差是：A. 1C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是3，那么这个数是________。
2. 如果一个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°，那么这个三角形是________三角形。
3. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
4. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。
5. 一个圆的半径是5cm，那么它的直径是________cm。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知等差数列的前三项是3, 6, 9，求这个数列的第10项。
2. 一个直角三角形的两个直角边长分别是6cm和8cm，求这个三角形的斜边长。
长沙市初中数学竞赛决赛试卷八年级定稿版
2013年长沙市中学数学'‘学用杯”应用与创新能力大赛八年级决赛试题(2013 年 3 月 17 S 9:30—11:30 时呈:120 分钟满分：150 分)一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）DIP题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案已知式子毛!F的值为零，则X的值为（）A、8 或-1B、8C、-1D、12.若一 IVdV0,那么α(l-")(l + α)的值一定是()A、正数B、非负数C、负数D、正负数不能确能3.定义:f(a,b) = (b i a) , g(fn,n) = (-m,-n),例如/(2,3) = (3,2), g(-1,-4) =(1,4),则g(∕(-5,6))等于()A> (-6,5) B、(-5-6) C. (6-5) D、(-5,6)4.已知 d-b = 5,且 c-b = 10,贝∖∖a2 +b2 +c2 -ab-hc-ac )A> 105 B. 100 C、75 D、505.有而额为壹元、贰元、伍元的人民币共10張，欲用来购买一盏价值为18元的护眼灯，要求三种而额都用上，则不同的付款方式有（）A. 8种B、7种C、4种 D、3种6.已知一个直角三角形「的两直角边上的中线长分别为5和2√lθ ,那么这个三角形的斜边长为（）A、10B、4v f10C、√13D、2√13 7・如图，在'ABC中，AC=BC ,ZACB=90Q , AD平分ZBACBE丄AD交AC的延长线于点八垂足为E,则下面结论•① AD = BF; ② B F=AF; ®AC + CD = ABx④ BE = CF;⑤AD=2BE.英中正确的个数是(8.如果一直线/经过不同三点A(αb), B(Aa), C(α-b"-α),那么直线/经过 ( )A 、18 个B 、12 个C 、6 个D 、2 个10. 如图•在'ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的 中线，并且BD丄CE, BD=49 C 民6,那么△ ABC 的 而积等于(.)A 、12B 、14C 、16D 、18二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)11. 已知|0-21+@ + 4)2+血 + 〃-2(=0,则(αc)"的平方根是 ______________ .12. 若 a. b. C 满足 3cι + 7b + c = 1 和 4o + lM + c = 2001,则分式的a + 3b值为______13. ________________________________ 方程lx + ll + lx-2l=5的解为 .14・甲.乙，丙三管齐开，12分钟可注满全池：乙，丙、丁三管齐开，15分钟可注 满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池.如果四管齐开，需要—分钟可 以注满全池・第1次第2次 第3次 第4次 第5次 甲90 SS 87 93 92乙 81 87 85 98 ■绩的概率是 _________ 16. 从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为:L 3、"则这个等边三角形的边长为 _________ ・17. _________________________________________ 代数式√√74÷√A ∙2-24A ÷153的最小值是 ____________________1 / 118. 如图，在 Rt ∆ABC 中，ZBAC=90o, M 、N 是 BC边上的两点，且BM=MN=NC,如果AM=4, AN=3, 则 MN=_.三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）19、 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了 生产A种板材48000沖和B 种板材24000加2的任务. A 、 4 B 、 3 C. 2 D. 1A.第二、四象限C.第二、三.四象限9.能使 4∕n + 5 ,2ιn -∖ B 、第一、三象限 D 、第一、三、四象限 20-∕π这三个数作为三角形三边长的整数加共有（1）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 Hf 或B种板材40 m∖请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）某灾民安宜点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安宜人数如下表所示：问这20、小明家今年种植的樱桃喜获丰收.采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售疑y （单位：千克）与上市时间X （单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格Z （单位：元/千克）与上（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值：⑵求小明家樱桃的日销售量y与上市时间X的函数解析式:⑶ 试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？21、如图.已知平行四边形ABCD,过A点作AM丄BC于M,交BD于E,过C点作 CN丄AD于 N , 交 BD 于 F ,连接AF、 CE・（1）求证：四边形AECF为平行四边形：（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB. AE的值.CM22如图，在RtA ABC中，ZC=90o, AC=S, BC=6,点戸伽B上，AP=2点E、F同时从点P 出发，分别沿用、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点 E到达点A后立即以原速度沿皿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停I匕在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与AABC在线段AB 的同侧，设E、F运动的时间为/秒(/>0),正方形EFGH与AABC重叠部分而积为S.(1)当匸1时，正方形EFGH的边长是 __________ ；当匸3时，正方形EFGH的边长是■(2)当0V∕≤2时，求S与f的函数关系式；(3)在整个运动过程中，当/为何值时S最大？最大而积是多少？。
最新长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解
2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）. A 、P ＜Q B 、P ＞Q C 、P ＝Q D 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0， ∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（ ）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（ ）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（ ）.A 、9B 、12C 、13D 、15 解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（ ）. A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心解：如图，设直线DE 平分△ABC 的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和AC 上，作∠A 的平分线交DE 于P ，记P 到AB ，AC 的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC的内心.故选A. rr1r P E DA6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（ ）. A、 B、 C 、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N.∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.7.D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（ ）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG. ∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ， ∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（ ）. A 、（8，4） B 、（7，4） C 、（3，4） D 、（2，4）解：易知OA ＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4. 因为D 为OA 的中点，故OD ＝5. ∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形， ∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3， ∴此时点P 的坐标为（3，4）；②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为 （2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）. 综上只有点（7，4）不可能，故选B.第7题第6题F E A OFEDC B A N MOFE BAGFE DCBA图29.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（ ）.A 、383B 、384C 、385D 、400 解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（ ）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习 解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学， 又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习，∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 . 解：答案为－3.∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c babc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x+的值为 . 解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=.∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝ .解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝ . 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为 . 解：答案为4.连接BG . S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14 AB ·BC ＝14⨯24＝6， 同理S △BCE ＝6.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.B AE Dy xy xC BAG F ED16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为 . 解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD ＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点 B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B 两点坐标分别代入，得： 345k bb=+⎧⎨-=⎩，解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52. ∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是 . 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6） 解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为 . 解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4.∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.G第16题第15题第14题DB FEC A ED C BA三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦·时. （1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋0.0045x）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋0.02x）元.（2）①由题意，得：49＋0.0045x＝18＋0.02x解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋0.0045x＞18＋0.02x∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋0.0045x＜18＋0.02x∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋0.0045⨯3000＝111.5（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋0.02⨯30000＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋0.0045⨯2800＋0.02⨯200＝83.6（元）.∵83.6＜96＜111.5∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D在射线BM上，且BD＝2BM，点E在射线NA上，且NE＝2NA.求证：BD⊥DE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC＝BC，M、N分别是AC、BC的中点，∴CN＝CM，又∠C＝∠C，∴△BCM≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3.取AD中点F，连接EF.则由AD＝BC可得AF＝NC.∵NE＝2NA，∴AE＝NA，又∠4＝∠5，∴△AFE≌△NCA.∴∠AFE＝∠NCA＝90°，从而EF是AD的垂直平分线. ∴AE＝DE，故∠4＝∠6.在Rt△ACN中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥DE.NMAED654321NMFEDCBA21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）.若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =； 若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE ＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -. 综上，2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ， ∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2. ∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2， ∴12＋（2－a ）2＝a 2，解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54.1图3∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值. 解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数.则24c a m n -=-＝19， 即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0，∴2m n -＞0.∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a=＝()543＝()453，∴53343b ==.∴1000243757d b -=-=.。
八年级物理下学期竞赛预赛试卷(含解析) 新人教版
2015-2016学年湖南省长沙市长郡双语实验中学八年级（下）竞赛预赛物理试卷一．选择题（共66分，每题3分）1．在“达人秀”节目中，演员用冬瓜、土豆做成吹奏乐器，用它们吹奏出来的声音可能具有的相同特征是（）A．音调响度B．音色响度C．音色音调D．音色音调响度2．河中有一漂浮物，甲船在漂浮物上游100米处，乙船在漂浮物下游100米处，若两船同时以相同的速度去打捞，则（）A．甲船先到 B．乙船先到 C．两船同时到达 D．无法判断3．如图所示，是我们看到的筷子斜插入水中的情况，其中正确的是（）A． B． C． D．4．在暗室里用蜡烛做小孔成像实验时，小明在硬纸板的不同位置上戳了圆形、正三角形、正方形和五角形四个小孔，则在墙上可能（）A．出现一个蜡烛火焰的倒像B．出现四个蜡烛火焰的倒像C．出现四个跟小孔形状相同的清晰光斑D．出现四个模糊的光斑5．如图所示，两平面镜夹角为60°，0P为角平分线，某人站在P点，则平面镜M内此人所成的像的个数是（）A．2个B．3个C．5个D．6个6．如图所示，在行驶的列车内的水平桌面上，放置一个气泡水平仪，水平仪的气泡突然向前移动，由此可知列车的运动状态可能发生的变化是（）A．突然启动 B．突然制动C．由运动变为静止D．突然减速7．从井中用绳提上一桶水时，手感到向下的拉力，这拉力的施力物体是（）A．地球 B．水C．水和桶D．绳子8．如图所示，用水平力推静止在水平地面上的大木箱，没有推动．这时，木箱受到的（）A．推力小于摩擦力B．推力和摩擦力大小一定相等C．推力一定小于重力 D．推力和摩擦力方向相同9．如图（a）所示，停在公路旁的公安巡逻车利用超声波可以监测车速：巡逻车上测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，就能测出车速．在图（b）中，P1、P2是测速仪先后发出的超声波信号，n1n2分别是测速仪检测到的P1、P2经反射后的信号．设测速仪匀速扫描，P1与P2之间的时间间隔为0.9秒，超声波在空气中传播的速度为340米/秒，则被测车的车速为（）A．20米/秒B．25米/秒C．30米/秒D．40米/秒10．如图所示，甲容器内装有水，乙试管内也装有水，并通过甲容器密封盖上的孔插入甲容器的水中，且乙试管与密封盖紧密接触．现给甲容器加热，则经过一段时间后（）A．甲容器内的水先沸腾B．乙试管内的水先沸腾C．甲容器、乙试管内的水同时沸腾D．甲容器内的水沸腾，乙试管内的水不会沸腾11．小光在听讲座时，想把银幕上用投影仪投影的彩色幻灯片图象用照相机拍摄下来，由于会场比较暗，他使用了闪光灯，这样拍出来的照片（）A．反而看不清投影到银幕上的图象，倒是把银幕上的一些污渍拍出来了B．色彩鲜艳，比不用闪光灯清楚多了C．色彩被“闪”掉了，拍到的仅有黑色的字和线条D．与不用闪光灯时效果一样，因为拍摄的是银幕上的像，而不是实际的景物12．假设地球表面不存在大气层，那么观察到的日出时刻与实际存在大气层时的情况相比（）A．将提前B．将延后C．不变D．在某些地区将提前，另一些地区将延后13．如图所示，平面镜OM与ON的夹角为θ，一条平行于平面ON的光线经过两个平面镜的多次反射后，能够沿着原来的光路返回，则两平面镜之间的夹角不可能是（）A．20° B．15° C．10° D．5°14．如图（a）所示，平面镜OM与ON夹角为θ，光线AB经过平面镜的两次反射后出射光线为CD．现将平面镜OM与ON同时绕垂直纸面过0点的轴转过一个较小的角度β，而入射光线不变，如图（b）所示．此时经过平面镜的两次反射后的出射光线将（）A．与原先的出射光线CD平行B．与原先的出射光线CD重合C．与原先的出射光线CD之间的夹角为2βD．与原先的出射光线CD之间的夹角为β15．将筷子竖直插入装水的玻璃杯内，从俯视图中的P点沿水平方向看到的应该是如图所示哪个图中的情形（）A． B． C． D．16．在做“凸透镜成像规律”的实验中．当烛焰、透镜及光屏处在图所示位置时，恰能在光屏上得到一个清晰的像．由此判断，他所用凸透镜的焦距（）A．一定小于8cm B．一定在8cm到10cm之间C．一定大于20cm D．一定在10cm到16cm之间17．平面镜水平放置且镜面朝上，在镜面上方竖直放置一凸透镜，在凸透镜左侧主光轴上两倍焦距处有一点光源S，关于点光源在该光具组中成像情况的判断，正确的是（）A．两个实像，两个虚像B．两个实像，一个虚像C．一个实像，两个虚像D．一个实像，三个虚像18．如图所示，F1、F2是凸透镜的焦点，S是放在凸透镜前的点光源，S′是S经凸透镜所成的像．当光源S沿平行主轴的方向向透镜移动时（始终保持u＞f），像S′远离透镜移动的情况是（）A．沿平行主轴方向B．沿O与S′连线方向C．沿F2与S′连线方向D．沿F1与S′连线方向19．现有密度分别为ρ1和ρ2的两种液体，且ρ1＜ρ2．在甲杯中盛满这两种液体，两种液体的质量各占一半；在乙杯中也盛满这两种液体，两种液体的体积各占一半．假设两种液体之间不发生混合现象，甲、乙两个杯子也完全相同．则（）A．甲杯内液体的质量大B．乙杯内液体的质量大C．两杯内液体的质量一样大D．无法确定20．为了铸造金属工件，事先用密度为ρ1的实木材料制成木模，木模的质量为1.8kg．再用密度为ρ2的合金铸造30个这样的工件，这些合金的总质量为648kg，则木模与合金材料密度之比为（）A．1：4 B．1：12 C．1：30 D．1：36021．如图所示，教室里的天花板下面装有多挡位吊扇，当吊扇正常工作时，对于吊扇对天花板的拉力大小与其重力大小的判断，下列说法中正确的是（）A．吊扇在高挡位工作时，拉力等于重力B．吊扇在低挡位工作时，拉力大于重力C．电扇在任意挡位工作时，拉力等于重力D．电扇在任意挡位工作时，拉力小于重力22．如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧A一端固定在地面上并竖直放置，质量为m的物块压在弹簧A上，用一细绳跨过定滑轮，一端与m相连，另一端与劲度系数为k2的轻质弹簧B相连．现用手握住弹簧B的右端使其位于c点时，弹簧B恰好呈水平且没有形变，将弹簧B的右端水平拉到d点时，弹簧A恰好没有形变．已知：K2＜K1，则c、d之间的距离为（）A． B．C． D．二、填空题（共14分，每空2分）23．现有质量均为m的甲、乙两种金属，密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＞ρ2），按一定比例混合后，平均密度为，求混合后的最大质量为______（不考虑混合后的体积变化）24．甲、乙两同学想测量一卷筒纸的总长度，考虑到纸筒上绕的纸很长，不可能将纸全部放开拉直了再用尺测量．甲同学的方法是：首先从卷筒纸的标签上了解到，卷筒纸拉开后纸的厚度为d，然后测出卷筒纸内半径为r，外半径为R，则卷筒纸的总长度L为______．乙同学的方法是：首先测出卷筒纸内半径为r，外半径为R，然后拉开部分卷筒纸测出它的长度为L0，此时卷筒纸的外半径由一开始的R减小到R0，则卷筒纸的总长度L为______．25．北方的冬天天气比较寒冷，房间内一般都要安装暖气片供暖．在房间暖气片温度保持不变的情况下，房间内的平衡温度将随外界温度的变化而变化．研究表明，房间内暖气片和房内的温差与房间内外的温差之比保持不变．当外界温度为﹣23℃时，房间内的温度长时间保持13℃不变；当外界温度为﹣18℃时，房间内温度长时间保持16℃不变，则房间内暖气片的温度应为______℃．当房间内温度长时间保持25℃不变时，外界温度为______℃．26．如图所示，两端开口的圆筒内嵌有一凸透镜，透镜主光轴恰好与圆筒中轴线重合．为了测出该透镜的焦距以及透镜在圆筒内的位置，小李同学做如下实验：在圆筒左侧凸透镜的主光轴上放置一点光源S，在圆筒右侧垂直凸透镜的主光轴固定一光屏，点光源S与光屏的距离为L．左右移动圆筒，当圆筒左端面距离点光源S为a时，恰好在光屏上成一个清晰的像；将圆筒向右水平移动距离b，光屏上又出现了一个清晰的像．则凸透镜和圆筒左端面的距离x为______，该透镜的焦距f为______．三、计算题（共20分，每题各10分）27．某船在静水中航速为36km/h，船在河中逆流而上，经过一座桥时，船上的一只木箱不慎被碰落水中（落水后，木箱速度立即与水流速度相同），经过两分钟，船上的人才发现，立即调转船头追赶，在距桥600m处追上木箱，则水的流速是多少？28．目前国际上酒的度数表示法有三种，其中一种称为标准酒度，是指在温度为20℃的条件下，每100毫升酒液中所含酒精量的毫升数．中国也使用这种表示法，它是法国著名化学家盖吕萨克制定的，又称盖吕萨克酒度．蒸馏出来的酒液需要进行勾兑，勾兑一方面为了保障酒的品质，另一方面可以调整酒的度数．若现有60度和30度的酒液若干，酒液中的微量元素忽略不计．求：（1）60度酒液的密度．（2）如果用这两种酒液进行勾兑，获得42度、1000毫升的酒液，那么需要这两种酒液各多少毫升．（已知ρ酒精=0.8×103kg/m3，ρ水=1.0×103kg/m3，不考虑酒液混合后体积减少）2015-2016学年湖南省长沙市长郡双语实验中学八年级（下）竞赛预赛物理试卷参考答案与试题解析一．选择题（共66分，每题3分）1．在“达人秀”节目中，演员用冬瓜、土豆做成吹奏乐器，用它们吹奏出来的声音可能具有的相同特征是（）A．音调响度B．音色响度C．音色音调D．音色音调响度【考点】音调、响度与音色的区分．【分析】声音的特性有三个：音调、响度和音色．音调是指声音的高低，响度是指声音的大小，音色是指声音的感觉特性．【解答】解：不同乐器、不同发声体的材料和结构不同，产生的音色会不同，我们是靠音色来辨别乐器的种类；所以用冬瓜、土豆做成吹奏乐器，用它们吹奏出来的声音的音色一定是不同的，具有的相同特征可能是音调和响度．故选A．【点评】正确区分声音的音调、响度和音色是解决此题的关键．2．河中有一漂浮物，甲船在漂浮物上游100米处，乙船在漂浮物下游100米处，若两船同时以相同的速度去打捞，则（）A．甲船先到 B．乙船先到 C．两船同时到达 D．无法判断【考点】速度公式及其应用；运动和静止的相对性．【分析】此题要注意到河水是流动的，故甲船、乙船、漂浮物都会顺流而下．【解答】解：两船以相同速度去打捞，以两船速度均为v船、河水流速为v水来比较，可知：（1）甲船离漂浮物100米，当甲船顺流而下时，漂浮物也顺流而下，故甲船相对漂浮物的速度为v船，追上漂浮物的时间为（2）乙船逆流而上，故船速实际为v船﹣v水；同时漂浮物要顺流而下，故乙船相对漂浮物的速度为v船，追上漂浮物的时间为由上可知两船是同时到达．故选C．【点评】本题要注意河水是流动的，如果不考虑这点，也能得出两船同时到达的结论，但其考虑过程却是错误的．3．如图所示，是我们看到的筷子斜插入水中的情况，其中正确的是（）A． B． C． D．【考点】光的折射现象及其应用．【分析】我们看到水中的筷子，水的筷子反射的光线，从水中射入空气中时，折射光线向远离法线方向偏折．【解答】解：此时筷子斜插入水中，由于光的折射作用，从上面看筷子水中的部分的位置比实际位置高一些，看起来向上弯折；故选D．【点评】本题主要考查的是学生对光的折射现象的认识，平时多观察、多思考．4．在暗室里用蜡烛做小孔成像实验时，小明在硬纸板的不同位置上戳了圆形、正三角形、正方形和五角形四个小孔，则在墙上可能（）A．出现一个蜡烛火焰的倒像B．出现四个蜡烛火焰的倒像C．出现四个跟小孔形状相同的清晰光斑D．出现四个模糊的光斑【考点】光直线传播的应用．【分析】沿直线传播的光经过小孔后在光屏上会成像，即小孔成像，小孔成像成的是倒立的实像，像的形状与物体的形状相同，与孔的形状无关．【解答】解：小孔成像是由光沿直线传播形成的，小孔成像，成的都是倒立的实像，与小孔的形状无关，像的形状取决于物体的形状，因此在硬纸板的不同位置扎四个不同形状的小孔，则在墙上会出现四个蜡烛火焰的实像．故选B．【点评】本题考查光的直线传播形成的小孔成像现象，此类问题学生往往在孔的形状与成像的形状的关系上出错，要牢记成像的形状与孔的形状无关，完全取决于物体的形状．5．如图所示，两平面镜夹角为60°，0P为角平分线，某人站在P点，则平面镜M内此人所成的像的个数是（）A．2个B．3个C．5个D．6个【考点】平面镜成像的相关作图．【分析】P点在平面镜M中和N中分别成像，像又会分别在M、N中再次成像．【解答】解：P在M、N中分别成像A、A′，同时P在M中所成的像A会在N中再次成像B，P在N中所成的像A′会在M中再次成像B′，A′在M中所成的像C和B′在N中所成的像C′恰好重合，如下图所示：所以在平面镜M内得到的像一共有5个．故选C．【点评】此题中在两个平面镜会成6次像，但是有2个像点会重合，所以最终得到的像的个数是5个．6．如图所示，在行驶的列车内的水平桌面上，放置一个气泡水平仪，水平仪的气泡突然向前移动，由此可知列车的运动状态可能发生的变化是（）A．突然启动 B．突然制动C．由运动变为静止D．突然减速【考点】惯性现象．【分析】物体由于惯性要保持原来的运动状态．质量越大的物体惯性越大，惯性越大越保持原来的运动状态．【解答】解：当列车静止或匀速前进时，液体和列车保持相对静止，气泡在水平仪中间．当列车突然启动或加速时，液体要保持原来的运动状态，向列车后方运动，把气泡挤向列车行驶的方向．故只有A的说法符合实际．故选A．【点评】水平仪中液体的质量远大于气泡的质量，可以理解成液体由于惯性保持原来的运动状态，把气泡挤向液体运动的反方向．7．从井中用绳提上一桶水时，手感到向下的拉力，这拉力的施力物体是（）A．地球 B．水C．水和桶D．绳子【考点】力的概念．【分析】力是物体对物体的作用，产生力的两个物体互为施力物体互为受力物体．【解答】解：用绳子提起水桶，与手接触的是绳子．手对绳子有一个向上的拉力，由于物体间力的作用是相互的，同时绳子也会对手有一个向下的拉力．所以手受到一个向下的力的作用，这个力的施力物体是绳子．故选 D【点评】本题考查了力的概念和力作用的相互性，力的作用方式包括接触和不接触．8．如图所示，用水平力推静止在水平地面上的大木箱，没有推动．这时，木箱受到的（）A．推力小于摩擦力B．推力和摩擦力大小一定相等C．推力一定小于重力 D．推力和摩擦力方向相同【考点】二力平衡条件的应用．【分析】（1）物体静止或做匀速直线运动时，处于平衡状态，所受到的力是一对平衡力；（2）二力平衡的条件是：作用在同一个物体上，大小相等、方向相反、作用在同一直线上．【解答】解：因为用水平力推静止在水平地面上的大木箱，没有推动，所以大木箱，处于静止状态，在水平方向上所受的推力与摩擦力是一对平衡力，所以摩擦力等于推力，并且方向相反．故选B．【点评】此题主要考查了二力平衡条件的应用，解决此题的关键是找出题目中暗含的条件，大木箱处于静止状态即平衡状态，受力平衡．经常地错误认识推不动是由于推力小于摩擦力，没有把握住题目的关键所在．9．如图（a）所示，停在公路旁的公安巡逻车利用超声波可以监测车速：巡逻车上测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，就能测出车速．在图（b）中，P1、P2是测速仪先后发出的超声波信号，n1n2分别是测速仪检测到的P1、P2经反射后的信号．设测速仪匀速扫描，P1与P2之间的时间间隔为0.9秒，超声波在空气中传播的速度为340米/秒，则被测车的车速为（）A．20米/秒B．25米/秒C．30米/秒D．40米/秒【考点】速度公式及其应用；速度的计算．【分析】（1）由题意可知，P1、P2的时间间隔为0.9s，根据图乙所示P1、P2的间隔的刻度值，以及P1、n1和P2、n2之间间隔的刻度值．可以求出P1、n1和P2、n2间的时间，即超声波由发出到接收所需要的时间；从而可以求出超声波前后两次从测速仪汽车所用的时间，结合声速，进而可以求出前后两次汽车到测速仪之间的距离；由于汽车向着测速仪方向运动，所以两者之间的距离在减小．汽车前后两次到测速仪之间的距离之差即为汽车前进的路程．（2）由于两次超声波发出的时间间隔为0.9s．汽车运动的时间为从第一次与超声波相遇开始，到第二次与超声波相遇结束．求出这个时间，就是汽车运动的时间．（3）根据汽车运动的距离和时间，即可求出汽车的运动速度．【解答】解：（1）P1、P2的间隔的刻度值为4.5个格，时间长为0.9s，P1、n1之间间隔的刻度值为1.5个格，所以对应的时间为0.3s；测速仪第一次发出超声波时，经过了0.15s到达了汽车处，而信号从汽车处返回测速仪，也行驶了0.15s的时间；P2、n2之间间隔的刻度值1个格，所以对应的这两点之间对应的时间为0.2s，测速仪第二次发出超声波时，经过了0.1s到达了汽车处，而信号从汽车处返回测速仪，也行驶了0.1s的时间；测速仪第一次发出的信号从汽车处返回到测速仪时，汽车距测速仪：s1=v声t1=340m/s×0.15s=51m；第二次发出的信号从汽车处返回到测速仪时，汽车距测速仪：s2=v声t2=340m/s×0.1s=34m；因此汽车在两次与信号相遇的过程中，行驶了：s′=s1﹣s2=51m﹣34m=17m；（2）这17m共用了：t′=△t﹣+=0.9s﹣0.15s+0.1s=0.85s；（3）所以汽车的车速为：v′===20m/s．故选A．【点评】如何确定汽车运动的时间，是此题的难点．两次信号的时间间隔虽然是0.9秒，但汽车在接收到两次信号时通过的路程所对应的时间不是0.9秒；要从第一次接收到超声波的信号开始计时，到第二次接收到超声波的信号结束，由此来确定其运动时间．10．如图所示，甲容器内装有水，乙试管内也装有水，并通过甲容器密封盖上的孔插入甲容器的水中，且乙试管与密封盖紧密接触．现给甲容器加热，则经过一段时间后（）A．甲容器内的水先沸腾B．乙试管内的水先沸腾C．甲容器、乙试管内的水同时沸腾D．甲容器内的水沸腾，乙试管内的水不会沸腾【考点】沸腾及沸腾条件；沸点及沸点与气压的关系．【分析】液体沸腾有两个必要条件：①达到沸点，②继续吸热，当两个条件同时具备时即可沸腾；液面上的压强越高，液体的沸点越高，反之，气压越低，液体的沸点越低．据此分析判断．【解答】解：甲容器是密封的，给甲容器加热，经过一段时间后，甲容器水面上的气压增大，沸点升高，会高于100℃；乙容器的水从甲容器的水吸收热量，温度升高，当达到水的沸点（100℃）时就会会沸腾，而此时甲容器的水还不能沸腾．再加热甲容器内的水也能沸腾故选B．【点评】本题考查了沸腾及其条件、沸点与气压的关系，综合性强，要求灵活运用所学知识．11．小光在听讲座时，想把银幕上用投影仪投影的彩色幻灯片图象用照相机拍摄下来，由于会场比较暗，他使用了闪光灯，这样拍出来的照片（）A．反而看不清投影到银幕上的图象，倒是把银幕上的一些污渍拍出来了B．色彩鲜艳，比不用闪光灯清楚多了C．色彩被“闪”掉了，拍到的仅有黑色的字和线条D．与不用闪光灯时效果一样，因为拍摄的是银幕上的像，而不是实际的景物【考点】生活中的透镜；漫反射；凸透镜成像的应用．【分析】闪光灯的光比投影仪的光强，白光盖过了投影仪的光．就像白天看星星一样，看不到的．银幕反射彩色的光本来就是漫反射，光很弱．如果用闪光灯，银幕反射白光强度大，只拍出白色银幕或者上面的污点．彩色图片被冲淡，拍不出了．【解答】解：闪光灯的光照射到物体上，可以使物体表面的亮度增大，但闪光灯照射到银幕上以后，只能增加银幕的亮度，而不能增加图象的亮度，相反，图象的亮度和清晰度明显减弱，所以反而看不清银幕上的图象，而银幕上的污渍更加清晰了，银幕上的黑色的字和纸条实际上就是投影片上不透明物体的影子，即黑暗区域．因此不用闪光灯拍摄的效果好．综上所述，只有选项A正确．故选A．【点评】此题不仅仅是考查凸透镜成像的规律，而主要考查光的反射和漫反射，有一定的拔高难度，属于难题．12．假设地球表面不存在大气层，那么观察到的日出时刻与实际存在大气层时的情况相比（）A．将提前B．将延后C．不变D．在某些地区将提前，另一些地区将延后【考点】光的折射现象及其应用．【分析】由光发生折射时的光线偏折情况和光在均匀介质中沿直线传播解答．【解答】解：如果地球表面不存在大气层，太阳光将在真空中沿直线传播，由于地球是圆形的，所以只有太阳升到某一位置时才能观察到；而正因为地球表面上有大气层，阳光射入大气层时会发生折射现象，能够提前观察到；所以如果地球表面不存在大气层，那么观察到的日出时刻与实际存在大气层时的情况相比将延后．故选B．【点评】此题是光折射现象在生活中的实际应用，是应用物理知识解决实际的问题，属于中档题．13．如图所示，平面镜OM与ON的夹角为θ，一条平行于平面ON的光线经过两个平面镜的多次反射后，能够沿着原来的光路返回，则两平面镜之间的夹角不可能是（）A．20° B．15° C．10° D．5°【考点】光的反射定律．【分析】要解决此题首先要明确下面两点：（1）做出光的反射光路图，根据光路图可以确定每次入射时入射角两个平面镜夹角θ的关系．（2）光线原路返回的含义：必须是经过多次反射后，最后的一次入射是垂直于其中的一个平面镜，即入射角等于零．【解答】解：画光的反射光路图如下图所示，由图知：光线第一次反射的入射角为：90°﹣θ；第二次入射时的入射角为：90°﹣2θ；第三次的入射角为：90°﹣3θ；第N次的入射角为：90°﹣Nθ．要想沿原来光路返回需要光线某次反射的入射角为零所以有90°﹣Nθ=0，解得：N=由于N为自然数，所以θ不能等于20°．故选A．【点评】（1）此题考查了光的反射定律并结合了几何方面的知识．（2）明确此题中每一次反射，入射角与两平面镜之间夹角θ的关系是解决此题的一个难点，它利用了几何中三角形的外角等于不相邻的内角和的知识．14．如图（a）所示，平面镜OM与ON夹角为θ，光线AB经过平面镜的两次反射后出射光线为CD．现将平面镜OM与ON同时绕垂直纸面过0点的轴转过一个较小的角度β，而入射光线不变，如图（b）所示．此时经过平面镜的两次反射后的出射光线将（）A．与原先的出射光线CD平行B．与原先的出射光线CD重合C．与原先的出射光线CD之间的夹角为2βD．与原先的出射光线CD之间的夹角为β【考点】作光的反射光路图．【分析】若将平面镜OM与ON同时绕垂直纸面过0点的轴转过一个较小的角度β，可知入射角增大或减小的度数，进而可知反射角增大或减小的度数，从而可知第一次反射的光线偏转的角度，因平面镜M1和M2一起以B为轴沿纸面转动时，保持α角不变，所以第二次反射的光线方向不变．【解答】解：因为保持θ角不变，将平面镜OM与ON同时绕垂直纸面过0点的轴转过一个较小的角度β，则入射角增大或减小β，反射角也增大或减小β，所以反射光线与入射光线的夹角增大或减小2β，即反射的光线偏转2β角，因为平面镜OM与ON同时绕垂直纸面过0点的轴转过一个较小的角度β时，两平面镜OM与ON互成θ角的角度没变，所以第二次反射的光线方向不变．又因为入射光线不变，所以此时经过平面镜的两次反射后的出射光线将与原先的出射光线CD重合．也可以这样解答：设入射、反射光线交点为E．易得，O点是∠EBC，∠ECB外角平分线的交点．由角平分线上的点到角两边距离相等可知，O点到AB，CD，BC距离相等．（如果你们老师讲过三角形旁心，就是O点是△EBC的旁心．）转过一个角度，可知O点到E'B'距离未变，光反射定律仍成立，仍得O点到E'B'，E'A'，A'B'距离相等，且各自与原来改变的前相等．所以改变角度前后，O点到出射光线距离未改变，又因为前后两光线平行，所以只有两条满足的直线（两条圆的切线），又图可排除另一条的可能，所以前后重合．故选B．【点评】此题主要考查了有关光的反射定律的应用，首先要掌握定律的内容，特别是反射角与入射角的关系，同时要掌握反射角与入射角的概念，知道这些角都是光线与法线的夹角．15．将筷子竖直插入装水的玻璃杯内，从俯视图中的P点沿水平方向看到的应该是如图所示哪个图中的情形（）A． B． C． D．。
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2016年《中学生理化报》课外读书活动 市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）. A 、P ＜Q B 、P ＞Q C 、P ＝Q D 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0， ∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（ ）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（ ）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（ ）.A 、9B 、12C 、13D 、15 解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（ ）. A 、心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心解：如图，设直线DE 平分△ABC 的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和AC 上，作∠A 的平分线交DE 于P ，记P 到AB ，AC 的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC 的心.故选A.rr1r P E DCBA6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（ ）. A、、、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N. ∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为的等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.7.D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（ ）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG. ∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ， ∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（ ）. A 、（8，4） B 、（7，4） C 、（3，4） D 、（2，4）解：易知OA ＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4. 因为D 为OA 的中点，故OD ＝5.∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形， ∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3， ∴此时点P 的坐标为（3，4）；②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为 （2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）. 综上只有点（7，4）不可能，故选B.第7题第6题F E C BA OFECB A N MOFE BAGFE DCA图29.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（ ）.A 、383B 、384C 、385D 、400 解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（ ）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习 解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学， 又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习， ∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 . 解：答案为－3. ∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c babc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x +的值为 . 解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=. ∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝ .解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝ . 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ，∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为 . 解：答案为4.连接BG. S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14 AB ·BC ＝14⨯24＝6， 同理S △BCE ＝6.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.GDFCAECBAE Dy xy xC BAG F ED16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为 . 解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD ＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B 两点坐标分别代入，得： 345k bb=+⎧⎨-=⎩，解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52. ∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是 . 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6） 解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为 . 解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4.∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦·时. （1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么围，选用白炽灯费用低；照明时间在什么围，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋0.0045x）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋0.02x）元.（2）①由题意，得：49＋0.0045x＝18＋0.02x解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋0.0045x＞18＋0.02x∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋0.0045x＜18＋0.02x∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋0.0045⨯3000＝111.5（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋0.02⨯30000＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋0.0045⨯2800＋0.02⨯200＝83.6（元）.∵ 83.6＜96＜111.5∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D在射线BM上，且BD＝2BM，点E在射线NA上，且NE＝2NA.求证：BD⊥DE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC＝BC，M、N分别是AC、BC的中点，∴CN＝CM，又∠C＝∠C，∴△BCM≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3.取AD中点F，连接EF.则由AD＝BC可得AF＝NC.∵NE＝2NA，∴AE＝NA，又∠4＝∠5，∴△AFE≌△NCA.∴∠AFE＝∠NCA＝90°，从而EF是AD的垂直平分线. ∴AE＝DE，故∠4＝∠6.在Rt△ACN中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥DE.NMAED654321NMFEDCBA21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）.若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =； 若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE ＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -. 综上，2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<<⎪⎪⎝⎭⎩.（2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于 点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2. ∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2，∴12＋（2－a ）2＝a 2，1图3解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54. ∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值. 解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数. 则24c a m n -=-＝19， 即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0， ∴2m n -＞0. ∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a=＝()543＝()453，∴53343b ==.∴1000243757d b -=-=.。