2013成人高考专升本高等数学真题及答案

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2013年成人高考高中起点升专科、本科《数学》(理科)试卷及详解【圣才出品】

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A．{x|x＞1}
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B．{x|x＜I}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1}
【答案】C
【解析】|x|＜1 即是－1＜x＜1，所以解集为{x|－1＜x＜1}．
4．函数 f（x）＝1＋cosx 的最小正周期是（）． A． B．π C． D．2π 【答案】D 【解析】y＝cosx 的最小正周期为 2π，而 y＝1＋cosx 与 y＝cosx 的周期相同，也是 2 π．
【解析】由题意可知，x＝1 x2＝1，即甲是乙的充分条件；反之，x2＝1 x＝±1，
不能推出 x＝1，即甲不是乙的必要条件． 16．如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则直线 AB1 与直线 C1D1 所
成角的正弦值为（）．
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10．（x－2y）5 的展开式中，x3y2 的系数为（）．
A．－40
B．－10
C．10
D．40
【答案】D
【解析】（x－2y）5 展开式的通项为
令 k＝2，得
．
11．若圆 x2＋y2＝c 与直线 x＋y＝1 相切，则 c＝（）． A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】圆心（0，0）到直线 x＋y＝1 的距离等于半径，即

A． B． C． D．
【答案】C 【解析】根据异面直角所成角的定义，如上图所示，由于 A1B1∥C1D1，所以∠AB1A1 即为直线 AB1 与 C1D1 所成的角．设 AB ＝ a ，则 A1B1 ＝ a ， AA1 ＝ 2a ，所以

2013河南专升本高数真题（清晰版）及答案

2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数()f x =的定义域为（） A. [0,2] B. (1,)+∞ C. (1,2] D. [1,2]2.设1()1f x x=-，那么 {[()]}f f f x （） A.1x B.11x - C. 211x - D.x 3. 函数)y x =-∞<<+∞是 ( ) A.偶函数 B. 奇函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数4.设sin 2()x f x x=，则x=0是f(x)的（） A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点5. 当0→x （）A ．xB ．2xC ．2x D. 22x6.已知(0),(0)f a g b ''==，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x →--= （） A ．a-b B ．2a+b C ．a+b D ．b-a7.曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩,则4t π=对应点处的法线斜率（） A. b a B. a b C. b a - D. a b- 8.设函数()()f x g x '=，则2(sin )df x = （）A. 2()sin g x xdxB. ()sin 2g x xdxC. (sin 2)g x dxD. 2(sin )sin 2g x xdx9.设函数()f x 具有任意阶导数，且2()[()]f x f x '=，则()()n f x = （）A. 1![()]n n f x +B. 1[()]n n f x +C. 1(1)[()]n n f x ++D. 1(1)![()]n n f x ++10.由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dy dx = （） A. (1)(1)x y y x -- B. (1)(1)y x x y -- C. (1)(1)y x x y +- D. (1)(1)x y y x +- 11.若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（）A. ()0f x '>B. ()f x '在[0,]a 上单调增加C. ()0f x >D. ()f x 在[0,]a 上单调增加12.点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点是（）A. 0,1b c ==B. 1,0b c =-=C. 1,1b c ==D. 1,1b c =-= 13. 曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条14.函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（）A. ()x x F x e e -=-B. ()x x F x e e -=+C. ()x x F x e e -=-D. ()x x F x e e -=--15. 若()f x '连续，则下列等式正确的是 ( )A .()()df x f x =⎰ B. ()()d f x dx f x =⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. 22()()d f x dx f x dx =⎰16. 2sin x xdx ππ-=⎰ ( )A .π B.π- C.1 D.017. 设221()x xf t dt xe ++=⎰ ，则()f x '= （）A. x xeB. (1)x x e -C. (2)x x e +D. 2x xe +18.下列广义积分收敛的是（）A.1dxx +∞⎰ B. 1+∞⎰ C. 21dx x +∞⎰ D. 31ln xdxx +∞⎰19.微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（）A.1B.2C.3D.420. 微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（） A. 21y x = B. 21y x=- C. 2y x = D. 2y x =- 21. 下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ( ) A ,,443πππ B ,,643πππ C ,,334πππ D ,,432πππ 22.直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系为( ) A. L 在π上 B. L 在π垂直相交C. L 在π平行D. L 在π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（） A. 22273x z y += B. 22144x y z -=- C. 22214169x y z =-- D. 2220x y x +-= 24.00x y →→=（） A ．0 B ．1 C ．14-D ．不存在 25.设22(,23)z f x y x y =-+，则z y∂=∂ （） A. 1223yf f ''+ B. 1223yf f ''-+ C. 1222xf f ''+ D. 1222xf f ''-26.设2220020(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为 A.20(,)dy f x y dx ⎰ B.2202(,)x dy f x y dx ⎰⎰C. 02(,)x f x y dx ⎰⎰D.202(,)dy f x y dx ⎰⎰27.积分12201dx x ydy =⎰⎰ ( ) A.2 B.13 C. 12 D.0 28.设L 是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22L xydx x dy +=⎰A.0B.2C.4D.129. 幂级数1(1)n n n x∞=+∑的收敛区间为（）A . (0,1) B. (,)-∞+∞ C. (1,1)- D. (1,0)-30．下列级数收敛的是（） A. 11(1)1nn n ∞=-+∑ B. 11ln(1)n n ∞=+∑ C. 11sin n n∞=∑ D. 1!nn n n ∞=∑二、填空题（每题2分，共30分）31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在____________条件. 32. 已知23lim(1)pxx e x -→∞-=，则p= .33.函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数 ,则a =_____.34.设函数421()f x x =，则()f x '= . 35. 2cos 2sin xdx x x +=+⎰_____.36. 向量{1,0,1}a =与向量{1,1,0}b =-的夹角是 .37. 微分方程0y y x '+-=的通解是__________.38.设方程220x y z x y z ++-=所确定的隐函数为(,)z zx y =，则01x y zx ==∂=∂ .39.曲面22z x y =+在点（1，2，5）处的切平面方程是 .40.将1()f x x =展开成（x-4）的幂级数是 .三、计算题（每小题5分，共50分）41．011lim[]ln(1)x x x →-+.42. 已知函数()x x y =由方程arctan yx =所确定，求dydx .43.求不定积分⎰.44. 设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩求31(2)f x dx -⎰. 45.求微分方程23x y y y e '''+-=的通解.46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du .47．一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,-1}和b={1,-1,2},求此平面的方程.48．计算x y D edxdy ⎰⎰，其中D 是由y=1,y=x,y=2,x=0所围成的闭区域.49．计算积分2222(210)(215)L x xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线y=cosx 上从点(,0)2A π到点(,0)2B π-的一段弧.50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域.四、应用题（每题6分，共计12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线2(0)y x x =≥，直线x+y=2以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53. 设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)<1,证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根.附答案。

成考高起专数学真题解析参考答案-2013版

参考答案第一章集合和简易逻辑1. D U 作为全集的A 补集(表示为A C u )，就是从全集U 中元素去掉A 中元素所组成的集合．故选D.2. C 集合{}3,2,1的子集有：∅,{}1,{}2,{}3,{}2,1,{}3,1,{}3,2,{}3,2,1，共8个，故选C ．一般的,如果一个集合中有n 个元素,那么它的子集个数为n 2,真子集个数为12-n ．3. A 由{}1,2,3,,A a b =,{}c B ,6,5,3=和{}6,,4,3,2,1b B A = ，得 {}1,2,3,5,6,,,{1,2,3,4,,6}a b c b =可知5b =，a 和b 中至少有一个等于4；b 代入A 中得{}5,,3,2,1a A =,又由{}c B ,6,5,3=，{}a B A ,5,3= ,假定4,4a c ≠=则6a =,假定 4=a ，则c=a=4．故选A ．4. A 本题中，022=+x x 的解为0和21-，所以{}{}220,0M x x x x Z =+=∈⊇．所以答案 A 正确．5. C 求两个集合的交集就是找两个集合的共同元素，所以=B A {}40≤≤x x ．6. C 本题中，当ax bx =时,可能是a b =或是0=x ；另一方面，当a b =时,ax bx =一定成立.所以本题的答案为C ．7. C 本题中，当a b +为偶数时，a 和b 可能都是偶数，也可能都是奇数；另外,当,a b 都是偶数时，a b +一定为偶数．故选C ．8. 【解析】求两个集合的交集就是找两个集合的公共元素，B A {}1,1=-， B C {}0,1=，C A {}1=．9. 【解析】不等式()213x x +<+的解为1x <，集合A 可表示为{}1x x <；不等式324x ->的解为2x >，集合B 可表示为{}2x x >．所以{}{}{}1212A B x x x x x x x =<>=<> 或,A B = {1}{2}x x x x φ<>= ． 10. 【解析】因为I R =，{}2A x x =>所以{}2I C A x x =≤ 又I R =，{}24B x x =<≤ 所以{}2,4I C B x x x =≤>或．第二章不等式和不等式组1. C 本题中,可用特值法来验证．由0>+b a 和0<b ,令5=a ,1-=b ．可以看出C 是正确的． 2. B 本题中,对于0<<b a ,令5-=a ,1-=b ．可以看出B 是正确的． 3. A 原不等式可化为：131x -≤+≤,即24-≤≤-x ．故选A ． 4. B 解方程2320x x -+=()()120x x ⇒--=，解得11x =,22x =．2320x x -+<的解为12x <<，所以不等式2320x x -+<解集为{}12x x <<．故选B ．5. D 不等式组的解集为不等式组内各不等式解集的交集．本题中，先解211>-x ，即23>x ；再解132->+x ,即1->x ．所以该不等式组的解为23>x ．故选D ． 6. D 不等式01692>++x x 可转化为()0132>+x ．我们知道()0132≥+x 是成立的(也即：一个数的平方是非负的)，所以()0132>+x 的解为R ,31∈-≠x x ．故选D ．7. B 不等式02≥-xx,可转化为()02≥-x x (2≠x ), 也即为()02≤-x x (2≠x )．()02≤-x x (2≠x )的解为20<≤x ．故选B ．8. B 对于一元次方程02=++c bx ax ：① 有两个不等实数根⇔240b ac ->；② 有两个相等实数根⇔042=-ac b ；③ 无实数根⇔042<-ac b .本题中,由题意()2240a -->，解得1a <．故选B ．9. {}52><x x x 或不等式()()05201072>--⇔>+-x x x x,52><⇒x x 或.所以不等式01072>+-x x 的解集为{}52><x x x 或．10. {}22<<-x x 不等式2021<⇔>-x x 22<<-⇒x ．所以不等式021>-x 的解集为{}22<<-x x ．11. 012<<-m 由题意，()()0342<---m m ，即()012<+m m , 解得012<<-m ．12. 271<<x 由题意,13212<-<-x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->-13212321x x, 解2321->-x ,得27<x ；解1321<-x,得1>x ．所以不等式13212<-<-x的解为271<<-x ．第三章指数与对数1. C ()1515151515log 3log 5log 351log 51log 31m +=⨯=⇒=-=-．2. C ()()236666log 9log 32log 21log 221a ===-=-．3. C 2222822222log 9log 32log 3log 9log 8233log 3log 3log 3log 33====． 4. A ()()()()()()()3232323222log2log 2log27log 2log 3log 23log 33log 33log3===⨯=． 5. (1) 2；(2) 2- ；(3) 2- ；(4) 4；(5) 1 ； (6) 0 l o g b a a N N b=⇒=．6. 4 ()1112320137272512lg 5196492764-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭51114334=+=++=．7. 5 1144411lg 4lg 25lg100813--⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦14411122325313⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．8. (1) 12；(2) 19（1）()222101010101012x yx y x y +=⨯=⨯=；（2）()2-222111010339y y --====．第四章函数1. C 函数22log (65)y x x =--要求：2650x x -->，即(1)(6)0x x -+<，得61x -<<．2. D 函数11)(-+=x x x f 要求⎩⎨⎧≠-≥+0101x x 解得1-≥x 且1≠x ，故选D ． 3. B 本题中，我们可以采用描点的方法画出各选项中函数的图象，来进行判断其是增函数或是减函数．4. B 因为38,2x x ==则，所以2(8)log 21f ==．5. B 幂函数ny x =，当0n >时是增函数，所以3y x =增函数．又因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，也即()()f x f x -=-，所以3y x =是奇函数．另外，本题也可以画出选项中各个函数的图象，找出正确答案． 6. B 对数函数的底大于1时为增函数．故选B ．7. D ()22()f x x x f x -=--=-=，也即()()f x f x -=，显然是偶函数．8. C 因为()xxx f -+=11，所以1111111-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x xx x f ．故选C ． 9. C 7)(35+-=bx ax x f ，由题意得：1733)3(35=+⨯-⨯=b a f 那么63335-=⨯-⨯b a所以()()()13733733)3(3535=+⨯-⨯-=+-⨯--⨯=-b a b a f ．10. A 由韦达定理可知：两个根1,2x x 之间的关系1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，设21,4x =由1212x x x x +=得 111111,443x x x +==-则，所以124111(),484312c x x a a a ===⨯-=-=-则．11. D 由()24f =，得214,2a a -==则，所以1()2xf x -=，那么11(1)(1)()22f f --===，21(2)(2)()42f f -=-==，31(3)()82f --==，比较后得出()()32f f ->-．12. A xxx f -+=33)(，x xx f 33)(+=--，故答案为A ．13. D 101≥⇒≥-x x ，即1-≤x 或1≥x ．14. B 函数223y x x =-+的图像是一个以1=x 为对称轴，且开口向上．故答案选B ．15. B 函数图像过)0,0(和)0,4(-，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=404160p q p q ． 4)2(422-+=+=x x x y ，所以y 的最小值为4-．16. －3，－12. －9．由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+⨯=-=-0113442222c b a a b ac a b ⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=⇒012442c b a a b ac a b()()⎩⎨⎧=+-+=--⇒0412442c a a a a ac 整理得⎩⎨⎧=-=-0334a c a c 39a c =-⎧⇒⎨=-⎩．方程组的解为3,12,9a b c =-==-．17. {}71x x x ≥≤-或需满足2670x x --≥，也即(7)(1)0x x -+≥，解得71x x ≥≤-或． 18. {}24x x -<< 需满足31x -->0,也即13x -< 313x ⇒-<-< ，解得24x -<<．19. 3x =；(3,8)-．二次函数对称轴方程32bx a=-=，由顶点坐标24(,)24b ac b a a --，得顶点坐标为(3,8)-．另外也可用配方法得2(3)8y x =-- ，写出本题的答案．20. 2254x x -+ 令21x t =-，故12x t += ，代入得211()2222x x f x ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2254x x -+．第五章数列1. 10；1025n - ()1551551551010a a a a d d -=+-⇒==； ()()55255101025n n a a n d a n n =+-⇒=+-⨯=-． 2. 4；34n - 6426416a a q q -=⋅⇒=,又数列{}n a 是正项等比数列，所以 4q =，4434444n n n n a a q ---=⋅=⨯=．3. 7 三个数2,,16x -成等差数列, x 就称为2,16-的等差中项, 22167x x =-+⇒=．4. 8± 三个数2,,32x 成等比数列, x 就称为2,32的等比中项, 22328x x =⨯⇒=±．5. 1 由第3题知, ()261101m m ⨯=++⇒=．6. 9± 由第4题知, 23279a a =⨯⇒=±．7. B 9125895954S a a a a a a =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+==． 8. C 614101014106242a a a a a a a +=+⇒=-=．9. A255195532a a a a a a ⋅=⋅⇒=⇒=±451a a q =⨯，1a 0>，所以5a 0>，故排除5a=-．10. C 由韦达定理可知,14441a a ⋅==,所以, 23144a a a a =⋅=． 11. (1)()63636333a a a a d d -=+-⨯⇒==，所以，公差3d =． (2) ()()33233n a a n d n =+-=+-⨯ 所以通项公式 37n a n =-, 从而 1010310723a a =⨯-⇒=. (3) ()()()1437311222n n n a a n n n n S +-+--===. 所以前n 项和 ()3112n n n S -=, 从而()5553511102S S ⨯-=⇒=．12. (1) 523528b b q q -=⨯⇒=，所以，公比2q =．(2) 22212n n n n b b q b --=⋅⇒=⨯，所以通项公式 22n n b -=，从而 6266216b b -=⇒= ．(3) 由(2)中求出的通项公式可得：12112,2b -==()()()111211*********nnn n n b q S q ----===-=--,所以前n 项和 212n n S -=，从而66216322S -==． 13. （Ⅰ）当1n=时，11123a S a ==-，故13a =，当2n ≥时，-11123(23)22n n n n n n n a S S a a a a --=-=---=-，故12n n a a -=，11122n n n n a aq ---===，所以，11132n n n a a q --==⨯ （Ⅱ）1323222n n n n nna n nb -⨯⨯===， ∵1323(1)1n n nb n q b n n -===-- ，∴{}n b 不是等比数列 ∵13(1)33222n n n n d b b --=-=-=， ∴{}n b 是等差数列 {}n b 的前n 项和：133()()322(1)224n n n n b b n n S n ++⨯===+ 14. （Ⅰ）33213(1)2(1)2(1)(1)14111a q q q q q S q q q---++====---，得26q q +=，12,23()q q =⎧⎨=-⎩不合题意舍去，所以，111222n n n n a a q --==⨯=（Ⅱ）22log log 2n n n b a n ===，数列{}n b 的前20项的和为20(120)20123202102S +⨯=++++==15. (1) 数列{}n a 的通项公式 3433311116222n n n n a a q ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 712n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．(2) 由通项公式712n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得 6161164212a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭数列{}n a 的前项的和()111241n n a q S q-==-,即 16412112412811241212n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-11241112128232nn⎛⎫⎛⎫-=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以 5n =． 16. 设数列的前项为1a ,则711326a a a =+⨯=+，由已知174242a a +⨯=，即1164242a a ++⨯=，所以13a =，则有13a =，35a =，57a =，79a =．因为2a ，4a ，6a 成等比数列，且24664a a a --=，所以34464,4a a ==．又因为公比为12，所以428aa q ==，44a =，642a a q =-=．故该数列为3、8、5、4、7、2、9．第六章导数1. 7- ()()()()'''''222333161y x x xx xx =-=-=-=-, ()'11617x x y x =-=-=-=-．2. 5 ()512'12=+=-==x x x y ．3. 421591x x -- ； 203()()()()()()''''''5353331331f x x x x x x x =--+=--+()()''53423311591xx xx =--=--,()()()'''42422221591152921203x x f f x x x ====--=⨯-⨯-=．4. (),0-∞和()1,+∞ ； ()0,1()''3222366y x x x x =-=-．令'0y >，即2660x x ->，解得1x >或0x <．所以函数3223y x x =-的单调增加区间是 (),0-∞和()1,+∞；令'0y <，即2660x x -<，解得01x <<．所以函数3223y x x =-的单调减少区间是()0,1． 5. D 12+=x y 的导数为'2y x =．则切线的斜率为： '24x k y=-==-．故选D ．6. D 12++=x x y 的导数为'21y x =+．则切线的斜率为： '01x k y===．当0=x 时，20011y =++=．切线方程为：()110y x -=⨯-，即为01=+-y x ．7. B 012'=+=x y ，21-=x ．y 的最小值为273212122-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=y ．8. 令22333(1)3(1)(1)0y x x x x '=-=-=+-=，得11x =，21x =-（不在区间[0,2]内，舍去） 330120, 1312, 2322x x x yyy=====-⨯=-=-⨯=可知函数33y x x =-在区间[0,2]的最大值为2，最小值为2.9. （Ⅰ）因为()f x 在(,0)-∞内递增，在(0,1)内递减，在(1,)+∞内又递增．所以导数在0x =和1x =处的导数值均为0，即()f x 的导数：2'()32f x ax x b =-+'(0)0f b ==，'(1)320f a b =-+=．解得：23a =，0b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）的过程可知32()13f x x x =-+， 2'()22f x x x =-，则'(3)12f =又322(3)331103f =⨯-+=．即切点为(3,10)，所以其切线方程为：1012(3),12260y x x y -=---=即．10. （Ⅰ）因为()f x 是奇函数，且其定义域为R ，所以(0)00+03010f a b =⨯-⨯+-=，即，解得1b =．又1x =是()f x 的一个极值点，所以2'(1)(323)13230f x ax x a =+-==+-=．解得0a =，3()3f x x x =-．（Ⅱ）令'(3)0f =，得1x =-和1x =，且(,1)x ∈-时'()0f x <，(,1)x ∈-∞-和(1,)x ∈+∞ 时'()0f x >则有：1x =-时，3(1)(1)3(1)2f -=--⨯-=为极大值． 1x =时，3(1)1312f =-⨯=-为极小值．又2x =时，3(2)2322f =-⨯=，故[]()-12f x 在，上的最大值为2，最小值为-2．第七章三角函数及其相关概念1. D 两个角终边相同，则有360k αβ=⋅︒+，即两个角的差是360︒的整数倍.故选D.2. D 按照角的定义即可判断以上四个均是正确的.3. C 可以取一个特殊值代入,例如6πα=-可判断πα-为第三象限角.4. A 因为α是第二象限的角，所以90360180360k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒，则有：45180901802k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒.为了计算上的方便，不妨取 ① 当0k=时,2α是第一象限角；② 当1k =时,2α是第三象限角.5. C 因为sin cos 0αα⋅<，所以sin ,cos αα异号，那么α是第二、四象限角.6. C 由终边过点(4,3)P --可得：4,3x y =-=-,所以4tan 3y x θ==. 7. 1110︒ 3036031110︒+︒⨯=︒(3指的是圈数). 8. 336030⋅︒+︒；一.1110303603︒=︒+︒⨯，所以1110︒和30︒的终边相同, 30︒是第一象限角,故1110︒也是第一象限角. 9. 260︒ 131318026099πππ︒=⨯=︒.10.α终边在第二象限）或α终边在第四象限） ① α终边在第二象限，在终边上取一点()1,1-,可得：1,1,x y r =-===siny r α===；② α终边在第四象限，在终边上取一点()1,1-,可得1,1,x y r ==-=siny r α===11.72︒的角的弧度数是72180π，因此扇形弧长为：72242412 3.1415.072()18055l cm ππ=⨯==⨯=， ∴扇形周长为：215.0722439.07()l R cm +=+≈.扇形面积为：21115.071290.43()22S lR cm ==⨯⨯≈. 12. ∵2,3x y =-=-，r ∴sinyrα∴==cos13xrα===-33tan22yxα-===-，22cot33xyα-===-,secrxα==，cscryα==第八章三解函数式的变换1. A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,57c o ss i n,51c o ss i nαααα解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,53cos,54sinαα所以34tan-=α．2. B ()222cos sin cos2sin cos sinαααααα-=-+312sin cos4αα=-=即()23cos sin4αα-=,所以cos sinαα-==3. D 由2cossin=+θθ可得, ()2sin cos2θθ+=，22sin2sin cos cos2θθθθ++=12sin cos2θθ⇒+=1sin cos2θθ⇒=,22sin cos sin cos11 tan cot21cos sin sin cos sin cos2ααααθθαααααα++=+====.4. D ()s i n600s i n240360s i n240︒=︒+︒=︒,()sin240sin18060sin60︒=︒+︒=-︒=.5. A1955s i n s i n4s i n666ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51sinsin sin 6662ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 6. D 由诱导公式()sin sin απα+=-可得()11sin sin 22απα+=-⇒-=-, 所以1sin 2α=,22213cos 1sin 124αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,可得出cos 2α=±.()11cos 7cos 3απα===±+- 7.33()t a n 2010t a n 3360210t an 210︒=⨯︒+︒=︒，tan 210tan(18030)tan 30︒=︒+︒=︒=. 8. 125± 2225144sin 1cos 113169αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,所以12sin 13α=±，12sin 1213tan 5cos 513ααα±===±. 9. 725-由诱导公式πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得π33sin cos 255αα⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭,2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.10.103 2cos sin cos sin =-+αααα两边平方得： 2222sin 2sin cos cos 4sin 2sin cos cos αααααααα++=-+12sin cos 412sin cos αααα+⇒=-12sin cos 48sin cos αααα⇒+=-10sin cos 3αα⇒=所以3sin cos 10αα=. 11. 222124cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以562cos ±=α，1sintancosααα===(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)．12.22cossin=+αα两边平方得：21cossin21coscossin2sin22=+=++αααααα，于是：41cossin-=αα，∴16cossincossincos1sin1222222=+=+αααααα．13.51cossin=+ββ可得：251cossin21coscossin2sin22=+=++ββββββ，于是：2512cossin-=ββ，()2549cossin21cossin2=-=-ββββ，∵0cossin<ββ且πβ<<0，∴0sin>β，0cos<β．于是57cossin=-ββ．第九章三角函数的图象和性质1. A 三角正弦函数最小正周期公式2||Tπω=，正切函数最小正周期公式为||xTω=，s i n2y x=的最小正周期2||Tπω=2|2|ππ==，siny x=的最小正周期2||Tπω=22|1|ππ==，cosy x=的最小正周期2||Tπω==ππ2|1|2=，tan2xy=的最小正周期||Tπω==ππ2|21|=.故选A．2. C 若ϕ=0 则sin(20)sin2y x x=+=是奇函数；若4πϕ=，则sin(2)4y xπ=+是非奇非偶函数；若ϕ=2π，则sin(2)cos22y x xπ=+=是偶函数；若ϕ=π，则sin(2)sin 2y x x π=+=-)是奇函数, 故选C ．3. B 212s i n c o s 2y x x =-=为偶函数,故选B ．4. C 函数y=sinx 的单调递增区间[2,2]()22k k k z ππππ-+∈当1k =时为区间[]25,23ππ，故选C ． 5. A 21c o s 411c o s (2)c o s 4222x y x x +===+．由周期公式2||T πω==242ππ=，故选A ． 6. B x x x y 2c o s 414122c o s 121s i n 212-=-== 由最小正周期公式22||2T πππω===,故选B ． 7. D 由最小正周期公式:||3T ππω==,故选D ．8. B 1cos332(cos33)2y x x x x == 2(sincos3cos sin 3)66x x ππ=-)36(sin(2x -=π.所以由周期公式22||3T ππω==,最大值为2，故选B ．9. 8x π=由sin 2cos 2x x +=(2cos 2)22x x +=)24sin(2x +π=2，所以)(2224z k k x ∈+=+πππ，2224x k πππ=-+，即 8x k ππ=+，又[]0228k x πππ-==因为在区间，上，故当时，时满足条件.10.322c o s c o s 2y x x =- ()22cos 2cos 1x x =--2112cos cos 142x x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭ 2132cos 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.当1cos 2x =时, y 取得最大值为32.11.2 c o s 3s i n 3y x x =+2(cos33)22x x =+cos sin 3sin ))444x x x πππ=+=-1cos(3)14x π-≤-≤因为，即 cos(3)4x π-≤，故函数的最大值为2. 12. 13-5125sin 1213(sin cos )1313y x cox x x =+=+13(c o s s i n s i n co x x θθ=+13s i n ()x θ=+ 因为1sin()1x θ-≤+≤ ，所以1313sin()13x θ-≤+≤．故函数的最小值为13-.13. 2π 12(sin )2y x x =2(s i n c o s c o s s i n)2s i n ()333xx x πππ=-=-，由最小正周期公式222||1T πππω===. 14. π 由最小正周期公式得22||2T πππω===． 15.（1）由题设得 b x a x y +--=sin sin 1214)2(sin 22++++-=b a a x因为2a >,所以12>a.则当01sin max =+=-=b a y x 时，, 当41sin min -=+-==b a y x 时，, 可求得2,2a b ==-.(2)当y 有最大值时，2,2x k k Z ππ=-∈；当y 有最小值时，2,2x k k Z ππ=+∈.第十章解三角形1. 1116由余弦定理：222416911cos 222416AB CA BC A AB CA +-+-===⋅⨯⨯. 2. 5 由余弦定理：2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒将已知3AB =，7BC =代入上式：21499232AC AC =++⨯⨯⨯，化简得：04032=-+AC AC .设AC x =，则04032=-+x x ，0)8)(5(=+-x x ，解得5x =或8x =-（舍去）故5AC χ==.3. 12- 由余弦定理：222222357925491cos 22352352AB BC AC b AB BC +-+-+-====-⋅⋅⨯⨯⨯⨯.4.由正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 得C AB A BC sin sin =，即︒=︒30sin 105sin 1AB1sin105sin(6045)sin 60cos 45cos60sin 452︒=︒+︒=︒︒+︒︒==+因为所以AB =.5. D ∵222AC BC AB =+，∴ABC ∆为直角三角形，且90ABC ∠=︒，可知21sin ==AC BC A ，故选D ． 6. D 由题设180A B C ++=︒，30C =︒，故150A B +=︒，所以23150cos )cos(sin sin cos cos -=︒=+=-B A B A B A ．故选D ． 7. B 由,,A B C 成等差数列知2B A C =+∴2180B B =︒-，由此得3180B =︒，60B =︒，故选B ． 8. C 由余弦定理：222222cos 46246cos60AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯︒1163648282=+-⨯=，故选C ． 9. 由三角形内角和定理得1804530105C ∠=︒-︒-︒=︒. 由正弦定理，有︒=︒105sin 26.2330sin AC ，所以0.1204.12105sin 63.11105sin 26.2321≈=︒=︒⨯=AC ．答：AC 的长约为12.0. 10. 已知60A ∠=︒，BC =，由正弦定理，有CABBC sin 60sin =︒ 即,2160sin sin ==︒BC AB C ∴612.06123.0462321sin ≈==⨯=C答：sin C 约为0.612.11. 由余弦定理，得41101522010152cos 222222-=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=A A ．∴11sin 151022S ABC bc A ∆==⨯⨯=. 12. 证明：由余弦定理，得：B ac c a b cos 2222-+= ︒-+=60cos 222ac c a=ac c a -+22.∴22()b c a a c -=-.第十一章平面向量1. 2 a·b 11221212(,)(,)()x y x y x x y y =⋅=+=243(2)2⨯+⨯-=．2. 122y x =-+ 由于直线垂直于向量a (1,2)=,可设直线方程为12y x b =-+，又直线过点(2,1)，代入方程得12,22b y x ==-+．3. B 由cos ||||a ba b θ⋅=得, cos θ=2425=. 4. D 由||||cos (a b a b a b θθ⋅=⋅为与向量之间夹角)知,c o s 4A BA C AB AC B A C ⋅=⋅∠=⨯ c o s 60︒⨯=. 5. D 设所求点的坐标为(,)x y ,由两点对称的坐标公式知：(1)31,022x y-++==⇒3,3x y ==-,即所求的点的坐标为(3,3)-. 6. D 由cos ||||a ba b θ⋅==2====, 所以6πθ=.7. 直线和向量(1,2)平行,所以可以设直线方程为2y x b =+，又因为过点(6,7)，所以726b =⨯+，求出5b =-，所以函数解析式25y x =-. 8.根据两点之间的公式d =得AB=d =AB 的距离为AB =5第十二章直线1. A2222)5()3()1()1(-+-=-++y x y x ,化简得04=-+y x .2. C 直线210x y +-=的斜率为12k =-，所求直线的斜率为2k '=，由点斜式方程可知应选C ．3. 280x y +-= 直线在y 轴的正半轴上的截距为4，表明点（0，4）为该直线上的点，由斜截式: y kx b =+ 知, 142y x =-+,化简得280x y +-=. 4. 10x y -+= 由两点式: 1121212121(,)y y x x y y x x y y x x ----=≠≠知, 214231y x --=--,化简得10x y -+=．5. 3270x y ++= 由两个直线平行知: 12k k = 且 12b b ≠ ,所以12k k ==32-,又直线过点(1,2)--,由点斜式得， 32(1)2y x +=-+,化简得3270x y ++=． 6. 3y x =+ 由垂直平分线性质知,所求直线与线段AB 垂直且过线段AB 中点，由题意得， 121k k =-, 15112(2)k -==--,所以21k =-,AB 中点坐标(0,3),再由点斜式得31(0)y x -=-⨯-,化简得3y x =+．7.5555)1(212)1(12222200=-++⨯-+⨯=+++=B A C By Ax d .8. 60直线2y =+的斜率为的度数为3,故倾角为60. 9. 点到直线的距离: 点00(,)x y 直线0Ax By C ++=．由点到直线的距离公式d =125d ==.10. 依题意设()y f x kx b ==+，得{(1)8(2)21f k b f k b =+=-=-+=-得{35k b ==，所以()35f x x =+，那么(11)=38f ．第十三章圆锥曲线第一节圆1. 225x y += 圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++=, 将()()()1,3,1,0,0,3A B C --带入方程即得.2. 2220x y += 圆的标准方程: 222()()x a y b r -+-=,圆心在x 轴上0b =, 即222()x a y r -+=,再将()()1,2,1,2A B --带入即得.3. A 对2245x y x +-=进行配方化成222()()x a y b r -+-=的形式得222(2)(0)3x y -+-=,所以圆心(2,0),半径是3．4. B 由22(1)(1)4x y -+-=知圆心o (1,1),2r =,圆心到直线4330x y ++=的距离2d ==,而圆o 的半径为2，即d r =，所以相切．5. A 通过配方为标准方程: 22(4)4x y +-=,11(0,1),1o r = 22(0,4),2o r = 所以123o o =,123r r +=,两者相等,两圆外切.6. B 这条直线满足两个条件(1)圆心到它的距离等于半径;(2)过点()2,0P .7. 因为直线过原点,所以可设y kx =得出22(2)()1x kx -+=22(1)430k x x ⇒+-+=因为只有一个公共点,所以0∆=，2241612(1)0b ac k ∆=-=-+=求出k =，所以 y x =．8.2222(1)(1)16490x y x y x y -+-=+--+=⎧⎨⎩，求出交点记为()1,2M ，92,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．求出M N 两点后,可以求出M N 两点的中垂线,M N 的中点坐标是76(,)55斜率为2-，直线M N 的中垂线方程为 617()525y x -=-，即: 210x y -+=．又因为圆心在直线2y x =上. 所以求出圆心坐标为12(,)33，半径r ==由以上条件求出圆的方程为： 221220()()339x y -+-=.第二节椭圆1. 8, 6,4,和(,x =由22916144x y +=可得229161144x y +=221169x y ⇒+=(焦点在x 轴上)．所以216a =29b =,2221697c a b =-=-=．即4,3,a b c ===长轴长28a =,短轴长26b =,离心率c e a ==准线方程2a x c ===2.221164x y += 由长半轴长为4可得4a =，2c e a ==解得c =．(2222244b a c =-=-=．焦点在x 轴上椭圆的方程22221x y a b +=数值代入得221164x y +=. 3. C 由22259225x y +=得222591225x y +=，即221925x y +=(焦点在y 轴上)．所以225a =即5a =，12||||210PF PF a +==．4. A 由 22159x y +=(焦点在y 轴上)可得29a =25b =，所以222954c a b =-=-=即2c =．故焦点()()0,2,0,2-．5. C ()222214942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222943642x y x y ⎧+=⎪⇒⎨++=⎪⎩()2222943624x y y x ⎧+=⎪⇒⎨=-+⎪⎩. ()()22942436x x ⇒+-+=．即2532960x x --=．因为()()23245960∆=--⨯⨯->所以()222214942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩有两组解, 交点个数2.6. A 焦点为（0，4）即可得22216c a b =-=，且焦点在y 轴上，又过点（3，0），观察比较四个选项即可得出答案为A.7. 因为关于坐标轴对称,所以可以设椭圆方程为：22221x y a b+=．又因为焦点为(0,2),( 0,-2) ，所以224b a -=，且过点，所以2221b+= ，求出答案，22148x y +=．第三节双曲线1. 4, 2, ()()-和, 5x =±, 12y x =±. 由22416x y -=可得224116x y -=,即221164x y -=(焦点在x 轴上)．所以2222216,4,20a b c a b ===+=。

2013年成人高考(文史类)数学试题参考答案

2
……6 分
2 . 3
2 2 或 x 0 时， f ( x ) 0 ；当 0 x 时， f ( x ) 0 . 3 3 2 2 f ( x) 的单调区间为 (, 0) ， (0, ) 和 ( , ) . 3 3 2 2 f ( x) 在区间为 (, 0) 和 ( , ) 为增函数，在区间 (0, ) 为减函数. 3 3
……13 分
内部资料，请勿外传
东莞常平·刘义江
2
(23) 解：由已知得由余弦定理得
……12 分
1 3 AB sin 60 3 3 ，所以 AB=4. 2
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos 60
……6 分
16 9 2 4 3
1 13 2
……12 分
BC 13 .
1 1 1 (12)取 a=2，则 log a 2 log 2 2 1 0 ，而 2 2 4 1 ， 1 4 a )直线过点（0，0）和（1，-1），画简图（如右）知直线过第一、二、四象限选(A) (14) a 2 a1 a 3 a 2 2a 2 a1 a3 2 6 8 a 2 4 (15) x 1 x 1 ，而 x 1 x 1 (16) x
1 3 3 2 . 2 2 2
……12 分
(25) 解：(Ⅰ) f ( x) 3 x 2 2ax . 由 f (1) 1 ，得 3 2a 1 ，所以 a 1 . 又点(1，1)在曲线上，得 1 a b 1 ，所以 b 1 . (Ⅱ) f ( x) 3 x 2 x . 令 f ( x ) 0 ，解得 x 0 或 x 当x

2013河北专接本数学真题和答案(数一,数二,数三)

12．已知生产 1000 件某件产品的平均成本是 50 元，而生产 1000 件该产品的边际成本是
C (1000) 10 元，则再生产一件该产品时成本增加__________________元。
13．设 z e
x2 y
，则其全微分为__________________
x
14．微分方程 y y e 的通解为__________________
接本成功必选精通
河北省 2013 年普通高校专科接本科教育选拔考试
《数学（一）》（理工类）试卷
（考试时间 60 分钟）（总分 100 分）说明：请将答案填写在答题纸的相应位置上，填在其它位置上无效．
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1．设函数 f ( x 1) x x 1 ，则 f ( x) (
n 1 n 1 n 1 n 1
A. 若 0 an bn ，且 bn 收敛，则 an 一定收敛 B. 若 an bn ，且 bn 收敛，则 an 一定收敛
n 1 n 1
C. 若 an bn ，且 an 发散，则 bn 一定发散
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效） 1．函数 y
ln(2 x) 的定义域为( x
B.(0, )
)
A.(, 2)
C.(0, 2]
)
D.(0, 2)

2013年专转本高等数学试卷及答案解析

A.任意实数
B. ln 2
C. 2
D. 0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
7.设函数
f
(x)
=
x
∫0 sin
tdt
，则
f
[
f
(π 2
)]
=
________
.
8.同时垂直于向量
r a
=
(1,
−3,
−1),
r b
=
(2,
−1,
3)
的单位向量为
.
9.定积分
π
∫
(
x2
+
1) sin
（1）试求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积V1 ； D2 绕 y 轴旋转而成的
旋转体体积V2 ；
（2）问当 a 为何值时，V1 +V2 取得最大值？试求此最大值.
22.设函数 f (x) 在 (0, +∞) 内连续， f (1) = 5 ，且对所有 x,t ∈ (0, +∞) ，满足
2
∫ ∫ ∫ 条件
域.
20.求非齐次微分方程 y′′ − 3y′ + 2 y = xex 的通解.
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
21.设函数 f (x) = 2x3 − 3x2 −12x +13 ，试求：
（1）函数 f (x) 的单调区间与极值；
（2）曲线 y = f (x) 的凹凸区间与拐点；
xdx
=
.
−π
10.已知曲线 y = mx3 + x4 的一个拐点处的切线方程为12x − 81y + 4 = 0，则

2013年成人高考专升本高数(一)模拟试题及答案解析 .doc

2013年成人高考专升本高数（一）模拟试题及答案解析一、选择题（每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y 的最小正周期是（C ）.A. π2；B.3π； C. 32π； D. 23π.2．函数x y 8=的反函数是（C ）.A. )0(log 32>=x x y ；B. x y -=8；C. )0(log 312>=x x y ； D. )0(8>-=x y x .3．设⎪⎩⎪⎨⎧=-,,10,17为偶数当为奇数，当n n n x n 则（D ）A. 0lim =∞→n n x ； B. 710lim -∞→=n n x ；C. ⎩⎨⎧=-∞→.,10,0lim 7为偶数为奇数，n n x n n D. n n x ∞→lim 不存在.4．()=-→x f x x 0lim ()x f x x +→0lim 是()x f x x 0lim →存在的（C ）A. 充分条件但非必要条件；B.必要条件但非充分条件；C. 充分必要条件；D.既不是充分条件也不是必要条件. 5．若x 是无穷小，下面说法错误的是（C ）A. 2x 是无穷小；B. x 2是无穷小；C. 0001.0-x 是无穷小；D. x -是无穷小 . 6．下列极限中，值为1的是（C ）A. x x x sin .2lim π∞→B. x xx sin .2lim 0π→C. xxx sin .2lim2ππ→D. xxx sin .2limππ→7．=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sin lim 0（A ）A. 1-B. 1C. 0D. 不存在解：01sinlim 0=→x x x ；1sin .1lim 0=→x x x ，所以.110sin 11sin lim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x8.设函数()x f 具有2012阶导数，且()()x x f =2010，则()()=x f 2012（C ）A.x21 B. xC. 24xx - D. 2332x9．设()()x g x f ='，则()=x f dxd2sin （D ） A. ()x x g sin 2()()x f x e e f . B. ()x x g 2sin C. ()x g 2sin D. ()x x g 2sin .sin 2 解：()=x f dxd 2sin ()()''x x f 22sin sin ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=x x x f sin .sin 2sin 2()[]x x x f c o s .s i n 2s i n2'=()x x f 2s i n s i n 2'=()x x g 2s i n s i n 2=. 10．设x x y sin 21-=，则=dy dx （D ） A. y cos 21- B. x cos 21- C.y cos 22- D. xcos 22-解：因为x dx dy cos 211-=，所以=dy dx .cos 22cos 21111x x dx dy -=-= 11．曲线⎩⎨⎧==,cos ,2sin t x t y ，在4π=t 处的法线方程为（A ）A ．22=x B ．1=y C ．1+=x y D ．1-=x y 12．点()1,0是曲线c bx ax y ++=23的拐点，则有（B ）A ．1,3,1=-==c b aB ．1,0,==c b a 为任意值C ．1,=c b a 为任意值，D ．为任意值c b a ,0,1==13．函数()22x e x x f -=的极值点的个数是（C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 14．若()x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有()()()04>--a x a f x f ，则以下结论正确的是（D ）A ．()x f 在点a 的邻域内单调增加B ．()x f 在点a 的邻域内单调减少C ．()a f 为函数()x f 的极大值D ． ()a f 为函数()x f 的极小值 15．曲线()4ln 4>+=k k x y 与x x y 4ln 4+=的交点个数为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．4 解：设 ()k x x x x f --+=ln 4ln 44，()+∞∈,0x . ①则 ()()1ln 44ln 4433-+=-+='x x xx x x x f . ②令 ()0='x f ，得驻点1=x .因为当()1,0∈x 时，()0<'x f ，故()x f 在(]1,0∈x 单调减少；而当()+∞∈,1x 时，()0>'x f 故()x f 在[)+∞∈,1x 单调增加.所以()k f -=41为最小值.又 ()()()[]+∞=-+-=++→→k x x x x f x x 44ln ln lim lim 30，()01144ln ln 1lim 1lim 43334=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞→+∞→x k x x x x x x x x f x x ，故 ()()()[]+∞=-+-=+∞→+∞→k x x x x f x x 44ln ln lim lim 3.综合上述分析可画出()x f y =的草图，易知交点个数为2. 16．设()t t f cos ln =，则()()='⎰dt t f t f t （A ）A ．C t t t +-sin cosB ．C t t t +-cos sin C ．()C t t t ++sin cosD ．C t t +sin17.=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n n n n 22212111ln lim （B ） A ．⎰212ln xdx B ．⎰21ln 2xdxC. ()⎰+211ln 2dx x D ．()⎰+2121ln dx x解：n n n n n n 22212111ln lim ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n n n n 1.1ln )21ln()11ln(lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→=+=∑=∞→n n i ni n 1.)1ln(lim 21()⎰+101ln 2dx x（令x t +=1）⎰=21ln 2tdt ⎰=21ln 2xdx18．已知()312x dt t f x=⎰，则()=⎰dx x f 12（C ）A ． 1B ．2 C. 3 D ．4 19．设dx e a x ⎰=12，()dx eb x ⎰-=112，则（C ）A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．无法比较 20．已知2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰+∞02sin dx xx （B ）A ．0B ．2πC ．4πD ．π解：========+∞=⎰x t dx x x 22sin 0⎰+∞021.2sin dt t t ==⎰+∞0sin dt t t 22sin 0π=⎰+∞dx x x . 21．)ln(3y x e z xy ++= ，则()=|2,1dz （B ）A ．()()dy dx e ++12B ． ()()dy e dx e 11222+++C ．dx e 2D ． 2e22．设21,y y 为一阶线性非齐次微分方程的()()x Q y x P y =+'的两个特解，若μλ,使21y y μλ+为该方程的解；21y y μλ-为该方程对应齐次方程的解，则通解为（A ）A ．21,21==μλB ．21,21-=-=μλC ．31,32==μλ D ．32,32==μλ 解：因为21,y y 为方程()()x Q y x P y =+' ①的解，故有()()x Q y x P y =+'11② 及()()x Q y x P y =+'22③ 由于21y y μλ+为①的解，所以将21y y μλ+代入①，得()()++'11y x P y λ()()()x Q y x P y =+'22μ ④ 再将②、③代如④立得()()()x Q x Q =+μλ，于是有1=+μλ. ⑤ 又因为21y y μλ-齐次方程()0=+'y x P y 的解，同理可得 0=-μλ. ⑥ ⑤、 ⑥联立可解得 21,21==μλ . 23．平面0623=+-+z y x 和直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=t z t y t x 21,33,1的位置关系是（C ）A 平行B ．直线在平面内C ．垂直D ．相交不垂直 24．设函数()y x f z ,=的全微分为ydy xdx dz +=则点()0,0（D ） A ．不是()y x f ,的连续点 B ．不是()y x f ,的极值点 C ．是()y x f ,的极大值点 D ．是()y x f ,的极小值点解：由ydy xdx dz +=.可得y yzx x z =∂∂=∂∂,. 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂==∂∂,0,0y yz x x z可得唯一驻点()0,0.又122=∂∂=x z A ，02=∂∂∂=y x z B ，122=∂∂=yzC .则 02>-=∆B AC ，且0>A ，所以()0,0是()y x f ,的极小值点.25.设区域(){}0,0,4|,22≥≥≤+=y x y x y x D ，()x f 为D 上的正值连续函数，b a ,为常数，则()()()()=++⎰⎰dxdy y f x f y f b x f a D（ D ）A ．ab πB ．ab π21C ．()b a +πD ．()b a +π21解：对于题设条件中含有抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及“数值型”结果的选者题，用赋值法求解往往能收到奇效，其思想是：一般情况下正确，那么特殊情况下也必然正确.重积分或曲线积分中含抽象函数时，通常利用对称性、轮换对称性等综合手段加以解决. 本题中，取 ()1=x f ，立得()()()()=++⎰⎰dxdy y f x f y f b x f a D=+=+⎰⎰π41.22b a dxdy b a D()b a +π2126．二元函数()()224,y x y x y x f ---=，则()2,2- （A ）A ．是极大值点B ．是极小值点C ．是驻点但非极值点D ．不是驻点27．设()y x f ,为连续函数，二次积分()dy y x f dx x ⎰⎰2020,写成另外一种次序的二次积分是（B ） A ．()dx y x f dy xx⎰⎰22, B ．()dx y x f dy yy ⎰⎰2022,C ．()dx y x f dy y⎰⎰2, D ．()dx y x f dy yy ⎰⎰0222,28. 设(){}y y x y x D 2|,22≤+=，， ()y x f ,在D 上连续，则()=⎰⎰dxdy xy f D（）()()dy y x f dx A x x ⎰⎰----111122,； ()()dy y x f dy B y y ⎰⎰-1202,2；()()dr r f d C ⎰⎰πθθθθ0sin 202cos sin ； ()()d r r rf d D ⎰⎰πθθθθ0sin 202cos sin .解：选()D29．下列级数条件收敛的是（B ）A ． ∑∞=14s i n n n n α （α是常数） B ．()∑∞=-1311n n n C ．()∑∞=+-1311n nn n D ．∑∞=++111n n n 30.已知()()()x f y x Q y x P y =+'+''的三个特解：x x e y e y x y 2321,,===，则该方程的通解为().()()()x x e x C e x C A 221-+-； ()x x e e C x C B 221++； ()()()x e x C x e C C x x +-+-221； ()x x e C e C x D 221++.解：根据二阶常系数线性微分方程解的性质知，x e x -及x e x 2-均是对应的齐次方程的解，故齐次通解为()()x x e x C x e C Y 221-+-=；所以原非齐次方程的通解是()().221x e x C x e C y x x +-+-=选().C二、填空题（每空 2分，共 20分）31．极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x 1sin 2lim 22 .2-解：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x 1sin 2lim 22211sin 2lim22-=-∞→x x x .32．()[]4sin sin sin sin lim x x x x x -→=61．解：()[]40sin sin sin sin limx x x x x -→()[]40sin sin sin lim x x x x x -=→()30sin sin sin lim x x x x -=→()203cos .sin cos cos lim xx x x x -=→ ()203sin cos 1.cos lim x x x x -=→()203sin cos 1lim x x x -=→ 613sin 21lim 220==→xxx . 33．设23232-+-=x x x y ，则()()=18y .231!889⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：()()()()1121221212112232323----+=--+=-+-=-+-=x x x x x x x x x x y . ()[]()[]'--'+=--11122x x y ()()()()2.1212122-----+-=x x ；()()[]()()[]'---'+-=''--2.1212122x x y ()()()()()()2332.1221221------+--=x x ；归纳可得()()()()()()()()()88982.128212821-------+---=x x y所以 ()()()()()()()().231!82.8213.821189898⎪⎭⎫⎝⎛-=-------=- y34．设()x y y =是由012=-⎰+-dt ex yx t ① 所确定的函数，则==|0x dx dy1-e . 解：①关于x 求导并注意到()x y y =，得 ()0112=⎪⎭⎫⎝⎛+-+-dx dy ey x . ② 当0=x 时，由①式求得1=y .将0=x ，1=y 代入②可算得1|0-==e dx dyx . 35.设()x y y =.如果11.-=⎰⎰dx ydx y ①，()10=y ，且当+∞→x 时，0→y ，则=y .x e - 解：由①式得⎰⎰-=y d xdx y11 ② ②关于x 求导并注意到()x y y =，得 ()y y d xy.112⎰=即()22y dx y =⎰故y dx y ±=⎰，即dxdyy ±= ③③分离变量，且两边积分得x Ce y = 或 x Ce y -= ④ 又根据条件()10=y 及+∞→x 时，0→y ，得 .x e y -= 36． =+⎰dx x x 811531.27029 解：=+⎰dx x x 8101531()dx x d x x 881083181+⎰（令8x t =） dt t t 318110+=⎰（令t u 31+=，即 ()1312-=u t ）()27029353611361|21352212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰u u du u u . 37．设()y x z z ,=是由方程2222=+++z y x zxy ①所确定的隐函数，则()='-|1,0,1y z 2-.解法一：令 ().2,,222-+++=z y x z x y z y x F 则 222zy x x yz F x +++=' ； 222zy x y xz F y +++='；.222zy x z xy F z +++='故 222222z y x z xy z y x yxz F F z z y y ++++++-=''-='.所以，().2|1,0,1='-y z 解法二：①两边全微分，得 ()().022221222=+++++++z d z y d y x d x zy x x y d z x z d y y z d x即()().0222=+++++++z d z y d y x d x x y d z x z d y y z d x z y x ②将)1,0,1(-代入②得 ()().02=-+-dz dx dy即.2dy dx dz -= 所以 ()1|1,0,1='-x z ，().2|1,0,1-='-y z38．设L 为从点()0,0O 到点()0,1A 再到点()1,1B 的折线，则()=--⎰ydx y x xdy L221. 解：()=--⎰ydx y x xdy L22()+--⎰ydx y x xdy OA 22()ydx y x xdy AB⎰--22()⎰⎰=+--=11221.10.0dy dx x .39．微分方程0=+'+''y y y 的通解为.23sin 23cos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x C x C e y x解：（一）0=+'+''y y y 对应的特征方程为：012=++r r ，其特征根为 i r 2321±-= （二）通解为：.23sin 23cos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x C x C e y x 40．幂级数()n n nx n 124202-+∑∞= ①的收敛域为().2,2- 解：（一）记 12-=x t ，则级数①化为nn n t n ∑∞=+0242 . ② 记 422+=n a nn ， ,2,1=n().224412lim lim 2211=+⨯++==+∞→+∞→n n n nn n n n a a ρ 所以，级数②的收敛半径是 .211==ρR 又当21-=t 时，级数②化为()∑∞=+-0241n nn 收敛；又当21=t 时，级数②化为∑∞=+0241n n 也收敛.所以级数②的收敛域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21t .（二）由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-21,2112x 解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,41x ，故原级数的收敛域为.43,41⎥⎦⎤⎢⎣⎡（1）如果()122<=x x ρ，即2||<x 时，则∑∞=-1122n n n x 收敛；（2）（1）如果()122<=x x ρ，即2|>x 时，则∑∞=-1122n n n x 发散，所以，.2=R（3）又在端点2±=x 处∑∞=±⇒1121n 发散. 所以，收敛域为()2,2-三、计算题（每小题5 分，共45 分）41．已知()5132sin 1ln lim 0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x x f ①，求()20lim x x f x →. 解:由①式得()=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→132s i n 1ln lim 50xx x x f ()=-→12s i n lim 3ln 0x x e x x f ()3ln 2lim 0x x x f x → ().lim 3ln 2120xx f x →=②由②式即可算得().3ln 10lim 20=→x x f x 42．设函数()x y y =由参数方程()⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln(,t du u y t x x 确定，其中()t x x =是微分方程 02=--xte dtdx 在初始条件0|0==t x 下的特解，求22dx y d .解：（一）微分方程02=--x te dtdx为可分离变量型，可转化为 t d t dx e x 2= ① ①两边积分得C t e t d t dx e x x +=⇒=⎰⎰22 ②又将初始条件0|==t x 代入 ②，得1=C ，因此()()21ln t t x += ③（二）()()22221ln 1122).1ln(t t t t t t dtdx dtdydx dy ++=++==（三）dtdx dx dy dt d dx dy dx d dxy d 1.22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=()()[]=+++=222121.1ln 1t t dtt t d ()[])1l n (1122t t +++. 43．设函数()2,sin ,222+-=x x y y x f x z ，其中f 具有二阶连续偏导数，求.;22y z x z ∂∂∂∂ 解：（一） []x f x y f f x xf xz2cos 2.23212'+'+'+=∂∂ （二）[]x f f x yzsin 212'+'-=∂∂，所以 ()[]()[]{}x f f x x f f x yz sin 1sin sin 122211211222''+-''+''+-''-=∂∂ 44．计算反常积分()()⎰+∞++0321dx x x解：()()111112ln 2323233x dx dx dx dx c x x x x x x x +⎛⎫=-=-=+ ⎪+++++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以()()002112222ln lim ln ln lim ln ln 32333331|x x x x x dx x x x x x +∞+∞→+∞→+∞+++==-=-+++++⎰23ln1lnln .32=-=45．求曲线..0,6:222⎩⎨⎧=++=++Γz y x z y x 在点()1,2,1-的切线.解：方程组两边关于x 求导，得：..01,0222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++dxdz dx dy dxdz z dx dy y x ① 将点()1,2,1-代入（1），得：..01,0242||||1111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-====x x x x dx dz dx dy dx dz dx dy 解之，有：.1,0||11-====x x dx dz dx dy 所以，切线向量为：{}1,0,1-=s 故曲线在点()1,2,1-的切线为：.110211--=+=-z y x 46. 设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l故有xQ y P ∂∂=∂∂ 即()()x f x x f x '+=34 化简，得()()241x x f xx f =+' （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c ex e x f dx xdx x 1214 []()c dx x x c e x e x x +=+=⎰⎰-3ln 2ln 414 ().1134xc x c x x +=+= （2）代入条件()21=f ，得 .1=c故().13x x x f +=47．求幂级数()11!1-∞=∑+n n x n n的和函数. 解：（一）记 ()!1+=n na n ， ,2,1=n ，则 021lim lim21=++==∞→+∞→n n n a a n nn n ρ，故收敛半径为+∞=R .收敛域为()+∞∞-,. （二）记 ()(),!111-∞=∑+=n n x n nx s +∞<<∞-x . 则 ()()11!1-∞=∑+=n n x n n x s ()()11!111-∞=∑+-+=n n x n n 11!1-∞=∑=n n x n ()11!11-∞=∑+-n n x n n n x n x ∑∞==1!11()112!111+∞=∑+-n n x n x n n x n x ∑∞==1!11nn x n x ∑∞=-22!11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞=1!110n n x n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---∑∞=x x n x n n 1!1102 []11-=xe x []()011122≠+-=---x xe xe x e x x x x . 又 ()()2001limlim 0x e xe x s s x x x x +-==→→212l i m 0==→x x e . 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=0,210,1)(2x x x x xe x S x 解法二：记 ()(),!111-∞=∑+=n n x n nx s +∞<<∞-x .()()n n xx n dx x s ∑⎰∞=+=10!11()=+=+∞=∑11!111n n x n x ∑∞=2!1n n n x x()x e xx--=11 所以()()()2111x xe e x x x e x s x x x ----='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21x e xe x x +-=. 48．计算二重积分D dxdy e I Dx ,2⎰⎰=是第一象限中由直线x y =和曲线3x y =所围成封闭区域.解：因为二重积分的被积函数()2,x e y x f =，它适宜于“先对y ，后对x ”，故D 可用不等式表示为⎩⎨⎧≤≤≤≤.10,:3x x y x D 于是()dx e x x dy e dx dxdy e I x xxx Dx 23221310⎰⎰⎰⎰⎰-===dx e x x 210⎰=dx e x x 2103⎰-()210221x d e x ⎰=()210221x e d x ⎰- ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰21010210222||2121x d e e x e x x x()()().121212112121121|102-=-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ee e e e e e x49．求方程0=-''y y ① 的积分曲线，使其在点()0,0处与直线x y =相切. 解：方程①的特征方程为012=-r ，解之得 1,121=-=r r ，故方程①的通解为x x e C e C y 21+=-. ②x x e C e C y 21+-='- ③由题意知有 ()()10,00='=y y .将条件()()10,00='=y y 分别代入②、③ 有⎩⎨⎧=+-=+1,02121C C C C 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21,2121C C所以 2xx e e y --=.四、应用题（每小题8 分，共 16 分）50．设三角形的边长分别为c b a ,,，其面积为S ，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值.解：任取三角形内一点P ，设其距三边的距离分别为z y x ,,，则有.2212121S cz by ax S cz by ax =++⇒=++ 问题转化成求xyz V =在02=-++S cz by ax 下的最大值. 令()()S cz by ax xyz z y x L 2,,,-+++=λλ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='.02,0,0,0S cz by ax L c xy L b xz L a yz L z y x λλλλ，解之得：.32,32,32cS z b S y a S x ===故.2783maxabcS V = 另解：[]().27827231..1333abc S abc S cz by ax abc cz by ax abc xyz V ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤== 上述等式成立当且仅当,cz by ax ==又02=-++S cz by ax ，所以，当且仅当.32,32,32cSz b S y a S x ===时，等式成立. 51．平面图形D 由抛物线x y 22=与该曲线在点⎪⎭⎫⎝⎛1,21处的法线围成.试求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：（1）方程x y 22=两边关于x 求导得22='y y ①将1,21==y x 代入①式得1|21='=x y 。

2013河南省“专升本”高等数学试卷与答案

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为（） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( ) A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的（） A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为（）A.-1B. -2C. -3D.-4 解：C f h f h f hh f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim00。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

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2013年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（二）
答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。

选择题
一、选择题：1~10
小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信点．．．．．．．．．．
上．。

1、2
2lim
x cos x
x π
→
= A.
2
π
B. 2
π
-
C.
2
π
D. 2
π
-
2、设函数ln 3x y e =-，则
dy dx = A. x e
B. 1
3
x e +
C.
13
D. 13
x e -
3、设函数()ln(3)f x x =，则'(2)f =
A. 6
B. ln 6
C.
12
D.
16
4、设函数3()1f x x =-在区间(,)-∞+∞
A.单调增加
B.单调减少
C.先单调增加，后单调减少
D.先单调减少，后单调增加
5、
2
1
dx x ⎰=
A.
1
C x
+
B. 2
ln x C +
C. 1
C x
-
+ D.
2
1C x
+
6、
2
(1)
x d dt t dx +⎰= A. 2
(1)x +
B. 0
C.
31(1)3
x +
D. 2(1)x +
7、曲线||y x =与直线2y =所围成的平面图形的面积为
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8、设函数cos()z x y =+，则
(1,1)|z
x
∂=∂ A. cos 2
B. cos 2-
C. sin 2
D. -sin 2
9、设函数y
z xe =，则
2
z x y
∂∂∂=
A. x e
B. y e
C. y
xe
D.x ye
10、设A ，B 是两随机事件，则事件A B -表示
A.事件A ，B 都发生
B.事件B 发生而事件A 不发生
C.事件A 发生而事件B 不发生
D.事件A ，B 都不发生
非选择题
二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，将答案填写在答题卡相应题．．．．．．号后．．。

11、3123x x
lim
x
→-= _______________.
12、设函数ln ,1,(),1x x f x a x x ≥⎧=⎨-<⎩
在1x =处连续，则a = _______________.
13、曲线23354y x x x =-+-的拐点坐标为_______________. 14、设函数1x y e +=，则''y = _______________.
15、31
(1)x
x lim x
→∞+= _______________.
16、设曲线22y x ax =+在点(1,2)a +处的切线与直线4y x =平行，则a =_______. 17、3x dx e =⎰_______________. 18、1
31(3)x dx x -+=⎰_______________. 19、0
x dx e -∞
=⎰_______________.
20、设函数2ln z y x =+，则dz =_______________.
三、解答题：21~28题，共70分。

解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答．题卡相应题号后．．．．．．．。

21、（本题满分8分）
计算3
21
211
x x x lim x →-+-. 22、（本题满分8分）
设函数2sin 2y x x =+，求dy .
23、（本题满分8分）
计算51x
xe dx x
+⎰.
24、（本题满分8分）
计算1e
lnxdx ⎰.
25、（本题满分8分）
已知离散型随机变量X 的概率分布为 X 10 20 30 40
P a
(1)求常数a ;
(2)求X 的数学期望EX . 26、（本题满分10分）
求曲线2y x =与直线0y =，1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .
27、（本题满分10分）
求函数23()392f x x x x =--+的单调区间和极值. 28、（本题满分10分）
求函数22(,)f x y y x =+在条件231x y +=下的极值.
2013年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（二）试题答案及评分参考
一、选择题：每小题4分，共40分.
1、D
2、A
3、C
4、B
5、C
6、A
7、B
8、D
9、B
10、C
二、填空题：每小题4分，共40分.
11、1-
12、1 13、(1,1)- 14、1x e +
15、3e
16、1 17、31
3
x C e +
18、0
19、1 20、12xdx dy y
+
三、解答题：共70分.
21、解：23
211213212x x x x x lim lim x x
→→-+-=- ………………6分 1
2
=
. ………………8分 22、解：22''cos 2()x y x =+
………………3分 22cos 2x x =+，
………………6分 2(2cos 2)dy x x dx =+.
………………8分 23、解：5511
()x x xe dx dx e x x
+=+⎰⎰
………………2分 =5||5
x
e ln x C ++.
………………8分 24、解：1
1
1
()|e
e
e
lnxdx xlnx xd lnx =-⎰⎰
………………4分 1
|e
e x =-
………………6分 =1.
………………8分
25、解：（1）因为0.20.10.51a +++=，所以0.2a =。

………………3分
（2）100.2200.1300.5400.2EX =⨯+⨯+⨯+⨯
=27.
………………8分 26、解：1
2
2
0()V dx x
π=⎰
………………4分 1501
()5
|x π=
………………8分 5
π
=
.
………………10分
27、解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞.
2'()3693(1)(3)x x x x x f =--=+- .
………………4分
令'()x
f=0，得驻点
11
x=-，
23
x=.
因此
()
f x的
单调增
区间是
(,1)
-∞-
，
(3,)
+∞；单调减区间是(1,3)
-.
()
f x的极小值为(3)25
f=-，极大值为(1)7
f-=. ………………10分28、解：作辅助函数
2
2(231)
x y
y
xλ
=+++-. ………………4分
令
'220,
'230,
'2310,
x
y
x
F
y
F
x y
Fλ
λ
λ
=+=
=+=
=+-=
………………6分
得
2
13
x=，
3
13
y=，
2
13
λ=-. ………………8分因此，(,)
f x y在条件231
x y
+=下的极值为
231
(,)
131313
f=.
………………10分。