运筹学13.3双变量目标规划的图解法
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2图解法2
17
X2 D 4X1+2X2 =120 6X1+4X2 =240 2X1+3X2 =120 C
10 E O 10 d3
-
d2B A d1+
X1
18
分析：满足P1，部分满足P2的点有A,B,C,D
(如果不考虑A，B产品均需生产)
由解方程可得：A(40，0)， B(60，0)
C(24，24)， D(0，60) 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1- + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+ = (4X1+ 2X2 + d3- - 120) P2 = (4×40 -120） P2=40P2
12
30
X2 =30
X1
(1)、满足目标①、②的满意域为ABCD
(2)、先考虑③的满意域为ABEF
再考虑④，无公共满意域。
(3)、取E
X1+X2=50
X1=24
E(24,26)
获利2960
(4)、Zmin =d4- =30 - X2 + d4+=30-26=4>0
13
应用案例：
红星制药厂生产A、B两种药品，有关数据 如下： A 电力 煤 利)、用灵敏度分析，可得：
X1 =15， X2=30 ，Zmax =210
(3)、建立目标规划模型
16
minZ=P1(d1-)+P2(d2++d3+) 6X1+4X2 +d1- -d1+=240 2X1 +3X2+d2- -d2+=120 4X1 +2X2 +d3- -d3+=120 Xi , di- , di+ 0
目标规划的图解法
O
50
E 500/11;500/11 ; d1 d1 d2 d2 0 D 360/7;360/7 ; d1 d1 d2 0,d2 92/7
C 100 l2
150
d
2
d
2
l4
x1 l1
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一 问题的提出 二 目标规划的基本概念
1 决策变量与偏差变量 ２ 目标约束与绝对约束 ３ 目标规划的目标函数达成函数 ４ 优先因子与权系数
x1
2 x2
d3d3 6
x1,x2
0,di,di
0,(i
1,2,3) x2
l2
(l1)
(l2)
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
所以：x* = (10 ,0),
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点;
使单个目标达到最优值最大值或最小值 而目标规划是在
可行域内;首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能 满足的区域R2R1;再在R2中寻找一个满足P3的各目标的 区 域 R3R2R1;…; 如 此 下 去 ; 直 到 寻 找 到 一 个 区 域 RkRk1…R1;满足Pk级的各目标;这个Rk即为所求的解 域;如果某一个Ri 1 i k已退化为一点;则计算终止;这一 点即为满意解;它只能满足P1;…;Pi 级目标;而无法进一步 改进;当然;此时或许有低于Pi级目标被满足;这纯属巧合
2x1 1.5x2 180
对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型解析
4
sk 1 sk uk qk s1 0, s5 0
【例10-2】最短路线问题。设有一辆汽车由A城到 B城，中间可经过v1到v8城市，各城市的交通路线及 距离如图所示，问应选择哪一条路线，可使总距离最 短。
v1 8 A 6 4 5 v4 3 5 6 2 1
9
5
8 7 v2 6 7 8 9 v3 2
【例10-2】最短路问题按空间的自然特征分为4个 阶段。
2. 状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状态或客观 条件，描述了问题过程的状况，又称为不可控因素。 【 例10-1】中状态是每个阶段开始时的库存量，它 既是前一阶段决策的结果，又是后一阶段决策的开始。 通常一个阶段有若干个状态。构成状态集合。 描述过程状态的变量称为状态变量。用sk表示 第k阶段所处的状态。 状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此 集合称为状态允许集合。 【 例10-1】中s1=0，s5=0表示状态变量s1，s5的值 为0，而s2，s3，s4的取值可能有多种情况。
【 例10-1】中，从第一阶段的状态s1=0出发，其允许 决策集合为Dk(sk)={600，601，…，3000} 【例10-2】中，从第二阶段的状态s2=v1出发，其允许 决策集合为Dk(sk)={v4,v5,v6}。
4. 策略 按顺序排列的决策组成的集合； 由第k n(终止状态)为止的过程，称为原过程 的后部子过程（k子过程）。 由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称 为k子过程策略，简称子策略，记为pk,n(sk)，即
v7 v8
4
v5
B 3
v6
3
1
3
4
v1 8 A 9 5
6 4 5
v4
3 5
6 2 1 3
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
目标规划的图解法
x1 2x2 10
d
2
D
d
2
d
3
d
3
x1
8x1 10 x2 56
例3 某厂装配黑白与彩色两种电视机，每装配一台电视机， 需占用装配线1小时，装配线每周开动40小时，预计市场每周彩 电销量为24台，每台可获利80元，黑白电视机销量为30台，每 台可获利40元，该厂的目标是：
第1优先级：充分利用装配 线每周开动40小时。 第2优先级：允许装配线加 班但每周加班时间不超过 10小时。 第3优先级：装配电视机数 量尽量满足市场需要，但
240
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3,4
d1
d
4
d
4
d1
d
3
d
3
d
2
x1
400
d
2
运筹学
min z
p1d1
p2
(d
2
d
2
)
p3
d
3
2x1 x2
11
x1
x2 d1 d1 0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1 ,
x2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3.
x2
2x1 x2 11
x1 x2 0
d 1 d1
C
C（2，4）,D（10/3，10/3）
运筹学
目标规划的图解法
步骤：
（1）先考虑硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法；
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
目标规划图解法
决策变量与偏差变量决策变量与偏差变量决策变量也称控制变量用x表示第i个目标的实际值超出超出目标值表示第i个目标的实际值恰好等于恰好等于目表示第i个目标的实际值未达到未达到目标值通过确定各目标的目标值目标值引入偏差变量把目目标函数转化成约束方程标函数转化成约束方程从而并入原约束条件中我们称这类具有机动余地的约束具有机动余地的约束为目标约束目标约束
( 可取一确定的非负实数)，
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每1月2×258天×25=2400 7台，每天16h，每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现 次月的生产与销售目标，试确定A、B药生产多少，使目标达到最好。 P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
( 可取一确定的非负实数)，
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每1月2×258天×25=2400 7台，每天16h，每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现 次月的生产与销售目标，试确定A、B药生产多少，使目标达到最好。 P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
多目标线性规划图解法满意解条件
多目标线性规划图解法满意解条件线性规划的图解法对于两个决策变量的线性规划可用作图方法来求解。
图解法求解线性规划问题的步骤如下：分别取决策变量x1，x2为坐标向量建立直角坐标系。
画出线性规划的约束区域；画出目标函数等值线；平行移动目标函数等值线，找到最优解。
*线性规划的图解法例1：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：？产品甲产品乙设备能力（h）设备A3265设备B2140设备C0375利润（元/件）15002500？*线性规划的图解法问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量xi为第i 种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。
根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型：Maxz=1500x1+2500x2s。
t.3x1+2x2≤65（A）2x1+x2≤40（B）3x2≤75（C）x1，x2≥0（D，E）*线性规划的图解法以决策变量x1，x2为坐标轴建立平面直角坐标系。
考虑约束条件3x1+2x2≤653x1+2x2=65是一个直线方程画出这条直线。
约束3x1+2x2≤65是半个平面同理约束条件2x1+x2≤40也是半个平面。
线性规划的图解法整个约束区域是由直线3x1+2x2=65；2x1+x2=40；3x2=75；x1=0；x2=0所围在约束区域中寻找一点使目标函数最大。
约束区域*线性规划的图解法作出目标函数的等值线：1500x1+2500x2=7500将目标函数等值线沿增大方向平行移动。
*线性规划的图解法图解法求解线性规划最优解是3x1+2x2=65（A线）和3x2=75（C线）两直线的交点。
*线性规划的图解法任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置，得到交点（5，25）T，此目标函数的值为70000。
双变量线性规划问题的图解法
线性规划问题广泛应用于经济、金融、工程、管理等领域。
图解法简介
01
图解法是一种通过图形表示和直观观察来解决双变量线性规划 问题的方法。
02
该方法利用平面直角坐标系，将约束条件和目标函数表示为直
线或平面区域，从而直观地找出最优解。
图解法具有直观、易理解的特点，特别适用于包含两个决策变
03
量的线性规划问题。
图解法在双变量线性规划问题中的应用价值
直观性
图解法通过绘制约束条件和目标 函数的图形，使决策者能够直观 地了解问题的可行域和最优解的 位置，有助于加深对问题的理解。
易于操作
相比于其他方法，图解法在操作 上相对简单，只需要掌握基本的 绘图技巧即可，不需要复杂的数 学计算，降低了求解难度。
适用性广
图解法不仅适用于标准形式的线 性规划问题，对于非标准形式的 问题也可以通过变换转化为标准 形式进行求解，拓宽了其应用范 围。
目标函数在可行域上的最优解一定在可行域的边界上达到。
通过比较目标函数在可行域边界上的函数值，找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即为最优解 。
04
图解法实例分析
实例一：生产计划问题
问题描述
变量设置
约束条件
目标函数
图解法求解
某工厂生产A、B两种产 品，每种产品都需要消 耗一定的资源和时间， 且产品的售价和成本已 知。工厂需要确定生产A 、B两种产品的数量，以 最大化总利润。
双变量线性规划问题的图 解法
• 引言 • 双变量线性规划问题建模 • 图解法求解步骤 • 图解法实例分析 • 图解法优缺点及适用场景 • 总结与展望
01
引言
线性规划问题概述
线性规划问题是一类优化问题，旨在在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线 性目标函数。
图解法简介
01
图解法是一种通过图形表示和直观观察来解决双变量线性规划 问题的方法。
02
该方法利用平面直角坐标系，将约束条件和目标函数表示为直
线或平面区域，从而直观地找出最优解。
图解法具有直观、易理解的特点，特别适用于包含两个决策变
03
量的线性规划问题。
图解法在双变量线性规划问题中的应用价值
直观性
图解法通过绘制约束条件和目标 函数的图形，使决策者能够直观 地了解问题的可行域和最优解的 位置，有助于加深对问题的理解。
易于操作
相比于其他方法，图解法在操作 上相对简单，只需要掌握基本的 绘图技巧即可，不需要复杂的数 学计算，降低了求解难度。
适用性广
图解法不仅适用于标准形式的线 性规划问题，对于非标准形式的 问题也可以通过变换转化为标准 形式进行求解，拓宽了其应用范 围。
目标函数在可行域上的最优解一定在可行域的边界上达到。
通过比较目标函数在可行域边界上的函数值，找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即为最优解 。
04
图解法实例分析
实例一：生产计划问题
问题描述
变量设置
约束条件
目标函数
图解法求解
某工厂生产A、B两种产 品，每种产品都需要消 耗一定的资源和时间， 且产品的售价和成本已 知。工厂需要确定生产A 、B两种产品的数量，以 最大化总利润。
双变量线性规划问题的图 解法
• 引言 • 双变量线性规划问题建模 • 图解法求解步骤 • 图解法实例分析 • 图解法优缺点及适用场景 • 总结与展望
01
引言
线性规划问题概述
线性规划问题是一类优化问题，旨在在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线 性目标函数。
运筹学线性规划图解法
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
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解：
3 1 ( , ) Kvs为以(0,0)，(1,0)， 2 2
和 (0,2)为顶点的四边形区域. ▌
2013-7-11
5
运筹学
min s.t.
Operations Research
例3 利用图解法求解目标规划
(d1 , d 2 )
20 x1 50 x 2 90000 0.5 x1 0.2 x 2 d1 d1 700
3x1 4 x 2 d 2 d 2 10000 x1 , x 2 , d1 , d1 , d 2 , d 2 0
解：
17000 31000 T ( “近似” 有效解为 21 , 21 ).Biblioteka ▌2013-7-11
6
运筹学
Operations Research
§13.3 over
2013-7-11
7
x1 2 x 2 d 3 d 3 8
x1 , x 2 , d1 , d1 , d 2 , d 2 , d 3 , d 3 0
解：
Kvs为以(4,0)，(8,0)和(6,1)为顶点的三角形区域. ▌
2013-7-11
4
运筹学
min s.t. (GP ) :
Operations Research
(d1 , d 2 , d 3 )
例2 利用图解法求解目标规划
x1 x 2 d1 d1 2
4 x1 3x 2 d 2 d 2 12
x1 x 2 d 3 d 3 1
x1 , x 2 , d1 , d1 , d 2 , d 2 , d 3 , d 3 0
其中
x ( x1 , x2 )T , d (d1 , d 2 ,, d m )T , d (d1 , d 2 ,, d m )T .
a i1 0 ai 2
2013-7-11
ai1 0 ai 2
2
运筹学
Operations Research
图解法的基本思想： 在坐标平面x1Ox2上，作出（GP）的各约束条件对应的直线；按照 优先级从高到低的顺序，对每一目标函数，根据其和约束条件直线 的关系找出其最优解集合，这些最优解集合的交集即为（GP）的 有效解集合Kvs. 在找各单目标规划的最优解时，要按照优先级从高到低的顺序， 逐一考虑，低优先级的目标不能以牺牲高优先级的目标为前提. 当某单目标规划不存在最优解时，可取其“最优的”近似有效解.
运筹学
Operations Research
§13.3 双变量目标规划的 图解法
2013-7-11
1
运筹学
min (GP ) : s.t.
Operations Research
双变量目标规划：
( g1 (d , d ), g 2 (d , d ), , g q (d , d )) ai1 x1 ai 2 x2 d i d i bi , i 1,2,, m x, d , d 0
2013-7-11
3
运筹学
min s.t. (GP ) :
Operations Research
(d1 , d 2 , d 3 )
例1 利用图解法求解目标规划
x1 x 2 d1 d1 4
x1 2 x 2 d 2 d 2 4