(整理)坐标变换的原理和实现方法

由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。

3.1 变换矩阵的确定原则
坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为
y=ax （3-1）
式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。

这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：
（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；
（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；
（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。

假设电流坐标变换方程为：
i=ci′ （3-2）
式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。

电压坐标变换方程为：
u′=bu （3-3）
式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。

根据功率不变原则，可以证明：
b=ct （3-4）
式中，ct为矩阵c的转置矩阵。

以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。

3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）
所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。

三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α
轴重合。

假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：
（3-5）
式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。

经计算并整理之后可得：
（3-6）
（3-7）
图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系
用矩阵表示为：
（3-8）
如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：
（3-9）
式中，k为待定系数。

补充io后，式（3-8）变为：
（3-10）
则：
（3-11）
将c-1求逆，得到:
（3-12）
其转置矩阵为：
（3-13）
根据确定变换矩阵的第三条原则即要求c-1=ct，可得和，从而有
和，代入相应的变换矩阵式中，得到各变换矩阵如下：
二相—三相的变换矩阵：
（3-14）
三相—二相的变换矩阵：
（3-15）
对于三相y形不带零线的接线方式有，ia＋iｂ＋iｃ＝０则，iｃ=－ia－iｂ，由式（3-8）可
以得到：
（3-16）
而二相—三相的变换可以简化为：
（3-17）
图3-2表示按式（3-16）构成的三相—二相（3/2）变换器模型结构图。

图3-2 3/2变换模型结构图
3/2变换、2/3变换在系统中的符号表示如图3-3所示。

图3-3 3/2变换和2/3变换在系统中的符号表示
如前所述，根据变换前后功率不变的约束原则，电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，还可以证明，它们也是磁链的变换矩阵。

3.3 转子绕组轴系变换（）
图3-4(a)是一个对称的异步电动机三相转子绕组。

图中ωsl为转差角频率。

在转子对称多相绕相中，通入对称多相交流正弦电流时，生成合成的转子磁势fr，由电机学可知，转子磁势与定子磁势具有相同的转速、转向。

图3-4 转子三相轴系到两相轴系的变换
根据旋转磁场等效原则及功率不变约束条件，同定子绕组一样，可把转子三相轴系变换到两相轴系。

具体做法是，把等效的两相电机的两相转子绕组d、q相序和三相电机的三相转子绕组a、b、c相序取为一致，且使d轴与a轴重合，如图3-4(b)所示。

然后，直接使用定子三相轴系到两相轴系的变换矩阵(参见式3-15）。

3.4 旋转变换
在两相静止坐标系上的两相交流绕组α和β和在同步旋转坐标系上的两个直流绕组m和t 之间的变换属于矢量旋转变换。

它是一种静止的直角坐标系与旋转的直角坐标系之间的变换。

这种变换同样遵守确定变换矩阵的三条原则。

转子d、q两相旋转轴系，根据确定变换矩阵的三条原则，也可以把它变换到静止的α-β轴系上，这种变换也属于矢量旋转坐标变换。

3.4.1 定子轴系的旋转变换
图3-5 旋转变换矢量关系图
在图3-5中，fs是异步电动机定子磁势，为空间矢量。

通常以定子电流is代替它，这时定子电流被定义为空间矢量，记为is。

图中m、t是任意同步旋转轴系，旋转角速度为同步角速度ωs。

m轴与is之间的夹角用θs表示。

由于两相绕组α和β在空间上的位置是固定的，因而m轴和α轴的夹角是随时间变化的，即，其中为任意的初始角。

在矢量控制系统中，通常称为磁场定向角。

以m轴为基准，把is分解为与m轴重合和正交的两个分量ism和ist，分别称为定子电流的励磁分量和转矩分量。

由于磁场定向角是随时间变化的，因而is在α轴和β轴上的分量isα和isβ也是随时间变化的。

由图3-5可以看出，isα、isβ和ism和ist之间存在着下列关系：
写成矩阵形式为：
（3-18）
简写：
式中，为同步旋转坐标系到静止坐标系的变换矩阵。

变换矩阵c是正交矩阵即ct=c-1,因此,由静止坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量旋转变换方程式为:
简写：
式中，为静止坐标系到同步旋转坐标系的变换矩阵。

电压和磁链的旋转变换矩阵与电流的旋转变换矩阵相同。

根据式（3-18）和式（3-19）可以绘出矢量旋转变换器模型结构，如图3-6所示。

图3-6 矢量旋转变换器模型结构图
由图3-6可知，矢量旋转变换器由四个乘法器和两个加法器及一个反号器组成，在系统中用符号vr，vr-1表示，如图3-7所示。

在德文中，矢量旋转变换器叫做矢量回转器用符号vd 表示。

图3-7 矢量旋转变换器在系统中的符号表示
3.4.2 转子轴系的旋转变换
转子d-q轴系以角速度旋转，根据确定变换矩阵的三条原则，可以把它变换到静止不动的α-β轴系上，如图3-8所示。

图3-8 转子两相旋转轴系到静止轴系的变换
转子三相旋转绕组（a-b-c）经三相到二相变换得到转子两相旋转绕组(d-q)。

假设两相静止绕组αr、βr除不旋转之外，与d、q绕组完全相同。

根据磁场等效的原则，转子磁势fr沿α轴和β轴给出的分量等式，再除以每相有效匝数，可得:
写成矩阵形式
（3-20）
如果规定ird、irq为原电流，irα、irβ为新电流，则式中：
（3-21）
c-1的逆矩阵为：
若存在零序电流，由于零序电流不形成旋转磁场，只需在主对角线上增加数1，使矩阵增加一列一行即可
（3-22）
需要指出的是，由于转子磁势fr和定子磁势fs同步，可使αr、βr与αs、βs同轴。

但是，实际上转子绕组与α、β轴系有相对运动，所以αr绕组和βr绕组只能看作是伪静止绕组。

需要明确的是，在进行这个变换的前后，转子电流的频率是不同的。

变换之前，转子电流i rd、irq的频率是转差频率，而变换之后，转子电流irα、irβ的频率是定子频率。

可证明如下:
（3-23）
利用三角公式，并考虑到θr=ωrt则有：
（3-24）
从转子三相旋转轴系到两相静止轴系也可以直接进行变换。

转子三相旋转轴系a-b-c到静止轴系α-β-ο的变换矩阵可由式（3-15）及式（3-21）相乘得到：
(3-25）
求c-1的逆，得到
（3-26）
c是一个正交矩阵，当电机为三相电机时，可直接使用式（3-25）给出的变换矩阵进行转子三相旋转轴系（a-b-c）到两相静止轴系（α-β）的变换，而不必从（a-b-c））到（d-q-o），再从（d-q-o）到（α-β-ο）那样分两步进行变换。

3.5 直角坐标—极坐标变换（k/p）
在矢量控制系统中常用直角坐标—极坐标的变换，直角坐标与极坐标之间的关系是：
（3-27）
（3-28）
式中，θs为m轴与定子电流矢量is之间的夹角。

由于θs取值不同时，的变化范围为0～∞，这个变化幅度太大，难以实施应用，因此常改用下列方式表示θs值。

因为：，
所以：（3-29）
根据式（3-27）和式（3-29）构成的直角坐标一极坐标变换的模型结构图（德语称为矢量分析器vector analyzer-va）如图3-9所示。

图3-9 直角坐标—极坐标变换器模型结构图
由图可知,直角坐标一极坐标变换是由两个乘法器、两个求和器和一个除法器组成,符号表示如图3-10所示。

图3-10 直角坐标—极坐标变换器在系统中的符号表示。