27.3.2位似图形的坐标变化规律
教与学 新教案九年级数学下册 27.3 位似图形的坐标变
相似27.3 位似第2课时位似图形的坐标变化规律素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣置疑导入如图27－3－46，在直角坐标系中，图27－3－46△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．按要求完成下列问题：(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比；(2)如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以－2呢？[说明与建议] 说明：能让学生在活动中举一反三，触类旁通、善于发现、勤于探究、敢于质疑、学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生总结，为新课的学习做好铺垫，有利于学生体会到新旧知识之间的联系与转化．建议：首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在直角坐标系中描出各对应点，得到对应的三角形，然后由教师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结．归纳导入 1.如图27－3－47，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？方法一：方法二：图27－3－47探究：(1)在方法一中，点A′的坐标是__(2，1)__，点B′的坐标是__(2，0)__；(2)在方法二中，点A′的坐标是__(－2，－1)__，点B′的坐标是__(－2，0)__．2．如图27－3－48，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)．以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？位似变换后A，B，C的对应点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)或A″(－4，－6)，B ″(－4，－2)，C ″(－12，－4)．图27－3－48[说明与建议] 说明：学生已经掌握了位似图形的概念和性质，通过在给定的直角坐标系中把图形进行放大或缩小的坐标变化的规律填写，体会以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标规律．建议：先留给学生动手填写的时间，然后教师要引导学生分析坐标的变化规律． 素材二 教材母题挖掘教材母题——第51页习题27.3第5题如图27－3－49，矩形AOBC 各点的坐标分别为A (0，3)，O (0，0)，B (4，0)，C (4，3)．以原点O 为位似中心，将这个矩形缩小为原来的12，写出新矩形各顶点的坐标．图27－3－49 【模型建立】在平面直角坐标系中解决位似图形中对应点的坐标问题，一般先找到位似中心，再确定位似比，然后再写出对应点的坐标． 【变式变形】1．如图27－3－50，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且点O ′的坐标为(－1，0)，则点B ′的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－4__． 图27－3－50 图27－3－512．如图27－3－51，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′且点A ，B ，A ′，B ′均在图27－3－51中的格点上．若线段AB 上有一点P (m ，n )，则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为(D )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，n B ．(m ，n ) C .⎝⎛⎭⎪⎫m ，n 2 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2 3．绥化中考已知：如图27－3－52，△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A (0，3)，B (3，4)，C (2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，则点C 1的坐标是__(2，－2)__；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2∶1，则点C 2的坐标是__(1，0)__；(3)△A 2B 2C 2的面积是__10__平方单位．图27－3－52 图27－3－53 解：(1)(2)如图27－3－53所示．[命题角度1] 利用位似的性质求点的坐标利用位似可以成比例地放大或缩小一个图形．在图象上的对应点也会发生相应的变换：在同一平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为k 作位似图形时，在同一象限，横、纵坐标的比都为k ；不在同一象限，横、纵坐标的比都为－k .根据这一特点，可以帮助我们解决根据位似求坐标的问题.图27－3－54例 武汉中考如图27－3－54，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为(A )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)[命题角度2] 利用位似的性质画图并解决实际问题利用位似图形的性质画图并解决问题时，利用两图形的位似比得出对应点横、纵坐标的关系是解题关键．例 巴中中考如图27－3－55，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－2，1)，C (－5，2)． (1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1.(2)将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2.(3)求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即S △A 1B 1C 1S △A 2B 2C 2＝__14__(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)、(2)如图27－3－55所示．(3)由画图可知：A 1B 1A 2B 2＝A 1C 1A 2C 2＝B 1C 1B 2C 2＝12，∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，∴S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故填14.P 1．如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与CD 平行吗？为什么？解： 平行．∵△OAB ∽△OCD ， ∴∠ABO ＝∠D . ∴AB ∥CD .2．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的3倍．解： 连接OB ，OA ，OC 并延长至B ′，A ′，C ′，使OB ′＝3OB ，OA ′＝3OA ，OC ′＝3OC ，连接A ′B ′，B ′C ′，A ′C ′，则得到的图形就是将△ABC 放大为原来的3倍的三角形．(图略) P 50 练习1．如图，把△AOB 缩小后得到的△COD ，求△COD 与△AOB 的相似比．解： 由图可知D (2，0)，B (5，0)，则OB ＝5，OD ＝2. ∵△COD ∽△AOB ，∴CD AB ＝OD OB ＝25.∴△COD 与△AOB 的相似比是25.2．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A (4，－5)，B (6，0)，O (0，0)．以原点O 为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A ′B ′O ′.写出△A ′B ′O ′三个顶点的坐标．解：图略．△A ′B ′O ′三个顶点的坐标分别为A ′(8，－10)，B ′(12，0)，O ′(0，0)或A ′(－8，10)，B ′(－12，0)，O ′(0，0)． P 51 习题27.31．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.解： 位似中心如下图：第一个图中的相似比是1∶2；第二个图中的相似比为2∶1；第三个图中的相似比是4∶1. 2．如图，以点P 为位似中心，将五角星的边长缩小为原来的12.解： 答案不唯一．可分别连接点P 和五角星的10个顶点得到10条线段，再依次取所连线段的中点，将这10个点按顺序连接，所得的图形即为所求作的五角星．图略．3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，2)，B (4，2)，C (6，4)．以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小得到△DEF ，使△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，这时△DEF 各个顶点的坐标分别是多少？解： 根据平面直角坐标系中位似图形点的坐标变化的特点，将点A ，B ，C 的坐标分别乘12 或－12即可得到△DEF 各顶点的坐标．分别是D (1，1)，E (2，1)，F (3，2)或D (－1，－1)，E (－2，－1)，F (－3，－2)．4．如图，正方形EFGH ，I J ML 都是正方形ABCD 的位似图形，点P 是位似中心． (1)哪个图形与正方形ABCD 的相似比为3?(2)正方形I J ML 是正方形EFGH 的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比是多少？解： (1)正方形I J ML 与正方形ABCD 的相似比为3. (2)因为对应点连线交于一点，对应边互相平行，所以正方形I J ML 是正方形EFGH 的位似图形；因为JK FG ＝JP FP ＝64＝32，则相似比为 32.(3)因为FG BC ＝FP BP ＝42＝21，所以正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为2.5．如图，矩形AOBC 各点的坐标分别为A (0，3)，O (0，0)，B (4，0)，C (4，3)．以原点O 为位似中心，将这个矩形缩小为原来的12，写出新矩形各顶点的坐标．解：设将矩形AOBC 缩小后得到的矩形为A ′O ′B ′C ′，点A ，O ，B ，C ，的对应点分别为A ′，O ′，B ′，C ′，则A ′(0，32)，O ′(0，0)，B ′(2，0)，C ′(2，32)或A ′(0，－32)，O ′(0，0)，B ′(－2，0)，C ′(－2，－32)．6．如图，图中的图案与“A ”字图案(虚线图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？解： (1)横向变宽了；纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍． (2)纵向变长了；横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍．7．如图，以点Q 为位似中心，画出与矩形MNPQ 的相似比为0.75的一个图形．解：如图所示：P57 复习题271．如图，四边形EFGH相似于四边形MLMN，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．解：∠E＝∠M＝67°，∠G＝∠M＝107°，∠L＝∠F＝143°，∠N＝360°－(67°＋107°＋143°)＝43°.∵x35＝6y＝10z＝410，∴x＝14，y＝15，z＝25.2．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，求△DEF的其他两条边长和周长．解：设△DEF的其他两边的长为x，y(x<y)，周长为l，∴515＝12x＝13y＝5＋12＋13l，解得x＝36，y＝39，l＝90.3．根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．解：在图(1)中，由勾股定理求得x＝4，y＝10, ∵FGJI＝GHHI＝FHJH，且∠1＝∠2，∴△FGH∽△J IH.图(2)中，∠MHG＋∠MH J＝90°，∠MHG＋∠GHF＝90°，∴∠MH J＝∠GHF.又JHHF＝KHGH＝23，∴△M J H∽△GFH，x＝124，y22＝7248，∴y＝33.4．李华要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付180元的广告费．如果他要把版面的边长扩大为原来的3倍，要付多少广告费(假设每平方厘米版面的广告费相同) ?解： 扩大版面后的长方形与原版面相似，相似比为3∶1，面积比为(3∶1)2＝9∶1，所以要付广告费180×9＝1620(元)．5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为2∶1.解： 作图如下：6．某同学的座位到黑板的距离是6 m ，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30 cm 的教科书的字的感觉相同(教科书上的小四号字大小约为0.42 cm ×0.42 cm)?解： 设黑板上的字长为x cm ，宽为y cm ，则x 0.42＝y 0.42＝60030，x ＝8.4, y ＝8.4.∴黑板上的字应为8.4 cm ×8.4 cm 大．7．如图，已知零件的外径为a ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)测量零件的内孔直径AB .如果OA ∶OC ＝OB ∶OD ＝n ，且量得CD ＝b ，求AB 以及零件厚度x .解： ∵OA ∶OC ＝OB ∶OD ，且∠AOB ＝∠COD , ∴△AOB ∽△COD ， ∴AB ∶CD ＝OA ∶OC ＝OB ∶OD ＝n . ∴AB ＝n ·CD ＝nb ，x ＝a －nb2.8．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且CD ⊥AB ，垂足为P ，求证PC 2＝PA ·PB .证明： 连接AC ，BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，∴∠APC ＝∠CPB ＝90°.∵∠PAC ＋∠ACP ＝90°，∠ACP ＋∠BCP ＝90°， ∴∠PAC ＝∠BCP .∴△APC ∽△CPB . ∴PC PB ＝PA PC，即PC 2＝PA ·PB . 9．如图，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，AD 与BE 相交于点F ，连接ED .你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？解：△AEF ∽△ADC ∽△BDF ∽△BEC ，理由略．10．如图，△ABC 的三条边与△A ′B ′C ′的三条边满足A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，且OB ＝3OB ′.△ABC 的面积与△A ′B ′C ′的面积之间有什么关系？解：由A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ， 可证明△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为AB ∶A ′B ′＝OB ∶OB ′＝3∶1. 所以△ABC 的面积是△A ′B ′C ′面积的9倍．11．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解： 设正方形的边长为x mm ，根据题意可知，△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比可得EF BC ＝AK AD ，即x 120＝80－x80，解之得x ＝48.所以正方形的边长为48 mm.12．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 处和F 处树立标杆CD 和EF ，标杆的高都是3丈，D ，F 两处相隔1000步(1丈10尺，1步＝6尺)，并且AB ，CD 和EF 在同一平面内．从标杆CD 后退123步的G 处，可以看到顶峰A 和标杆顶端C 在一条直线上．从标杆EF 后退127步的H 处，可看到顶峰A 和标杆顶端E 在一条直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少步？(提示：连接EC 并延长交AB 于点M ，用AM 与常数的积表示MC 和ME .) (本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算径》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的31 cm.)解： ∵CD ∥AM ，CM ∥BG ， 可证得△AMC ∽△CDG ，∴AK CD ＝KCDG .∵CD ＝3丈＝5步，DG ＝123步，∴AK 5＝KC 123.∵EF ∥AM ，EM ∥BH ，可证得△AME ∽△EFH ，∴AK EF ＝KE FH ，即AK 5＝KC ＋1000127.∴AM ＝1250，MC ＝30 750.∴AB ＝1255步，BD ＝30 750步．故山峰的高度AB 为1255步，AB 和标杆CD 的水平距离BD 为30 750步．素材五 图书增值练习 [当堂检测]1. （2013孝感）在平面直角坐标系中，已知点E （－4，2），F （－2，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－8，4）C ．（－8，4）或（8，－4）D ．（－2，1）或（2，－1）2. （2013青岛）如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，点A 、B 、A ′、B ′均在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为（ ）A ．,2⎛⎫ ⎪⎝⎭m nB ．（m ，n ）C ．,2n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭3. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为2，点A 的坐标为（1，0），则E 点的坐标为（ ）A 2，0）B ．1122⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（22） D ．（2，2）4. 设点P （x ，y ）为原图形上任意一点，它在新图上的对应点是Q 点，以原点O 为位似中心，原图与新图的位似比为k （k ＞0），（1）若新图与原图是同向位似图形，则点Q 的坐标为 ；（2）若新图与原图是反向位似图形，则点Q 的坐标为 ．5. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，3）、B （4，2）、C （2，1）．（1）作出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1、B 1、C 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A 2B 2C 2，使AB :A 2B 2＝1:2．参考答案 1．D 2．D 3．C 4．（1）（kx ，ky ） （2）（－kx ，－ky ） 5．解：（1）如图所示：A 1（1，－3），B 1（4，－2），C 1（2，－1）；（2）如图所示．[能力培优]专题一 开放探究题1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和△ABC.(1)请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△C B A '''； (2)请用适当的方式描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置.专题二 实际应用题2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm ，则投影三角形的对应边长为( )A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式；(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?专题三一题多变题4．已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O是位似中心，OD∶OD′=2∶3，如图所示，求S五边形ABCDE与S五边形A′B′C′D′E′之比是多少？（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形A′B′C′D′E′的周长；（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE与△OD′E′是位似图形吗？专题四阅读理解题5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”（1）选择：如图1，点O是等边△PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )A ．2，点PB ．12，点PC ．2，点OD ．12，点O（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法： ①在△AOB 内画等边△CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上， ②连结OE 并延长交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C′∥EC ，交OA 于点C′，过点E ′作E ′D′∥ED 交OB 于点D′；③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB 的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．【知识要点】1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或者－k . 【温馨提示】1．位似图形的位似中心可以在任何位置.2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题. 【方法技巧】1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.参考答案解:（1）按位似作图在O 点与△ABC 同侧把△ABC 缩小一半，得到△C B A '''；第（2）问是一个开放性问题，对描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述C B A ''',,的位置，假设以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.2．B 【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5. 3．解:(1)根据题意,得S =32(2)(1)32x x ++-=x +x64+2.(2)根据题意,得x +x64+2=18,整理,得x 2-16x +64=0,∴(x -8)2=0,∴x =8,∴x +2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为832+2×0.5=5(dm).(3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2, ∴45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . ∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′. ∵AC 和BD ,A′C′和B′D′都相交于O 点, ∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D ′是位似图形.4．解:∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD ：OD′=2：3，∴ABCDEA B C D E SS '''''五边形五边形=2OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=223⎛⎫ ⎪⎝⎭=49． （1）由题意可知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的位似比为′OD OD =23， ∴ABCDE A B C D E C C '''''五边形五边形=OD OD '=23． ∵C 五边形ABCDE =32cm ，∴C 五边形A′B′C′D′E′=C 五边形ABCDE ×32=32×32=48（cm ）． （2）∵五边形ABCDE 与五边形A 'B 'C 'D 'E '是位似图形，∴OD OD '=OE DE OE D E '=''=23，• ∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE 与△OD′E′的对应点的连线都经过点O ， ∴△ODE 与△OD′E′是位似图形．5．解:(1)由位似的定义，观察图l 知：点O 是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D ．(2)证明：∵EC∥E′C′，∴CE OEC E O E =''''，∠CEO=∠C′E′O ． ∵ED∥E′D′，∴ED OEE D O E =''''，∠DEO=∠D′E′O ′， 故′′′′DE EDE C CE =，∠CED=∠C′E′D′． ∵△CDE 是等边三角形，∴CE=DE ，∠CED =60°.∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形． 素材六 数学素养提升 《相 似 变 换》 我们知道，两个三角形（边数相等的多边形），如果它们的对应边成比例，且对应角相等，就称它们为相似三角形（相似多边形）．两个相似的图形，形状相同，大小可以不等，对应边的比称为相似比．特别地，相似比为1时，相似形即为全等形． 两个相似图形，如果对应顶点的连线交于一点 ，则称它们是位似的，点称为位似中心．如下图中的相似三角形和，就是位似的，因为它们的对应顶点的连线交于一点．是它们的位似中心．图形位似时，对应边的比称为位似比．也有的书更形象地把位似图形称为中心相似图形，把位似中心称为相似中心．设为平面上的一个定点，把平面上任一点变成直线上的一点（下图），使（此处为不等于零的一个常数）的变换，称为位似变换．上述定点叫位似中心，常数叫位似比．有时把点取在多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，也可以把一个图形放大或缩小，得到位似图形，而且更为简便，如下图所示．我们常常看见工程技术人员绘图使用的放缩尺就是使用位似变换的原理设计的．使用根据位似换原理制造的“放缩尺”可以很方便地按照指定的比把一个图形放大或缩小．。
27.3.2 平面直角坐标系中位似变换
4 2 3,3 .
4 2 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标为(－2，0)或 , . 3 3返回知识点2源自在平面直角坐标系中画位似图形
7．在平面直角坐标系中画位似图形时，先确定 位似中心 ，再根据________ 相似比 找出关键点的对应点， __________ 最后连线，得到放大或缩小的图形．
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8 ． (中考 · 铁岭 ) 如图，正方形 ABCD的顶点 A ， B的坐标分别
为(－2，0)，(－1，0)，顶点C，D在第二象限内．以原点 O为位似中心，将正方形 ABCD放大为正方形A′B′C′D′， (4，－2) ． 若点B′的坐标为(2，0)，则点D′的坐标为____________
返回
9 ． ( 中考 · 玉林 ) 如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC
进行位似变换得到△A1B1C1. 2∶ 1 ； (1)△A1B1C1与△ABC的相似比是________
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； 如图所示．
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P
返回
6． (中考 · 烟台 )如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且 1 相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边 3 长为6，则C点的坐标为( A ) A．(3，2) C．(2，2) B．(3，1) D．(4，2)
返回
(－2x－2，2y＋2) ． 后，点P的对应点的坐标为___________________
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)△A3B3C3 是由△A2B2C2 向左平移 2 个单位长度，再
向上平移2个单位长度得到的．(答案不唯一)
人教版九年级数学下册《二十七章 相似 27.3 位似 在平面直角坐标系中画位似图形》公开课教案_12
27.3.2平面直角坐标系中的位似学习目标：(1)进一步熟悉位似的作图.(2)会用坐标的变化来表示图形的位似变换.(3)会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐标系中画一个图形以原点为位似中心的位似图形.(4)利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力，培养合作探究意识。
学习重、难点：重点：位似图形的点的坐标变化规律. 难点：以原点为位似中心的位似作图.学习过程：一、知识点回顾上面两个三角形相似吗？ 生：相似 师：你的依据是什么？生:三边对应成比例的的两个三角形相似。
问：那它们位似吗？你的依据是什么？设计意图：通过本题让学生复习相似图形及位似图形的判定，掌握位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形导入：我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标 之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转（中心对称） 类似地，位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示位似图形在直角坐标系中又有什么规律呢？今天我们就来学习平面直角坐标系中的位似O D二、合作探究用上节课学过的位似作图方法找到所救线段并读出对应点坐标，和小组同学交流画图做法师：那位同学介绍一下你是怎样做的？还有没有符合条件的线段呢？（有上节课的知识，学生可以在位似中心的同侧和异测见图形放大或缩小）利用刚才的经验将三角形AOC放大二倍，读出对应点的坐标。
指一名同学在展示屏上作图，并说一说怎样找到的？2在直角坐标系中，△AOC 的三个顶点的坐标分别为A(4,4), O(0,0)，C(5,0).以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大.则A(4,4),对应点坐标为：C(5,0)对应点坐标为：O(0,0)对应点坐标为分类讨论：当以原点为位似中心的两位似图形位于原点同侧时，对应点的坐标有什么变化？观察对应点坐标，你发现了什么规律，互相说一说。
（小组讨论交流，选一名代表汇报，利用展示屏课件师生共同归纳）规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是（）当以原点为位似中心的两位似图形位于原点异侧时，对应点的坐标有什么变化？规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是（） .位似图形的坐标规律一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.三、学以致用以后在平面直角坐标系作位似图形时，我们能不能用所学的知识解决问题呢？（先独立完成，各请一名学生上台汇报）1、△ABO的顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2,0)，O(0,0)，试画出将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为3∶22、四边形B （-8,2的一个以原点3.如图，△形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．四、总结反思：如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个图形的位似图形？ （小组讨论交流，选一名代表汇报，利用展示屏课件师生共同归纳）五、拓展提升；1.如图，以点Q 为位似中心，画出与矩形MNPQ 的相似比为0.75的一个图形.设计意图：使学生深刻体会运用规律的前提是位似中心是原点，才能使用。
人教版初三数学下册位似图形的坐标变化规律
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) A′( 3,-3 ), B′( 4,-1 ), C′( 2,0 ), D′( 1,-2)
解析:根据以原点为位似图形的坐标特征，可得C，D点横、 纵坐标为A，B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.
3.如图所示，原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，0)与A1(-2，0)
是对应点，△ABC的面积是
3 2
，则△Aபைடு நூலகம்B1C1的面积是
6
.
解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，
B 2D 4 6 8
-4
-6
-8
2.已知线段AB和CD，依据下列点的坐标，能判断AB和CD是以原点为
位似中心的位似图形的是 ( D )
A.A(2，3)，B(-1，1)，C(4，3)，D(-2，1) B.A(1，-5)，B(-1，-2)，C(1，-10)，D(-1，-4) C.A(-4，5)，B(2，-2)，C(4，5)，D(-2，-2) D.A(2，0)，B(-1，0)，C(-4，0)，D(2，0)
3）位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
复习回顾
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
人教版数学九年级下册位似——在平面直角坐标系中画位似图形课件
经过位似变y
换还可以得到其 他图形吗？
5
A(4,4)
为位似中心，相似比
为2，将△AOC放大.
C(5,0)
O
5
x
①画出线段△AOC ②连接位似中心O，找到 相似比为2的对应点
探究1 当以原点为位似中心的两位似图形位 于原点同侧时，对应点的坐标有什么变化？
2 A′(8,8)
1 3
(2,1)
C′(10,0)
平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
以x 轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相
轴对称变换 反数;以y 轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互
为相反数
旋转变换 位似变换
一个图形绕原点旋转180° ,则旋转前后两个图形对应 点的横坐标与纵坐标都互为相反数
A′(8,-10), B′(12,0)
寄语：数学并不(-神2,秘-1，) 不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，掌握适当的方法，人人都能学会数学。
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位
似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图 形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位 似图形上的点的坐标是（-kx , -ky）.
(2,0)
规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位
似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图 形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位 似图形上的点的坐标是（kx , ky）.
探究2 当以原点为位似中心的两位似图形位 (3)会根据位似图形上的点的坐标变化的规律，在坐
目前已经学了哪些变换？有什么区别与联系？ 课本第:50页 练习题1、2
人教版数学九年级下册27.3位似——两个位似图形坐标之间的关系课件
A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
A
y
D
B
C ′′
Co
x
B ′′
D ′′
A ′′
A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 所作图形与原图形相似比为k，
C．(4，－4)
D．(4，－6)
例如：点A(x,y)的对应点为A′，则A′点的坐标可以这样确定:
1:3
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐
A′（-kx,-ky）
A
y
A．(4，－3)
B．(4，－2)
位似比为1/3，把线段
性质2：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三
将各点的纵坐标减去 3，横坐标加上 5 例如：点x,y)的对应点为A′，则A′点的坐标可以这样确定:
A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
平面直角坐标系中 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
的四种图形变换
作业
1.作业本：课本P51，习题27.3 第3题，第5题；
2.基础训练：P140-141，27.3(2). A组、B组.
新人教版九年级下册 第二十七章 《相 似》
下册位似图形的坐标变化规律人教版九年级数学全一册完美课件
●
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
●
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
●
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
【解析】 如答图，连接 OG，OF，由位似的性质得 D 在 OG 上，C 在 OF 上，且 BC
＝6×13＝2，
∵BG∥EF，∴△OBC∽△OEF，
∴OOBE＝BECF＝13，即OBO＋B 6＝13，得 OB＝3， ∴C(3，2)，故选 A.
第5题答图
下册 27.3 第2课时 位似图形的坐标变化规律-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共23张 PPT)
(2)由于 M(2，4)，M′(－1，－2)都在直线 y＝2x 上，
即 M，O，M′三点共线，因此 θ＝180°.
根据 M，M′的坐标易知 OM＝2OM′，即 k＝2，
故 θ＝180°，k＝2.
第 12 题答图
●
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。
下册 27.3 第2课时 位似图形的坐标变化规律-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共23张 PPT)
10．如图 27－3－13，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2， 2)，B(4，0)，C(4，－4)． (1)请在图①中，画出△ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的△A1B1C1； (2)以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图②中 y 轴 的右侧画出△A2B2C2.
27.3 第2课时 位位似图形的坐标变化规律
第2课时
位似图形的坐标变化规律
(2)以原点为位似中心，在第三象限内将△ABC放大为原来的
2 倍 ， 得 到 △ A″B ″C″ ， 画 出 △ A″B ″C″ 点 C ″ 的 坐 标 为 (－6，－2) ．比较点C″与点C的坐标，发现点C″的横坐标是 _____________ －2 ，点C″的纵坐标是点C的纵坐标乘_______ －2 点C的横坐标乘______ ．
应点在不同象限时，其横坐标、纵坐标的比均为－k.
2．平移、轴对称、旋转、位似变换的异同：
相同点：都不改变图形的形状．
不同点：平移、轴对称、旋转变换不改变图形的大小，位似
变换可能改变图形的大小．
ห้องสมุดไป่ตู้
位似 图形，点 O 是它们的_____________ 位似中心 与△OCD 是________ ．
图 27 －3－25
第2课时
位似图形的坐标变化规律
2 ．在平面直角坐标系中，若点 A 的坐标为 (2， 3)，则点A 关 于x轴对称的点的坐标是____________ (2，－3) ，关于y轴对称的点的坐标 (－2，3) ，关于原点对称的点的坐标是____________ (－2，－3) ． 是___________
第2课时
位似图形的坐标变化规律
重难互动探究
探究问题 在同一直角坐标系中作出多种变换的图形 例 1 [教材例题变式题 ] [2013·宁夏] 如图 27－3－ 27 所示，
在平面直角坐标系中， 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－1， 2)， B(－ 3，4)，C(－ 2，6)． (1) 画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1； (2) 以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2.
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15．(16 分)(2014· 绥化)已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A(0， 3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)． (1)画出△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1 的坐标是_C1(2，－2) _； (2)以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比 为 2∶1，点 C2 的坐标是_ C2(1，0) _； (3)△A2B2C2 的面积是_
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分) 12．如图，原点 O 是△ABC 和△A′B′C′的位似中心，点 A(1，0)与 A′(－2，0)是对应点， 3 △ABC 的面积是 ，则△A′B′C′的面积是_ 6 _． 2
13．如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点 F 的坐标为(1，1)，点 C 的坐 4 2 ( － 2 ， 0) 或 ( ， ) 标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是_ 3 _． 3
3． (5 分)如图， 在直角坐标系中， 矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点， 边 OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA′B′C′的面积等 1 于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B′的坐标是( 4
D )
A．(－2，3) B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
11．如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0)，以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( D ) 1 A．－ a 2 1 1 1 B．－ (a＋1)C．－ (a－1) D．－ (a＋3) 2 2 2
解：(1)图略
(2)A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)
位似的实际应用
6．(4 分)小华自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光 源到幻灯片的距离是 30 cm，幻灯片到屏幕的距离是 1.5 m，幻灯片上小树的高度是 10 cm， 则屏幕上小树的高度是( B ) A．50 cm B．60 cm C．500 cm D．600 cm
一、选择题(每小题 6 分，共 18 分) 9．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，－4)，(－2，b)，则 b 的的 取值为(
C
) D．－ 8 3
8 A．－9 B．9 C. 3
10．如图，在平面直角坐标系中有两点 A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比 为 1∶3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为( B ) A．y＝ 4 x B．y＝ 4 4 C．y＝－ 3x 3x D．y＝ 18 x
4．(5 分)某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)， 则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是 (－0.5a，－0.5b)_ ． 5．(9 分)(2014· 郴州)在 13×13 的网格图中，已知△ABC 和点 M(1，2)． (1)以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出△ABC 的位似图形△A′B′C′； (2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
三、解答题(共 30 分) 14．(14 分)如图正方形 ABCD，以 A 为位似中心，把正方形 ABCD 缩小为原来的一半， 得正方形 A′B′C′D′，画出图形并写出 B′，C′，D′的坐标．
解：图略，∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝BC＝CD＝DA＝ 2，∴C(3，2)，D(1，2)．∵正方形 ABCD，以 A 为位似中心， 把正方形 ABCD 缩小为原来的一半，得正方形 A′B′C′D′，有两 种情况：①B′(2，0)，C′(2，1)，D′(1，1)；②B′(0，0)，C′ (0，－1)，D′(1，－1)．
1 的面积是： × 20× 20＝10 2
_平方单位．
∵A2C22＝20， B2C22＝20， A2B22＝40， ∴△A2B2C2 是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2
27.3.2位似图形的坐标变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为 k， 那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为_ (kx，ky)或(－kx，－ky) ．
反比例函数的意义
1．(4 分)(2014· 武汉)如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6，6)，B(8，2)，以原点 1 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 2 (
A ) A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
2．(4 分)(2013· 孝感)在平面直角坐标系中，已知点似比为 ，把△EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是( 2
D
)
A．(－2，1) B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
7．(4 分)在小孔成像问题中，如图所示，若 O 到 AB 的距离是 18 cm，O 到 CD 的距离 是 6 cm，则像 CD 的长是物 AB 长的( D ) 1 A．3 倍 B．2 倍 C．1 倍 D. 倍 3
8． (5 分)如图， 四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光的照射下形成的影子是四边形 A′B′ C′D′，若 AB∶A′B′＝1∶2，则四边形 ABCD 的面积∶四边形 A′B′C′D′的面积为( C ) A. 2∶1 B．1∶ 2 C．1∶4 D．4∶1