类型三++点的坐标的变化规律
位似
位似一、目标认知学习目标1．了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用相似的方法，将一个图形放大或缩小.2．观察分析现实生活中确定位置的现象，经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系，进一步发展数形结合的意识、形象思维能力和数学应用能力.3．在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化与各点坐标变化后图形发生的变化.重点难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小及在同一直角坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律.二、知识要点梳理：1．位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。
3．位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
4．作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点。
5．位似变换中对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
6．平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小(位似变换)之后是相似的．三、规律方法指导1．判断位似图形的方法，紧抓两个要点：①是相似图形；②每组对应点所在的直线经过同一点(即位似中心)．2．位似图形的画法可归结为：一确定、二连结、三关键．一确定，即确定位似中心；二连结，即连结位似中心和顶点；三关键，即根据相似比，确定关键点．3．位似图形是相似图形的特例．因此，位似比可通过相似三角形对应边的比得到，根据位似中心和位似比就可以把一个图形放大或缩小．4．列表总结如下：图形相似变换若与是位似图形，则位似中心O为位似中心，位似中心可以在两图形的同侧，或两图形之间，或图形内，或边上，或图形的顶点相似图形与位似图形的关系位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形图形放大与缩小的原理射线法测量原理位似图形的性质(1)；(2)；(3)；(4)(为相似比)经典例题讲解类型一、位似图形的有关概念1．（1）（2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）思路点拨：根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A符合将图中的箭头缩小到原来的的条件；B与原图相同；C将图中的箭头扩大到原来的2倍；D只将图中的箭头长度缩小到原来的，宽度没有改变，故选A.答案：A.（2）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么矩形ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？若是，指出位似中心并求出位似比.思路点拨：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据定义，题目中的所述图形符合条件，显然是位似图形，它们的位似中心即AC与BD的交点O，又因为E、F、G、H分别是中点，所以位似比为2.解：∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴∴∴同理：∴四边形ABCD与四边形EFGH相似因为两个图形的对应点所在直线都经过点O所以它们是位似图形，位似中心为点O，位似比为2：1.总结升华：判断两个图形是否是位似图形，只要看两个图形是否是相似图形，并且对应点的连线是否经过同一个点，若经过同一点，则是位似图形，否则不是位似图形；求位似比，也就是求相似图形的相似比，对于此类问题，只要认真观察图形，就能解决.举一反三【变式1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．思路点拨：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A ，图(2)中的点P和图(4)中的点O．(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形)2．如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.类型二、位似图形的作法3．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．思路点拨：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．作法二：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：(1)在四边形ABCD内任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．(当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略)举一反三【变式1】已知五边形ABCDE，利用位似，将图形放大2倍。
中考数学小专题(五) 平面直角坐标系中点的变化规律
是
.
第4题 图
5 . （ 2 0 2 2 ·咸 宁 市 通 城 县 期 末 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系
中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），
（3，1（）7，，（6）3，0），…，根据这个规律，第22个点的
坐标为
.
类型三 沿坐标轴延伸运动的点的坐标规律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.（2022·恩施州来凤县期末）如图，动点P在平面直角坐标
系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动
到点（3，2A）……按这样的运动规律，经过第2 022次运动
A后.（，2动0点22P，的坐B标.（是2（022， ）
类型四 环绕型运动中点的坐标规律
6.在平面直角坐标系中，设一动点自点P0（1，0）处向上运
动1个单位长度至点P1（1，1），然后向左运动2个单位长
度至点P2处，再向下运动3个单位长度至点P3处，再向右运
动4个单位长度至点P4处，再向上运动5个单位长度至点P5
处，如此继续B 运动下去，设点Pn（xn，yn），n＝1，2，
小专题（五） 平面直角坐标系中点的
变化规律
类型一 利用有序数对表示数列中的规律 1.（2022·孝感市安陆市期末）将从1开始的连续自然数按以下规律
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如：
（3，2）表示6，（则1表0，示1989）的有序数对是
.
类型二 新定义中的坐标规律
2.（2022·随州市曾都区期末）在平面直角坐标系中，对于点
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊点的变化规律，这个话题可真是有点儿意思呢！你知道吗，点在平面直角坐标系中可是有着千丝万缕的关系，它们之间的关系就像是一家人一样，有时候亲密无间，有时候又各自为政。
好了，废话不多说，让我们一起来揭开点的变化规律吧！我们来看看点的基本概念。
在平面直角坐标系中，点是指一个具有特定横纵坐标的确定位置。
我们可以把点想象成生活中的一个标志性建筑，比如一家餐厅、一座公园或者一条小巷子。
这些地方都有自己的特色和位置，而点也是如此。
它们在平面直角坐标系中的位置是固定的，不会随着时间的推移而发生改变。
接下来，我们来聊聊点的坐标。
在平面直角坐标系中，点的位置是由横纵坐标共同决定的。
横坐标表示点在水平方向上的位置，而纵坐标表示点在垂直方向上的位置。
有了横纵坐标，我们就可以准确地找到一个点在哪里。
这就像是我们在找朋友的时候，知道他们家的地址和电话号码，就能轻松地找到他们一样。
那么，点之间又是如何相互关联的呢？这就涉及到了点的平移、旋转和缩放等变换。
平移是指点沿着某一方向按照一定距离进行移动；旋转是指点绕着某一点按照一定角度进行旋转；缩放是指点的大小按照一定比例进行变化。
这些变换在我们日常生活中是非常常见的，比如我们去外地旅游时，可能会选择乘坐火车、飞机或者汽车等交通工具；在学习过程中，我们可能会阅读课本、做笔记或者参加讨论等活动。
这些都是点之间相互关联的例子。
点还有着丰富的性质。
比如，我们可以发现，在同一平面直角坐标系中，任意两点之间的距离是固定的；如果两个点的横纵坐标互为相反数，那么这两个点就是关于原点的对称点；如果一个点的横纵坐标分别等于另一个点的横纵坐标的一半，那么这两个点就是关于对角线的中点对称的。
这些性质在我们的日常生活中也是非常实用的，比如我们可以用来计算两点之间的距离、判断两个点是否关于某一点对称等等。
点在平面直角坐标系中的变化规律是丰富多彩的，它们之间的关系既有趣又实用。
平面直角坐标系点的坐标移动规律
平面直角坐标系点的坐标移动规律平面直角坐标系中的点的坐标移动规律在平面直角坐标系中，点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
点的坐标由x轴和y轴上的数值组成，通过改变这些数值，我们可以改变点在平面上的位置。
点的坐标移动可以有多种方式，下面我们将介绍一些常见的移动规律。
1. 平移：平移是指点在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指点在x轴方向上移动，垂直平移是指点在y轴方向上移动。
在平移过程中，点的x 轴和y轴坐标同时改变，但是它们的差值保持不变。
2. 旋转：旋转是指点围绕某个固定点旋转一定的角度。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指点沿着一个圆周顺时针方向旋转，逆时针旋转是指点沿着一个圆周逆时针方向旋转。
在旋转过程中，点的坐标随着旋转角度的变化而改变。
3. 缩放：缩放是指改变点到固定点的距离。
缩放可以分为放大和缩小两种。
放大是指点到固定点的距离变大，缩小是指点到固定点的距离变小。
在缩放过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的比例保持不变。
4. 对称：对称是指点关于某条直线或某个点对称。
关于直线对称是指点在直线两侧对称，关于点对称是指点关于一个点对称。
在对称过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的符号改变。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用。
通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
在实际应用中，点的坐标移动规律被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在几何学中，点的坐标移动规律可以用来描述线段、角度、面积等几何概念。
在物理学中，点的坐标移动规律可以用来描述物体的运动轨迹和变形过程。
在计算机图形学中，点的坐标移动规律可以用来生成图像和动画效果。
点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
通过改变点的x轴和y轴坐标，我们可以改变点在平面上的位置。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用，通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
五种点的对称点的规律
五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ′的坐标是P的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。
四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证图2 b ） ，b ） x∵l 平分一、三象限∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OBRt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|∴P ′（b ，a ）规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B又∵l 为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P ′OB又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|∴P ′（-b ，-a ）规律：点P 关于二、四象限的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。
专题：平面直角坐标系中的变化规律(含答案)
专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个C．40个D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2︵，P2P3︵，P3P4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
坐标平面内图形的轴对称和平移(提高) 知识讲解
坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．在直角坐标系中，已知点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称， （1）试确定点A 、B 的坐标；（2）如果点B 关于x 轴的对称的点是C ，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，∴2250a b aa b a -=-⎧⎨++-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）；（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为：（－4，－1），∴△ABC的面积为：12×BC×AB＝12×2×8＝8．【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．举一反三：【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（－3，2），点A关于Y轴对称点为D（－3，4），若将A、B、C、D顺次连接，此图形的面积是多少？【答案】解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），∴B（－3，－2），∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），∴A（3，4），∴△ABD的面积为：12×AD×DB＝12×6×6＝18．2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．【答案与解析】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．（4）如图，根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．类型二、用坐标表示平移3.如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【答案与解析】解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；（3）△A′B′C′的面积为6．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）举一反三：【变式】（大庆校级模拟）如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为．（2）若点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，求代数式…的值．【答案】解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，∵点M的坐标为（x、y），∴点N的坐标为（x，﹣y）；（2）∵点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，∴a=﹣3，b=﹣2，∴…=+++…+，=﹣+﹣+…+，=﹣，=．类型三、综合应用4. 如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）（1）直接写出C，D，E，F的坐标；（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．。
坐标规律知识点总结
坐标规律知识点总结一、直角坐标系直角坐标系是平面几何中最常用的坐标系，它是由两条互相垂直的坐标轴组成的。
一般来说，我们约定横轴为 x 轴，竖轴为 y 轴，它们的交点作为原点 O，两者的单位长度分别为1。
我们以原点为中心，向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向，建立直角坐标系。
在直角坐标系中，任意一点 P 的坐标可用有序偶数 (x, y) 表示。
其中，x 为横坐标，y 为纵坐标。
对于直角坐标系，有以下一些重要知识点：1. 点的对称性：关于 x 轴、y 轴和原点的对称性，可以用来求解坐标对称点的坐标。
2. 距离公式：在直角坐标系中，两点之间的距离公式为d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
3. 中点坐标：在直角坐标系中，可以根据两点的坐标求出其中点坐标，即((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。
4. 直线方程：在直角坐标系中，通过两点的坐标，可以确定一条直线的方程，通常以 y = kx + b 或 Ax + By + C = 0 的形式表示。
二、极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，它是由极轴和极角组成的。
极轴通常是 x 轴，极角通常用θ 表示，它是与极轴的顺时针夹角。
在极坐标系中，任意一点 P 的坐标由有序偶数(r, θ) 表示。
其中，r 为极径，表示点 P 到极点 O 的距离，θ 为极角，表示点 P 在极坐标系中的方向。
对于极坐标系，也有一些重要的知识点：1. 坐标变换：极坐标系和直角坐标系是可以相互转换的，需要用到的公式为x = r*cos(θ) 和y = r*sin(θ)。
2. 极坐标系中的直线方程：在极坐标系中，直线的方程通常以r = f(θ) 的形式表示，其中f(θ) 为一个函数。
3. 极坐标系中的距离公式：两点间的距离公式为d = √(r₁² + r₂² - 2*r₁*r₂*cos(θ₂-θ₁))。
三、空间直角坐标系空间直角坐标系是直角坐标系的延伸，它是由三条相互垂直的坐标轴组成的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类型三点的坐标的变化规律
(2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作(如图1所示)基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称基本图的个数特征点的个数
图1 1 7
图2 2 12
图3 3 17
图4 4
………
猜想：在图n中，特征点的个数为________(用n表示)；
(2)如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝________；图2 013的对称中心的横坐标为________．
【思路点拨】(1)观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17＋5＝22个，进一步猜想出：在图n中，特征点的个数为：7＋5(n－1)＝5n＋2；(2)过点O1作O1M⊥y轴于
点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M＝30°，再由余弦函数的定义求出O1M＝
，即x1＝
；然后结合图形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图2 013的对称中心的横坐标．
【解答】(1)表中填：22；
特征点的个数为：5n＋2.
(2)如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M.
又∵正六边形的中心角为
＝60°，
O1C＝O1B＝O1A＝2，
∴∠BO1M＝30°.
∴O1M＝O1B·cos∠BO1M＝2×
＝
.
∴x1＝
.
由题意，可得
图2的对称中心的横坐标为
＋2
＝3
；
图3的对称中心的横坐标为
＋2×2
＝5
；
图4的对称中心的横坐标为
＋3×2
＝7
；
…；
∴图2 013的对称中心的横坐标为
＋2 012×2
＝4 025
.
故答案为：
，4 025
.
1．(2015·六安模拟)如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，
A2，A3，A4…，则点A2 015的坐标是( )
A．(－2 015，－2 015) B．(－504
，－504
)
C．(－252
，252
) D．(－252
，－252
)
2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2 015秒时，点P的坐标是( )
A．(2 014，0) B．(2 015，
－1)
C．(2 015，1) D．(2 016，0) 3．(2015·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，
)、B(－1，0)，过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴
于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到
点A2 015为止，则点A2 015坐标为________．
参考答案
1．D 2.B 3.(－31 008，0)。