2014年重庆大学电气工程学院复试之电磁场试题1-2004级题解

《电磁场原理》04级考题及题解一、（15分）将你选择的答案序号填入各分题的括弧内。

1、下面哪一个矢量恒等式是正确的（ ）？( a ) 0≠⨯∇⋅∇F； ( b )0=⋅∇⨯∇F ； ( c ) 0=∇⨯∇f 。

2、静电场中电位的零值点，其电场强度（ ）。

( a ) 为零； ( b )不为零 ； ( c ) 不一定为零。

3、电位的偏微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）只适于（ ）介质区域。

( a ) 各向同性、线性； ( b ) 各向同性、非线性；( c ) 各向同性、线性、均匀。

4、恒定电场的基本方程为（ ）。

( a ) 00=⋅∇=⨯∇J E ,； ( b ) 0=⋅∇=⨯∇E D,ρ；( c ) tJ E ∂∂-=⋅∇=⨯∇ρ ,0。

5、恒定电场中，流入或流出闭合面的总电流等于（ ）。

( a ) 闭合面包围的总电荷量；( b ) 总电荷量随时间的变化率； ( c ) 零。

6、选出错误的描述（ ）。

( a ) 空间任意一点的能流密度由该点处的电场强度和磁场强度确定； ( b ) 理想导体内部不存在时变的电磁场；( c ) 在分界面上磁感应强度的法向分量是不连续的。

7、透入深度d 表示电磁波衰减到表面值的（ ）时所经过的距离 。

( a ) 63.2%； ( b ) e1； ( c ) 21e 。

8、称导电媒质为色散媒质是因为（ ）。

( a ) 电磁波是衰减波； ( b ) E 超前H； ( c ) 相速与频率有关。

9、当电磁波在均匀导电媒质中传播时下面哪一种现象不会发生（ ）。

( a ) 体电荷密度0≠ρ； ( b ) 集肤效应； ( c ) 去磁效应。

10、时变电磁场的波动性是指（ ）。

( a ) 时变的电场和磁场互相激励，彼此为源，由近及远向外传播。

( b ) 电场以电荷为源，由近及远向外传播 ( c ) 磁场以电流为源，由近及远向外传播。

二、（10分）求证 r nrr 2n n -=∇。

解：()r r rr nn∇∂∂=∇ rr r n n 1-= r rn n 2-=三（15分）有半径为a 和b 的两个同轴圆柱导体，导体间的两种介质介电系数分别为1ε和2ε，它们的分界面与导体轴平面相重合，在内外导体之间施加电压为0U ，如图所示。

试求：（1）介质内的电场强度与电位； （2）单位长度的电场能量e W '与电容C '。

解：由题意可知，电场在空心半圆柱体中有圆柱对称特点，以圆柱轴线为z 轴建立圆柱坐标系，（1）设内导体单位长度带电荷为Q ，在介质内取半径为ρ 长度为1的同轴圆柱面为高斯面，由高斯通量定理Q S d D S=⋅⎰QdS E dS E dSD dS D S d D S S S S S⎰⎰⎰⎰⎰=+=+=⋅2121221121εε题三图由介质分界面衔接条件：2121E E E E t t ===()Q E =+211πεερ()ρρεεe QE E π2121+==()aQ e E U bln πd 211ba0εερρ+=⋅=⎰()aU Qbln π021=+εε所以ρρe ab E ElnU 021==设外导体为电位参考点：ρρρϕϕe E d 1b21⋅==⎰⎰⋅=b e e ab U ρρρρ d ln 0ρb ab U ln ln0=（2） 能量和电容⎰⎰⎰+=⋅='21V 222V 211V e d 21d 21d 21V E V E V D E W εερρρεεd 1πa lnb U )(212ba 021⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰/⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=baa b ρρπεεd ln U )(2122021ab 2lnU )(2021πεε+= J/mab ln )(U 2C 212e πεε+='='W F/m题四（15分）空气中有一长直导体输电线与一矩形导体回路处于同一平面上，尺寸如图所示。

试：（1）计算导体之间的互感M ；（2）在图示电流流向的情况下，求相互作用能互m W 和矩形导体回路受到的作用力f 并指出受力方向。

解：按题意此题视为两电流线圈的系统，建立直角坐标系 （1）由安培环路定律，电流I 1所产生的磁场为z e xI B4π10μ-=穿过矩形线圈的磁链为⎰⋅=Sd S B Ψ()ab a Ic x c e e x I ba az z +=-⋅-=⎰+ln 4πd 4π1010μμ互感aba c I Ψ+==ln 4πM 01μ （2） 设两线圈是刚性的，系统的相互作用能21m M W I I =互aba I I c +=ln4π210μ 导体回路受力（a 为广义坐标）常数互＝常数互＝常数自有能＝常数＝=∂∂∂∂+∂∂=∂∂=I I m I m I m gg W gW gW f m W ＝常数互I m aW ∂∂=()b a a I bI c a b a I I c +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=4π114π210210μμ受力方向有使a 减小的趋势。

I 1题四图y五 （15分）正确写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式和构成方程（或称本构关系），并说明各基本方程的物理意义。

六 (15分) 一圆柱形电容器，内、外导体半径分别为a 和b ，其长度l 远大于b 。

设电容器外加电压为t U u ωsin m =，试计算电容器极板间的总位移电流i D ，并证明它等于流入电容器的电流 i 。

解：设内导体单位长度带电荷为Q ，由电场分布的圆柱对称性，建立圆柱坐标，由高斯通量定理Q S d D S=⋅⎰Q D l S d D S==⋅⎰ρ2πρρe lQ D 2π=ρρεe lQ E 02π=abl Q e E u ln 2πd 0baερρ=⋅=⎰ab ulQ ln 2π0=ε，ρρρερe ab u e lQ D ln2π0== ρρεe t u ab t DJ D ∂∂=∂∂=ln0t e a b U m ωρωερcos ln 0 =i题七图tU abll t a b U S J i m m S D D ωωπεπρωρωεcos ln22cos ln d 00=⋅=⋅=⎰ ab luQ C ln 2π0ε==Dm C i t U ab l tu C i ===∴ωωπεcos ln 2d d 0七 （15分）已知自由空间中某一均匀平面波的电场强度 3π2j 100j /z y ee E -= ，试求： （1）电磁波的传播方向以及 β，ν，ω，λ；（2）H的表达式及E 和H 正弦形式的瞬时表达式；（3）坡印亭矢量的瞬时表达式S和平均坡印亭矢量av S 。

解：（1）电磁波沿z 方向传播；32πβ=red/m8103⨯=v m/s8810210332v ⨯=⨯⋅==ππβω red/s31010388=⨯==f v λ m （2） ()x z z y e e e e e E e H -=⨯=⨯=--3π2j 3π2j z 0z 6π5j 120π100j Z // ()y e t t z E ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=2πz 32π102πsin 21008, V/m()()x e t t z H -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=2πz 32π102πsin π6258, A/m（3） ()z e t E H t z S ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⨯=2πz 32π102πsin 3π00582, ze t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=12πz 32π102πcos23π2508W/m 2ze S3π250av = W/m 2若已知实际介质（m S /,,50010-===γμμεε）中某一均匀平面波的电场强度y z z e e e E 3π2j 100j /-=α，试求：（1）电磁波的传播方向以及α， β，ν，ω，λ；（2）H 的表达式及E和H正弦形式的瞬时表达式；（3）坡印亭矢量的瞬时表达式S 和平均坡印亭矢量av S。

解：1. 先分析该介质在此情况下是否低损耗介质：1<<ωεγ——是 γπωε=>>⨯=⨯⨯⨯=---5212810105561010858102..2. 电磁波沿z 方向传播；(1 ) 32πβ= red/m8103⨯=v m/s8810210332v ⨯=⨯⋅==ππβω red/s 31010388=⨯==f v λ m m Np 1088511201021235/.--⨯=⋅⋅=≈πεμγα（2）()x z z z z y e e e e e e e E e H -=⨯=⨯=----3π2j 3π2j z 0z 6π5j 120π100j Z //αα ()y z e t e t z E ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=-2πz 32π102πsin 21008α, V/m()()x z e t e t z H -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=-2πz 32π102πsin π6258α, A/m（3）()z z e t e E H t z S ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⨯=-2πz 32π102πsin 3π005822α, zz e t e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=-12πz 32π102πcos23π25082α W/m 2zz e e Sα2av 3π250-= W/m 2。