黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题+Word版含答案

2017-2018学年度下学期期中考试高二数学(理科)试题Ⅰ 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|lg A x y x ==，集合{|B x y ==，则AB = （ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,+∞D ．(],1-∞2.设复数z 满足(1i)i z +=，则z = （ ）A ．12BC D ．23．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则恰有一人击中目标的概率是 （ ）A ．0.44B ．0.32C ．0.12D ．0.484．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 （ ）A ． 2π+B ． 2C ． 2π-D ． π 5.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 （ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．642+ 6.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A . 1()2sin()26f x x π=+B .1()2sin()26f x x π=- C. ()2sin(2)6f x x π=- D. ()2sin(2)6f x x π=+7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为 （ ）A ．4k >？B ．5k >？C ．6k >？D ．7k >？第5题图 第6题图第7题图8．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 （ ）A.10B.20C.30D.1209.抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面次数多于反面次数的概率是 （ ） A ．716B ．18 C ．12 D ．51610．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 （ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．3611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2 B．CD12．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是 ( ) A ．()()3,03,-+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞-Ⅱ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上.13.不等式25n C n -<的解集为 ；14．x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ；15．设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为 ；16．小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 ；三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（I ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．18. （本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表 示所选3人中女生的人数. （I ）求随机变量X 的分布列（Ⅱ）求“所选3人中女生人数1X ≤”的概率.E19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为递增的等比数列， 148a a ⋅=，236a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）如图， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===.（I ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）设E 分别为1BB 的中点，求二面角1E AC B --的大小的余弦值．21.（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间， 黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（I ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金； （Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.22．(本题满分12分) 已知函数()=e sin x f x x ax - (I)当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a ≤时，判断()f x 在3[0,]4π上的单调性，并说明理由；(Ⅲ)当1a <时，求证：3[0,]4x π∀∈，都有()0f x ≥．数学参考答案（理科）13. {}2,3,4 14. 3 15. 1 16. 84三、 17. （I ）由26x t y t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C 的普通方程为(222x y +=； ……5分（Ⅱ）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-++⎣． ……10分18. 解：（I ）………………6分（Ⅱ）()415P x ≤=………………12分19（Ⅰ）由及得或（舍）所以，所以 ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以……12分20. 解：（I ）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AB ，又AA 1⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC .又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又AB ⊥AC . AB ⊥AA 1 , AC ∩AA 1＝A ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1C ⊥AB 又AB ∩AC 1＝A ∴A 1C ⊥平面ABC 1 ……6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 因为AA 1＝AC ＝2AB ＝4，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C 1(0,4,4)，C (0,4,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,4)，由(1)知，A 1C →＝(0,4，－4)是平面ABC 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AC 1E 的法向量， ∵AC 1→＝(0,4,4)，AE →＝(2,0,2)，∴⎩⎨⎧n ·AC 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋4z ＝0，2x ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,1)为平面AC 1E 的一个法向量．设A 1C →与n 的夹角为θ，则cos θ＝0－4－43×42＝－63，由图知二面角E －AC 1－B 为锐角，∴二面角E －AC 1－B 的余弦值为63. ……12分21.（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=；由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． …………………4分（Ⅱ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人；年旅游总收入[)40,60的人数()0.020.011010030+⨯⨯=人；故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ………………8分（Ⅲ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知： ()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===；()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望为：2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分22. （Ⅰ）当0a =时，()e sin x f x x =,'()e (sin cos )x f x x x x =+∈R .得'(0) 1.f =又0(0)e sin0=0f =,所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = ………….…4分（Ⅱ）因为()e sin x f x x ax =-，所以'()e (sin cos )x f x x x a =+-.令()'()g x f x =， 则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：-当0a ≤时，3(0)10,()04g a g a =->π=-≥.所以3[0,]4x π∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥，所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. .…………………….…8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增，所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时，设()'()g x f x =，则'()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下所以'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减 因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<，所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又(0)0f =，3324433()304242f e a e ππππ=⨯->⨯->>, 所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .…………………….…12分。